Конспект урока по алгебре и началам анализа 11 класса по теме : "Производная"

Пояснительная записка

Для проведения практических занятий по дисциплине «Алгебра и начала анализа» разработан цифровой образовательный ресурс (ЦОР) по теме «Производная функции».

Цели создания цифрового ресурса:

-применение информационных технологий в процессе обучения математике;

- использование интерактивной доски на занятиях естественнонаучных дисциплин для реализации дидактического принципа наглядности;

- повышение уровня качества проведения урока по теме «Производная функции».

Задачи, которые решаются  в ходе практического занятия:

- формирование умений использования различных видов информации (графической, звуковой, текстовой) в учебной деятельности;

- интеграция объемной демонстрации на интерактивной доске с объяснением преподавателем способов решения математических задач;

- использование виртуального пространства для реализации принципа наглядности при изучении темы занятия;

- формирование представлений о возможностях использования интерактивных мультимедийных информационных технологий в современном обществе;

- изучение математической терминологии с помощью интерактивных методов;

-воспитание информационной культуры школьников.

Тема: Производная функции.

Дисциплина: Алгебра и начала анализа.

Тип урока по форме проведения: дидактическая игра.

Продолжительность: 80 минут.

Место проведения: кабинет математики.

Цели занятия:

1. Образовательные:

знать:

– понятия функции, приращения функции, разностного отношения;

– формулы дифференцирования, правила вычисления производных;

– уравнение касательной к графику функции, определение экстремума функции, условия убывания и возрастания функции;

– алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы;

– алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке;

уметь:

– находить производные функций;

– использовать правила дифференцирования для решения задач;

– составлять уравнение касательной к графику функции;

– исследовать функцию с помощью производной и строить ее график;

– вычислять наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.

2. Развивающие:

– способствовать развитию математического мышления через методы активного обучения;

– развивать вычислительные навыки;

– развивать кругозор школьников.

3. Воспитательные:

– прививать любовь к математике;

– воспитывать сознательное усвоение дисциплины;

– формировать значимые качества обучения (внимательность, аккуратность, память, ответственность за выполняемую работу).

Связь с современностью: использование мультимедийных, интерактивных информационных технологий.

Интеграционные связи:

– внутрипредметные с разделами математики: «Декартовы координаты», «Свойства функций», «Тригонометрические функции»;

– межпредметные: информатика.

Методическое оснащение занятия:

– учебник «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс, Никольский С.М..;

– методическая разработка занятия.

Техническое оснащение занятия:

– проектор;

– интерактивная доска;

– программа Notebook Software 11.

При подготовке материала к занятию были использованы интерактивные средства коллекции Lesson Activity Toolkit 2.0, основные манипуляционные возможности интерактивной доски (запись маркером, движение выбранных объектов), непрозрачные «заслонки», анимации, фотографии, картинки и авторский графический материал.

Литература

1. 1. Никольский С.М.. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс :: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый  и профильный уровень) / С.М. Никольский – М. : Просвещение, 2014. – 468 с.

2. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы : в 2 ч. Ч. 2 : задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович [и др.]. – М. : Мнемозина, 2012.  – 239 с. : ил.

3. Башмаков, М. И. Математика. 10, 11 классы : учебник (базовый уровень) / М. И. Башмаков. – М. : Издательский центр «Академия», 2012.

Интернет-ресурс:

http://www.bymath.com/studyguide/ana/sec/ana3.htm – Derivative. Geometrical and mechanical meaning of derivative.

