Конспект урока "Объёмы многогранников и тел вращения" 11 класс

Открытый урок

 Обобщающий урок

Решение задач по теме:

 « Объёмы многогранников и тел вращения»

План урока:

1.     организационный момент

2.     устная работа

3.     просмотр презентации по теме «Объёмы»

4.     решение задач в группах

5.     тестирование на компьютерах

6.     решение задач из групп на кадоскопе и доске

7.     подведение итогов урока

8.     домашнее задание ( творческая работа по карточкам)

I.                  устная работа

 

Дано:

АВСДА₁В₁С₁Д₁параллелепипед

АА₁ – высота

АА₁=8 м

S_осн=12 м²

Найти: V_{параллелепипеда}

Решение:

1.      V_{параллелепипеда}= S_осн*Н=12*8=96 м³

 

Дано:

Конус

d=8 см

l=15 см

Найти: V_конуса

Решение:

V_конуса=

 

Дано:

цилиндр

V_{цилиндра}=

R=2 см

Найти: Н

 

Решение

V_{цилиндра}= S_осн*Н

 

Дано:

Пирамида

S_осн= м²

Н= 9м

Найти: V_{пирамиды}

 

Решение

 м³

Устная работа

 

Дано:

АВСДА₁В₁С₁Д₁параллелепипед

АА₁ – высота

АА₁=8 м

S_осн=12 м²

Найти: V_{параллелепипеда}

 

Дано:

Конус

d=8 см

Н=15 см

Найти: V_конуса

 

Дано:

цилиндр

V_{цилиндра}=

R=2 см

Найти: Н

 

Дано:

Пирамида

S_осн= м²

Н= 9м

Найти: V_{пирамиды}

 

II.  Просмотр презентации по теме  «Объёмы».

III.           Работа учащихся в группах по карточкам.

Задачи по теме «Объёмы» подобраны из тестовых задач по математике 2005 года.

Задачи для группы №1.

1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найдите объём конуса                                  ( В -  №11  задание  7 )

2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45⁰ .           ( В -  №9  задание  16 )

3. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой   см вокруг своего катета.

                                                                                     ( В -  №10  задание  27 )

4. Объём шара  см³. Вычислите площадь поверхности шара.

                                                                                     ( В -  №20  задание  11 )

5. Образующая и радиусы большего  и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см.  Вычислите объём этого конуса.

                                                                                     ( В -  №16  задание  23 )

6. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона основания – 4см.                                                      ( В -  №28  задание  13 )

Задачи для группы №2.

1. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а  её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды.               ( В -  №8  задание  21 )

2.Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра.                                                                    ( В -  №4  задание  14 )

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда.  ( В -  №15  задание  19 )

4. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.                ( В -  №14  задание  8 )

5.Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Найдите боковую поверхность и объём цилиндра.                                                       ( В -  №14 задание  12 )

 6.  Объём шара  см³. Вычислите площадь поверхности шара.

                                                                                     ( В -  №20  задание  11 )

IV.            Тест по теме: «Объёмы  геометрических тел»

1.      Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса, на плоскость основания называется:

А) образующей  Б) высотой  В) диагональю  Г) диаметром

2.  Гранью куба является: А) ромб Б) прямоугольник    В) квадрат     Г) параллелограмм

3.Сечение конуса, параллельной плоскости основания будет

А) круг           Б) прямоугольный треугольник     В) равнобедренный треугольник

4.      Прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм называется:

А) куб      Б) квадрат      В) параллелепипедом          Г) ромбом

5.      Тело, состоящее из двух кругов, совмещенных параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов называется

А)цилиндром      Б) конусом    В) шаром       Г) сферой

6.      Объём усеченной призмы равен :

А)     Б)              В) V=abc        Г)

7.      Объём наклонной призмы равен:

А) V=abc  Б) нет верного ответа           В)V=SH         Г) V=a³

8.      Объём шара выражается формулой:

А)           Б)   В) Г)

9.      Объём конуса можно вычислить по формуле:

А)      Б)   В)     Г)

10.  Объём цилиндра вычисляется с помощью формулы:

А) V=abc        Б)              В)           Г)

11.  Прямая призма, в основании которой правильный многоугольник называется :

А) многогранником Б) параллелепипедом          В) правильной          Г) додекаэдром

12.  Тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного от данной точки, называется:

А) сфера               Б) шар            В) окружность          Г) эллипс

13.  Отрезок, соединяющий вершину конуса с точками окружности основания, называется:

А) касательной   Б) диаметром В) высотой   Г) образующей

14.  Границей шара является : А) сфера     Б) круг           В) радиус       Г) овал

15.  Тело, состоящее из круга и точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками круга, называется:

А) цилиндром     Б) усечённым конусом        В) конусом    Г) шаром

16.  Объём усечённого конуса выражается формулой:

А)        Б)              В)    Г)  V=abc

17.  Объём параллелепипеда можно найти по формуле:

А)  V=ab               Б) V=ac                      В) V=bc                      Г) V=abc

18.  Объём прямой призмы равен:

А)        Б)   В)   Г)      

19.  Объём куба можно вычислить по формуле:

А)        Б)   В)           Г)        V=a³  

20.  Объём пирамиды вычисляется с помощью формулы:

А)              Б)              В) V=abc        Г)

Тестирование проходит на компьютерах, поочерёдно по группам.

