4. Изучение
нового материала
|
20 минут
|
Комбинаторика – это
раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций можно
составить из заданных объектов.
Слово
«комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на
русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика"
был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным
немецким учёным.
Задача, в
которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются
комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи,
называются комбинаторикой.
И сегодня мы
научимся находить возможные комбинации для решения элементарных комбинаторных
задач и рассмотрим сферы их применения.
Задача
1. Сколько двузначных чисел можно составить
из цифр 0,1,2,4 (цифры могут повторяться)?
Первый
способ: выпишем все числа по порядку, 10,11,12,14,20,21,22,24,40,41,42,44-всего
12 чисел.
Второй
способ - таблица - для первой цифры-4 варианта,
для второй 3варианта- 4*3=12 вариантов.
|
0
|
1
|
2
|
4
|
1
|
10
|
11
|
12
|
14
|
2
|
20
|
21
|
22
|
24
|
4
|
40
|
41
|
42
|
44
|
Задача
2. На завтрак в школьной столовой можно выбрать
кашу манную, гречневую, овсяную или рисовую, запить можно чаем с лимоном,
какао или соком морковным. Сколько вариантов завтрака есть?
Удобней
всего в данной задаче воспользоваться таблицей
|
манная
|
гречневая
|
овсяная
|
рисовая
|
чай
|
Ч/М
|
Ч/Г
|
Ч/О
|
Ч/Р
|
какао
|
К/М
|
К/Г
|
К/О
|
К/Р
|
сок
|
С/М
|
С/Г
|
С/О
|
С/Р
|
4*3=12
вариантов
Что
же мы с вами сделали?
Запишем
правило умножения.
Для
того чтобы найти количество всех возможных вариантов двух событий A
и B, необходимо
количество вариантов события A умножить
на количество вариантов события B.
Задача
3. В коридоре три лампочки. Сколько
имеется различных способов освещения коридора (включая случай, когда все
лампочки не горят)?
Лампочка
может гореть или не гореть - два варианта. То же самое можно отнести ко
второй и третьей лампочке. 2*2*2=8 вариантов – по правилу умножения.
Решение этой же
самой задачи вы видите на экране.
Бурное
развитие экономических приложений математики привело к возникновению и
изучению обширного класса комбинаторных задач - задач на оптимизацию.
Мы
на уроках комбинаторики при решении комбинаторных задач будем подсчитывать
число решений.
Задача
4. Сколькими способами можно расставить 3
различных предмета на столе?
На
примере 3 предметов показать -1 ученик демонстрирует, а преподаватель
записывает на доске варианты.
123,132,213,231,312,321.-
всего 6 вариантов.
Задача
5. Сколькими способами можно расставить 8
участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
У
нас возникло затруднение! – ведь, переставляя восемь участников забега, очень
трудно и понадобится не один час, чтобы перебрать все варианты.
Решить
данную задачу, нам поможет математическое понятие, как факториал.
Произведение первых n натуральных
чисел, т.е.
1• 2 • 3 •…• n называют «n-факториал»
и обозначают n! («эн факториал»).
Термин
факториал происходит от латинского слова factor-
производящий.
1•2•3•…•n=n!
3! =1•2•3=6
4! = 1•2•3•4=24
6!= 1•2•3•4•5•6=720
Факториалы в комбинаторике возникают очень часто.
Поэтому принято считать, что если ответ выражен через факториал, то задача
решена. Задачи на подсчет всех возможных вариантов перестановки, называют
задачами на перестановки.
Вернемся
к задаче. Всего участников забега было 8. Раздадим им номера 1,2.3.4.5.6.7.8.
У бегуна под номером 1- 8 вариантов выбора места, у бегуна №2- 7, №3-6 , №4-
5, и т.д.
Применяя
правило умножения, получим 8*7*6*5*4*3*2*1=40320
или же 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320 способами.
|
Записывают
определение комбинаторика в тетрадь.
Смотрят демонстрацию слайдов.
Записывают в тетрадь решение задач, совместно
с преподавателем.
Заполняют таблицу на рабочем листе.
Решают задачу вместе с преподавателем
Заполняют таблицу на рабочем листе.
Умножили количество вариантов еды на
количество вариантов питья.
Записывают правило умножения.
Решают задачи совместно с
преподавателем. Студенты в тетрадях, преподаватель на доске.
Записывают определение факториал в
тетрадь, записывают примеры решения факториалов.
Решают задачу,
совместно с преподавателем.
|
5.
Систематизация и закрепление изученного материала. Проверка и корректировка
качества освоения нового материала
|
15 минут
|
Задача
6. Все вы знаете, басню Крылова И. А.
«Квартет». Давайте еще раз её прослушаем.
Зададимся
вопросом: сколько существует способов, чтобы рассадить, например в один ряд,
четырех музыкантов?
Число
перестановок можно посчитать по формуле 4! = 4 *3 * 2*1 = 24
способа.
Ответ: 24 способа.
Задача
7. В семье – шесть
человек, а за столом в кухне – шесть стульев. В семье решили каждый вечер,
ужиная, рассаживаться на эти шесть стульев по-новому. Сколько дней члены
семьи смогут делать это без повторений?
По
правилу умножения: 6x5x4x3x2x1 = 720 (дней).
Задача
8. Заполни таблицу факториалов от 1 до 8.
Задача
9. Составь и реши задачу по рисунку
3!=1*2*3=6
Задача
10 (запасное задание). Вычислите
А) ; Б) ;
В) ; Г) .
Для того чтобы определить
насколько вы поняли сегодняшний материал, вам необходимо выполнить небольшую
работу на карточках, это аналогичные задачи, которые мы с вами сегодня
выполняли.
Не забудьте
подписать ваши работы.
А теперь как я и
обещала, каждый из вас почувствует себя в роли учителя - поменяйтесь
работами, 1 и 2 вариант.
Оцени выполнение
заданий своего соседа по парте, сверься с доской и поставь оценку.
|
Слушают
видеофрагмент.
Решают
самостоятельно задачу, один ученик выходит к доске и записывает решение
задачи у доски.
Самостоятельно
заполняют таблицу факториалов в рабочих листах. Сверяются потом с доской.
У доски один
учащийся, остальные в тетради.
Выполняют по
вариантам самостоятельную работу на карточках.
Самостоятельно
проверяют работы друг друга.
|
6. Подведение
итогов и рефлексия занятия
|
5 минут
|
Преподаватель
подводит итоги занятия, спрашивая у студентов, что же нового они сегодня
узнали на уроке?
Ответьте на
вопрос «Может ли вам комбинаторика помочь в реальной жизни?".
У каждого из вас
на столе жетон с записью – да/нет.
Вам понравилось
занятие? Все ли было понятно? Ты хорошо работал на занятии?
Преподаватель
отмечает активную работу на занятии и говорит оценки за занятие.
Запись домашнего
задания.
§ 47, № 47.7 (а,
б, в)
Всем спасибо.
Урок окончен.
|
Подводят итоги
занятия, рассказывают, что нового они узнали.
Оценивают свою
работу на занятии.
Записывают
домашнее задание.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.