Основные этапы занятия:

I. Организационный момент.

II. Целевая установка на занятие.

III. Мотивация урока.

IV. Разминка (заполнение таблицы).

V. Нахождение ошибки. («Найди ошибку!»)

VI. Составление алгоритмов.

VII. Выбор соответствия.

VIII. Составление уравнения касательных.

IX. Исследование функции.

X. Задание на нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке.

XI. Тестовые задания.

XII. Контрольные вопросы.

XIII. Подведение итогов занятия.

Содержание работы

Этапы занятия	Слайд электронного ресурса	Использование электронного ресурса	Методическое обоснование	Формирование универсальных учебных действий (личностных, регулятивных, познавательных, коммуникативных)
1	2	3	4	5
I. Организационный момент	(1)	Титульный лист ЦОР. Здесь указаны изучаемая дисциплина, тема занятия. Используются два интер-активных элемента: бегущая строка и нави- гационная кнопка пере- хода на следующую страницу	Направлен на соблюдение единых требований к школьникам	Формирование познавательного интереса, формулирование проблемы
II. Целевая уста-новка на занятие	(2)	Выделение главного материала, который ученик должен понять и запомнить на уроке	Структурирует основные понятия и термины данной темы.  Способствует сознательному усвоению изучаемого материала, самоанализу знаний учащихся. Реализует дидакти- ческий принцип системности и последовательности	Формирование личностных, регулятивных, познавательных УУД, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели

Продолжение табл.

1	2	3	4	5
III. Мотивация урока	(3)	Урок проводится в форме дидактической игры в виде соревнования. Класс делится на две команды - «Зеленые» и «Оранжевые». Для подведения промежуточных итогов и подсчета общего количества баллов заполняется балльно-рейтинговая таблица, представленная на странице. После каждого этапа она заполняется новыми данными, затем подводится итог	Реализован дидакти-ческий принцип наглядности. Позволяет объективно оценить знания и умения школьников	Формирование познавательного интереса, реализация целеполагания, развитие кри-тического мышления, выработка умений оценивания и само-оценивания
IV. Разминка (заполнение таблицы)	(4)	Первое задание соревнования – заполнить таблицу: вписать производную функции. Задание выполняется одним из членов команды по очереди - сначала от команды «Зеленые»,	Необходим для пов-торения опорных знаний, на которых базируется данная тема. Позволяет определить уровень под- готовки групп к занятию	Формирование познавательных способностей, самостоятельное разрешение проблем, проявление личностных качеств, выделение главного, отбор понятий. Проявление регуля-тивных и коммуникативных способностей

Продолжение табл.

1	2	3	4	5
		затем убирается затенение экрана и таблицу заполняет представитель команды «Оранжевые»
V. Нахождение ошибки («Найди ошибку!»)	(5)	В таблице представлены табличные производные и правила дифференци- рования. В формулах имеется 10 ошибок. Сколько ошибок опреде-ляет команда, столько баллов она и получает за этот этап конкурса.	Анализ ответов позволяет систематизировать знания, способствует запоминанию правильных формул	Формирование обще-учебных универсальных действий: само- стоятельное выделе-ние необходимой информации, структурирование знаний, осознанное построение высказывания в устной форме, выбор наиболее эффективных способов

Продолжение табл.

1	2	3	4	5
		Затем верхняя таблица сдвигается, отображается вторая таблица с выде- ленными ошибками		решения задач в зависимости от конкретных условий

Продолжение табл.

1	2	3	4	5
VI. Составление алгоритмов	(6)	Слайд используется для составления алгоритмов: для команды «Зеленые» – определение монотон-ности функции с помо- щью производной, для «Оранжевых» – нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке. К доске выходят по оче-реди представители команд, составляют алгоритм, количество баллов равно количеству правильных составленных шагов алгоритма. Для исполнения задания используется интерактивный элемент, в котором предусмотрена проверка задания, правильные ответы отмечаются зеленой галочкой, а неправильные - красным крестиком. Кнопки интерактив- ного средства: Edit – редактирование объекта,	Формирует навыки внимательности, ответственности, самопроверки, раз- вивает память, логи- ческое мышление, точность воспроизведения математических формулировок	Формирование алгоритмического мышления способствует активизации учебно-познавательной дея- тельности обучаю-щихся, структурный анализ информации помогает проявлять личностные, регулятивные универсальные учебные действия

Продолжение табл.