Учитель вносит первые оценки в протокол урока.

V.               Решение задач.

1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найдите объём конуса                                  ( В -  №11  задание  7 )

 

                                                                                                          Дано:

                                                                                     Прямой конус

                                                                                     l=4 см – образующая

                                                                                     ÐАВО=30⁰

                                                                                     Найти:V_конуса

 

Решение:

1.    

2.    cosÐАВО=    ВО=R=АВ*cos30⁰=

3.    треугольник АВО –прямоугольный, напротив угла в 30⁰ лежит катет, равный половине гипотенузы, отсюда следует, что Н= 2 см

4.  см³

Ответ: V=8 см³

2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45⁰ .           ( В -  №9  задание  16 )

 

Дано:

АВСДА₁В₁С₁Д₁  прямой параллелепипед

АВСД - квадрат

ВВ₁ – высота

ВВ₁= 4м

ÐВ₁ДВ=45⁰

Найти: V_{параллелепипеда}

Решение:

1        V=abc=S*H

2        рассмотрим треугольник В₁ВД;

а) треугольник В₁ВД – прямоугольный, так как ВВ₁^АВСД, 

б) ÐВ₁ДВ=45⁰, отсюда следует ÐДВ₁В=45⁰,Þ  треугольник В₁ВД - равнобедренныйÞ ВВ₁=ВД=4 см

3        треугольник АВД – ьпрямоугольный , так как с воновании АВСД – квадрат и АВ=АД

пусть АВ=АД=а, по теореме Пифагора

а²+а²=4²

2а²=16

а²=8

а₁=            и            а₂= -  ( посторонний корень)

4         см³

Ответ: объём параллелепипеда равен 32 см³

3. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой   см вокруг своего катета.

                                                                                     ( В -  №10  задание  27 )

                          В                                                                   Дано: 

                                                                                             Конус              

                                                                                          Δ АОВ - прямоугольный,

равнобедренный

                                                                                            Найти:  V_кон
                                   

 

 

        А                                  С              Решение:

1)

2) Δ АОВ - прямоугольный , равнобедренный       АО=ВО, по т. Пифагора найдем

       R=ОА

Пусть АО = а, тогда

   а² + а² = 

   2а²=18

   а² =9

   а₁=3 - радиус и высота

   а₂ = - 3 п. к.

3)

    Ответ:

4. Объём шара  см³. Вычислите площадь поверхности шара.

                                                                                     ( В -  №20  задание  11 )

                                                                                                      Дано:

                                                                                                              шар

                                                                               

                                                                                                                                       

                                                                               Найти: S пов-ти шара

                                                   

                                                                 Решение:

1)

2)

3)

      

4)

Ответ:

5. Образующая и радиусы большего  и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см.  Вычислите объём этого конуса.

                                                                                     ( В -  №16  задание  23 )

 

                                                                                                          Дано:

                                                                                                          Усечённый конус

                                                                                                          R=6 см

                                                                                                          R₁=11 см

                                                                                                          l= 13см

                                                                                                          Найти: V

                                                        

 

Решение:

1)    , где S- площадь верхнего основания, S₁  - площадь нижнего основания,

2)    x=R₁ – R=11-6=5 (см)

3)    найдём h по теореме Пифагора  (см)

4)     (см³)

ответ: V= 892 см³

6. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона основания – 4см.                                                      ( В -  №28  задание  13 )

 

                                                                                                                   Дано:

                                                                                                                SABCD- прав. 4^х уг. пирамида

                                                                                                               ABCD- квадрат

                                                                                                               SA=3 см,  AB=4 см

                                                                                                               SO- высота

                                                                                                               Найти: V

                           

 

Решение:

1)     

2)     

3)      треугольник АВС – прямоугольный, АС= смÞАО=ОС=

4)      Н, высоту найдём из  прямоугольного треугольника АОS,   см

5)      V=  см³

Ответ: объём усечённого конуса равен  см³

1. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а  её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды.               ( В -  №8  задание  21 )

 

                                                                                                                      Дано:

SABCD- прав. 4^х уг. пирамида,

АВСД – квадрат

SO – высота,

SO = 21дм

АВ= 20 дм

Найти: V

Решение:

1       

2         дм³

Ответ: V=2800 дм³

2. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра.                                                                   ( В -  №4  задание  14 )

 

                                                                                                                                              Дано:

                                                                                     Цилиндр

АВСД – осевое сечение

АС= 13 см

Н=СД= 5 см

Найти: V

                                               Решение:

1)    V=S_осн*Н=

2)    Треугольник АСД – прямоугольный, по теореме ПифагораÞ

Þ

3)    АД=2R ÞR=6 см

4)     см^і

Ответ: объём цилиндра равен  см³

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда.  ( В -  №15  задание  19 )

 

                                                        Дано:

Куб                                                                               куб, параллелепипед,

                                                                                      а=15 м

                                                                                      с=50 м

                                                                                      в=36 м.

