Конспект урока по алгебре " Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Разработка  урока  алгебры  9 класс

по теме : «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Тема урока: Прогрессио- движение вперед.

Цель урока: С помощью дидактической игры – стимулировать учащихся к                     математической деятельности.

Умения и навыки: Знать определения  арифметической и геометрической прогрессии.

Уметь записывать  в общем виде рекуррентную формулу, с помощью которой задаются прогрессии. Знать формулы n-го члена, используя их решать задачи.

Метод обучения:  Создание эмоционально – нравственных ситуаций, методом познавательных игр.

Задачи:  Развитие  познавательной активности и самостоятельности, формирование качеств творческой личности.

Описание хода урока:

Класс разбивается на две команды.

Первое соревнование – проверка домашнего задания.

1тур.

1 команда – Определения прогрессий, формулы n-го члена.

2 команда – Определение среднего арифметического и геометрического члена. Характеристические свойства прогрессий.

1 команда.

Мы изучили две прогрессии арифметическую и геометрическую. Вспомним их определения (сразу оба).

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену,

сложенному  с одним и тем же числом

умноженному  на одно и тоже число.

называетсяарифметической    прогрессией.

                       геометрической

Обратите  внимание ,насколько похожи определения. Еще раз убеждаемся в том, что операции сложения и умножения имеют много общего.

 2 команда.

Родство прогрессий становится еще более заметным, если вспомнить их характеристические свойства.

Любой член  арифметической  прогрессии, начиная со второго,

                      геометрической

является средним  арифметическим

                                 геометрическим

предшествующего и последующего членов.

1 команда.

Формулы  n-го члена прогрессий

= + d (n – 1)                                    =  *                              

Зная одну формулу, можно легко получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.

2 команда.

Характеристические свойства прогрессий:

 =    +                                           =  *

                    2

Сложение  заменяем умножением, деление на 2 на извлечение корня второй степени.

2 тур.

1 команда.

Сами по себе прогрессии известны так давно, что конечно , нельзя говорить о том, кто их открыл. Это и понятно уже натуральный ряд 1,2,3,4,…,n,.. есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью равной 1.

О том как давно была известна геометрическая прогрессия, косвенным образом свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают , что индийский принц Сирам  рассмеялся , услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат. За 1 клетку шахматной доски – 1 зерно, за вторую - два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и т.д. до 64-ой.

Нетрудно сосчитать, используя известную нам формулу суммы n членов геометрической прогрессии, что

= -1=18446744073709551615 = 18,5*

Если бы  принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то пожалуй лет за 5 он бы смог рассчитаться с просителем. Как вы считаете стоило ему смеяться?

На связь между прогрессиями первым, по видимому обратил внимание великий Архимед (ок.287-212 лет до н.э.). Вы конечно, знаете из физики о законе Архимеда. Но он еще и замечательным математиком, положившим начало многим разделам математики, которые были развиты лишь в 17 веке.

 2 команда.

Очень может пригодиться при решении многих задач – знать формулу

=  ( n+1)*n

             2

для вычисления суммы  n  натуральных чисел и формулу

 =

для вычисления суммы n последовательных нечетных чисел.

Обе эти последовательности есть частные случаи арифметической прогрессии. Заметьте , что вторая формула имеет изящный геометрический смысл.

7
	5
		3
			1

На рисунке обозначен первый квадрат .Его как бы охватывают 3 таких же квадрата, образуя вместе с первым, новый квадрат, состоящий из 4-х квадратов .Его ,в свою очередь , как бы буквой  Г охватывает ровно 5 –квадратов, Получается новый квадрат, состоящий уже из 9 квадратов и т. д.

Красиво?

А с первой  формулой связана одна из страниц биографии К.Ф.Гаусса. Однажды на уроке в третьем классе, где учился Гаусс, учитель дал задание сложить все числа от 1 до 1оо. Маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101,3+98=101 и т. д .( в нашей формуле n+1) , сообразил он и то , что таких пар будет   = 50 ( в формуле ).  Осталось умножить 101*50, что мальчик сделал в уме. Свои вычисления он закончил , до того как учитель подиктовал задание.

Для математика важно получив задачу – подумать – а нет ли иного метода решения, стоит ли идти проторенным путем, не поискать ли свой ,новый, лучший, оригинальный?

3 тур.

Предлагается разделить страницу тетради на две части и слева написать «Арифметическая прогрессия» , а справа – «Геометрическая прогрессия».

На доску справа проецируются задача, приводящая к арифметической прогрессии и вопросы  и задания ,которые необходимо выполнить.

На доску слева проецируются задача ,приводящая к геометрической прогрессии  и задания ,которые необходимо выполнить.

                                                   Задача.

1.Записать  последовательность  в соответствии с условием задачи
2.Записать эту же последовательность с помощью таблицы.
3.Найти разность d между предыдущим и последующим членами последовательности в первой задаче и частное q от деления последующего члена на предыдущий  во 2-ой задаче.
4.Задать эти последовательности рекуррентным способом.
5.Найти среднее геометрическое (Арифметическое) чисел  2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания . Образуют ли  эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию.
6.Справедлива ли такая зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей .

Запись ответов производится учащимися, которые поочередно вызываются к доске от каждой команды:
1) 5;7;9;11;13;15;17.                                       1) 1;2;4;8;16;32;64.  

 2)                                                                      2)

n	1	2	3	4	5	6	7
a	5	7	9	11	13	15	17

n	1	2	3	4	5	6	7
a	1	2	4	8	16	32	64

3) а₂-а₁=2 ,  а₃-а₂=2…                                      3) b₂:b₁=2 , b₃:b₂=2…

             a_n+1-a_n=d                                                   b_n+1:b_n=q

4)  a₂=a₁+2 , a₃=a₂+2…                                      4) b₂=b₁*q , b₃=b₂*q
                                                                                                         
               a_n+1=a_n+d                                                 b_n+1=b_n*q                                                                        

5)  =5      2;5;8                                            5) =4           2;4;8

6)=7 , =9…                                      6) =2 , =4…

Отдельно, капитаны команды решают более сложные задания.

№433
Найти все члены арифметической прогрессии ( ), обозначенные буквами
a₁  ; a₂ ; -19 ; -11,5 ; a₅…                           a₁ ; -8,5 ; a₃ ; -4,5 ; a₅ ; a₆…

d=-11,5+19=7,5                                        d=-6,5+8,5=2

a₁=-26,5-7,5=-34                                      a₁=-8,5-2=-10,5

a₂=-19-7,5=-26,5                                      a₃==-=-6,5

a₅=-11,5+7,5=-4                                        a₅=-4,5+2=-2,5

                                                                     a₆=-2,5+2=-0,5

Далее команды работают по учебнику.

1к. №446(а)                                                                   2к. №446(б)

Найдите сумму ,слагаемыми которой являются последовательные члены арифметической прогрессии .

2+6+10+…+198                                                               95+85+75+…+(-155)

d=6-2=4.                                                                           d=85-95=-10.

n=+1                                                                      a_n=a₁+d(n-1)

n=+1=50.                                                             n==25.

S₅₀==5000.                                                 S₂₅==-750.

В конце урока подводятся итоги  и  выставляются оценки .

Д/3.  № 380 и 401  составить аналогичные задачи и решить их.
 

                         Школа – лицей  №20 имени А.С.Пушкина

Методическая разработка  урока по алгебре  9 класс

по теме : «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Тема урока:

Прогрессио- движение вперед.

    Учитель математики:   Ортман Татьяна Павловна.

                                                          г.Атырау

                                                             2015г.