1	2	3	4	5
		Check – проверка, Reset – начать сначала, Solve – правильный ответ
VII. Выбор соответствия	(7)	Для выполнения задания с помощью интерактив-ного средства коллекции Lesson Activity Toolkit 2.0 нужно переместить объекты справа в пустые ячейки слева, соответст-вующие надписям. Значения кнопок: Edit – корректировка данных, Check – выпол-няется проверка, Reset – начать сначала, Solve – правильные ответы. Задания выполняются командами по очереди. Для выделения интерактивного средства откры-вается его контекстное меню, выбирается строка Порядок, в новом меню – На передний план	Систематизирует знания, способствует запоминанию правильных опреде- лений. Повторение способствует лучшему восприятию материала	Формирование познавательных УУД  через структурирование знаний, осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной форме, запоминание базовых понятий. Управление поведе-нием, умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации

Продолжение табл.

1	2	3	4	5
VIII. Составление уравнения касательных	(8)	Командам выдается задание на карточках (см. Приложение 3). После его выполнения представитель от каждой команды расставляет над решениями правильные ответы	Способствует более глубокому освоению теоретического материала. Формирует навыки работы по эталону. Реализуются образовательные цели занятия	Формирование личностных качеств через  действие смыслообразования - установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, то есть между результатом учения и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется
	(9)	Данная страница с аналогичным заданием для второй команды. Ввиду сложности задания за каждую правильно решенную задачу команда получает 2 балла	Способствует лучшему усвоению знаний и умений. Своевременная оценка выполненного задания поднимает дух соревнования, увеличивает интерес учащихся. Реализуются образовательные цели занятия	Формирование познавательных УУД через контроль в форме сравнения выполненных действий и результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона. Формирование критического мышления, способности давать оценку и самооценку

Продолжение табл.

1	2	3	4	5
IX. Исследование функций с помощью производной	(10)	На экране представлена схема исследования функции с помощью производной. С использованием этой схемы учащиеся выполняют задание одно для всех. Преподаватель проверяет задание по правильности построения графика. Количество баллов для команды – количество правильных построенных графиков. Файл с решением прила-гается	Компактное изложение материала позволяет в доступной форме усвоить большой объем материала, расширяет базовые знания, реализует дидактический принцип наглядности	Универсальные познавательные логические действия: анализ объектов с целью выделения существенных признаков, синтез как составление целого из частей, выведение главного, установление при- чинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, выдвижение гипотез и их обоснование
X. Задание на нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке	(11)	На экране, кроме задания, представлен интер-активный элемент для сортировки правильных и неправильных ответов. Задания выдаются на карточках для того, чтобы обе команды были в одинаковом положении. Виртуальный «водово-	Систематизирует материал на базе имеющихся знаний. Активизирует мыс-лительную деятельность, реализует образовательные цели занятия	Формирование УУД (регулятивных, личностных, коммуникативных и познавательных) через отбор понятий, сравнения с эталоном, выделение главного, критическое осмысление изученной темы.

Продолжение табл.

1	2	3	4	5
		рот» поглощает только верный выбор, в конце показывая разделение чисел на две части. При подсчете баллов следует учитывать количество ошибок. За правильное решение задачи дается 4 балла		Инициативное сотрудничество в поиске информации, принятие решения и его реализация
	(12)	Аналогичное задание для второй команды - «Оранжевые»	Воспитывает сознательное усвоение предмета, глубокое понимание значи- мости проделанных действий. Реализует образовательные цели. Прививается интерес к дисциплине	Формирование ком-муникативных действий: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками – определение цели, функций участников

Продолжение табл.

1	2	3	4	5
XI. Тестовые задания	(13)	Интерактивный элемент коллекции Lesson Activity Toolkit 2.0 позволяет проводить небольшое тестирование (см. Приложение 1), кнопка Next – следующий вопрос. Команды тестируются по очереди. По окончании подводятся итоги. Количество баллов за этот этап равно количеству правильно выполненных заданий	Способствует более глубокому усвоению материала, формированию мотивации успеха. Организация деятельности в игровой форме. Работа с терминами закрепляет полученные знания. Реализуется дидак- тический принцип связи теории с практикой	Извлечение необхо- димой информации из изученного, анализ, синтез, установ-ление причинно-следственных связей, развитие коммуникативной компетенции

Окончание табл.