                                                                                     V_куб = V_пар

                                                                                     Найти:

                                                                                     сторону куба

Решение:

1)    V_пар-да=авс

     V_куба=а³                   V_пар-да=V_куб  (по условию)

²⁾       V_пар-да=15*36*50=27000 см³

³⁾       а=

Ответ: а куба= 30 см.

В-16 №23

Дано:

Усеч конус

R =6 см

R₁=11 см

l = 13 см

 Найти:V_{усеч конуса}

Решение:

1)    ,

2)    х=R₁-R=11-6=5 (см)

3)    Найдем h по т. Пифагора h=√l²-x² = √13²-5² = 12 (см)

4)   

Ответ: V=892π см³

VI.            Подведение итогов урока

VII.        Домашнее задание

Объемы тел вращения

1.        Отрезок CD, концы которого лежат на разных окружностях оснований цилиндра, пересекает ось цилиндра под углом 60°. Найдите объем цилиндра, если CD=8 см

а) 84 см³         б) 72Ö3 см³         в) 36Ö3p см³          г)  48p см³

2.        Объем цилиндра равен 60p см³, а площадь осевого сечения 24 см². Найдите радиус основания цилиндра.

а) 4Ö2  см         б) 6 см³              в) 5 см                      г)  8 см

3.        Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду CD основания, образует с основанием угол, равный 60°, и удалена от центра основания на 6 см. Найдите объем конуса, если длина хорды CD равна 4 см.

а) 172Ö3p см³      б) 180Ö3p см³      в) 208p см³       г)  192p см³  

4.        Объем конуса равен 18p дм³. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите высоту конуса.

3

3

а) 3 Ö2 дм          б) 2Ö2 дм             в) 2Ö3 дм               г)  3 Ö3 дм

5.        Шар касается сторон треугольника МКР, причем МК = 4 см, МР = 5 см, КР = 7 см. Центр шара – точка О находится от плоскости треугольника МКР на расстоянии, равном ^Ö10/₂ см. Найдите объем шара.

а) 15p см³          б) ³²/₃ p см³         в) 12p см³          г)  8Ö2 см³

6.        Равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом при вершине 120° вращается вокруг оси, содержащей боковую сторону. Найдите объем фигуры вращения.

а) 140p см³          б) 140Ö2 p см³         в) 136Ö3 p см³          г)  250p см³

7.        Алюминиевый шар объемом 36p см³ переплавили в равновеликий конус, образующая которого равна 3Ö5 см. Найдите высоту этого конуса, если она не более 4 см.

а) 2,5 см            б) Ö10  см           в) 3 см            г)  2Ö3 см

8.        Внутри прямоугольного параллелепипеда лежит шар таким образом, что он касается трех граней, имеющих общую вершину. Найдите расстояние от центра шара до этой вершины, если объем шара равен 32p/3 см³.

а) 3Ö3 см          б) 2Ö3 см             в) 3Ö2 см               г)  2Ö2 см

Объёмы многогранников.

1. Диагональ куба равна 15см.  Найдите объём куба. А)     Б)    В)    Г)  450см³

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1дм и дм, а угол между ними равен 30⁰. Найдите объём параллелепипед, если площадь большего сечения параллелепипеда равна .

А)                Б)         В)         Г)

3. Все рёбра наклонного параллелепипеда равны, причём боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный     45⁰. Меньшая диагональ основания равна , а один из углов 120⁰. Найдите объём параллелепипеда, если меньшее диагональное сечение перпендикулярно основанию. А)              Б) 84 см³              В)      Г) .

4. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол, равный 30⁰. Найдите объём призмы, если площадь боковой поверхности призмы равна .

А)            Б)       В)    Г)

5. В основании прямой призмы СДЕКС₁Д₁Е₁К₁ лежит равнобедренная трапеция, ДЕ параллельна СК, причём ЕК=6 см, СК=10 СМ. Диагональ призмы СЕ₁ образует с основанием угол 45⁰, а плоскости СС₁Е₁ и КЕЕ₁ перпендикулярны. Найдите объём призмы.          А)                  Б) 300 см³            В) 272,8 см³        Г) 245,76 см³.

      6. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды является прямоугольным  

      треугольником. Площадь которого равна 24 см^2. Найдите объём пирамиды.

      А)                Б)       В)      Г) 54 см³

      7. В треугольной пирамиде MNKP  MN┴MK  и  MK┴MP, а угол PMN равен 60⁰. Найдите объём пирамиды ,

       если MN=, MK=12 см, РМ=4 см.

      А)  28см³                       Б)                       В) 24 см³              Г)

      8. Через точку В бокового ребра пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости

      основания, причём объём образовавшейся усечённой пирамиды равен 372 см³. Найдите объём

      пирамиды, если точка В делит ребро пирамиды в отношении 1:4, считая от вершины.

      А)                             Б)                    В) 375 см³                            Г) 420 см³