1	2	3	4	5
XII. Контрольные вопросы	(14)	Команды по очереди отвечают на вопросы, за каждый правильный ответ получают балл (см. Приложение 4). На слайде два интерак-тивных элемента: «воздушный шарик» и «аплодисменты», которые появляются, когда «шарик лопнет»	Позволяет определить уровень усвоения материала, объективно оценить знания и умения школьников	Формирование ком-муникативных способностей, личностных качеств школьников, умения с достаточной полнотой и точностью выра-жать свои мысли в соответствии с зада-чами и условиями коммуникации; владение монологи-ческой и диалогиче-ской формами речи в соответствии с нормами родного языка
XIII. Подведение итогов занятия	Вернуться на слайд 3	Вычисляется общее количество баллов по рейтинговой таблице. Определяется победитель соревнования. Подводятся итоги занятия, выставляются оценки. При необходи-мости дается домашнее задание	Учит анализировать ситуацию, развивает познавательный интерес, умение систематизировать знания, выбирать главное и обобщать результаты своей работы. Реализуется дидак-тический принцип наглядности	Развитие личностных качеств, оценка про-исходящего и уровня знаний своего и одноклассников

Приложения

Приложение 1

Тестовые задания
для команды «Зеленые»

1. Нахождение производной называется:

A) дифференцированием;

B) интегрированием;

C) логарифмированием;

D) потенцированием.

2. Производная постоянного числа равна:

A) нулю;

B) единице;

C) бесконечности;

D) нельзя определить.

3. Производная функции показывает:

A) скорость ее изменения;

B) ее четность;

C) ее ограниченность;

D) период функции.

4. Производная часто используется:

A) для исследования функций;

B) решения уравнений;

C) преобразования тригонометрических выражений;

D) доказательства тождеств.

5. Производная квадратичной функции является:

A) линейной зависимостью;

B) постоянным числом;

C) другой квадратичной функцией;

D) кубической зависимостью.

6. Производная суммы двух функций равна:

A) сумме производных этих функций;

B) произведению производных этих функций;

C) частному производных этих функций;

D) нулю.

7. Производная функции у = cos x – 5 равна:

A) –sin x;

B) cos x – 5;

C) sin x – 5;

D) tg x.

8. Скорость изменения функции у =  в точке х = –2 равна:

A) –0,25;                            C) –0,5;

B) 0,25;                    D) 0,5.

9. Угловой коэффициент касательной к графику функции у =  в точке х = 1 равен:

A) –1;                       C) 0,5;

B) 1;                         D) 0.

10. Значение производной в точке экстремума равно:

A) 0;

B) 1;

C) производную определить нельзя;

D) точка является точкой разрыва.

Правильным ответом для каждого вопроса является ответ А.

В интерактивном элементе ответы отображаются в случайном порядке.

Тестовые задания
для команды «Оранжевые»

1. Выберите верное равенство:

А) (2х)' = 2;

В) (х – 3)' = 3;

С) (2)' = 2;

D) (х – 1)' = 0.

2. Выберите верное утверждение:

А) производная постоянной величины равна нулю;

B) производная частного двух функций равна нулю;

С) производная суммы двух функций равна единице;

D) производная тригонометрической функции равна единице.

3. Укажите количество точек экстремума для квадратичной функции:

А) 1;

B) не имеет экстремумов;

C) 2;

D) бесконечное множество.

4. Функцию, имеющую производную в точке, называют:

А) дифференцируемой в этой точке;

B) логарифмируемой в этой точке;

C) интегрируемой в этой точке;

D) возрастающей в этой точке.

5. Производная в точке экстремума равна:

А) нулю;

B) единице;

C) определить нельзя;

D) значению функции в этой точке.

6. Критическими называются точки, в которых:

А) производная равна нулю или не существует;

B) производная равна нулю;

C) производная не существует;

D) производная отрицательна.

7. С помощью производной находится:

А) скорость;

B) область определения функции;

C) перемещение;

D) арксинус.

8. Выберите верное утверждение:

А) угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла ее наклона к оси ОХ;

B) касательная не имеет с графиком функции общих точек;

C) с помощью производной вычисляются площади фигур;

D) производная от координаты по времени есть ускорение точки.

9. Выберите верное утверждение:

А) производная от скорости по времени есть ускорение;

B) производная постоянной равна единице;

C) угловой коэффициент касательной равен наибольшему значению функции на интервале;

D) касательная имеет с графиком функции две общих точки.

10. Прямая у = х – 2 касается графика функции у = f (x) в точке х = 1. Значение f (1) равно:

А) –1;                       B) –2;

C) 0;                         D) 1.

Правильным ответом для каждого вопроса является ответ А.

В интерактивном элементе ответы отображаются в случайном порядке.

Приложение 2

Выберите соответствие – задания для команды «Зеленые».

Секущая Производная Максимум Константа Убывание Дифференцирование Критическая Непрерывность

Прямая, пересекающая график функции в нескольких точках Скорость изменения функции Наибольшее значение функции на интервале Постоянное число Уменьшение значений функции при увеличении значений аргумента Нахождение производной Точка, в которой производная не существует или равна нулю Свойство функции не иметь точек разрыва

Выберите соответствие – задания для команды «Оранжевые».

Функция Аргумент Монотонность Касательная Экстремум Приращение Дифференцирование Производная

Зависимость, при которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции Независимая переменная Возрастание или убывание функции Прямая, имеющая с графиком функции одну общую точку Точки минимума и максимума Небольшое изменение Нахождение производной Скорость изменения функции

Приложение 3

Выберите уравнения касательных к графикам функций.

Задание	Ответ
y = –х2 – 4х + 2 в точке х0 = –1	y = –2х + 3
y = 2х3 – х в точке х0 = –2	y = 23х + 32
y = sin х – 3х + 2 в точке х0 = 0	y = –2х + 2
y = х3 – 3х – 1 в точке х0 = –2	y = 9х + 15

Задание	Ответ
y = –х2 + 6х + 8 в точке х0 = –2	y = 10х + 12
y = 3х2 – х3 в точке х0 = 2	y = 4
y = 4х – sin х + 1 в точке х0 = 0	y = 3х + 1
y =  в точке х0 = 1	y = 2 – х

Приложение 4

Контрольные вопросы

1. Что такое приращение аргумента? Приращение функции?

2. Дайте определение производной функции.

3. В чем заключается геометрический смысл производной?

4. В чем заключается механический смысл производной?

5. Что такое дифференцирование?

6. Перечислите основные правила дифференцирования.

7. Какие  формулы  из  таблицы  производных  используются  чаще всего?

8. Что такое касательная?

9. Запишите формулу касательной к графику функции.

10. Где используется понятие производной и ее приложения?

11. Что такое экстремум функции?

12. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции.

13. Как определить монотонность функции с помощью производной?

14. Каков алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке с помощью производной?

15. Перескажите план исследования функции с помощью производной.

16. Как определяется угол наклона касательной к оси ОХ?

Приложение 5

«Математика – царица наук, арифметика – царица математики».

К. Ф. Гаусс

«В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии».

Н. Е. Жуковский

Решение

Исследование и построение графика функции
f (x) = x³ – 3x

1. D (f) = R, x Î (–¥; +¥).

2. f (–x) = (–x)³ – 3 · (–x) = –x³ + 3x = –(x³ – 3x).

f (–x) = –f (x), функция нечетная, то есть график симметричен относительно начала координат.

3. Находим точки пересечения с осями координат:

с осью OY: x = 0, y = 0 (0; 0);

с осью OX: y = 0.

x³ – 3x = 0;

x(x² – 3) = 0;   x² = 3;

x₁ = 0;   x₂ = ;   x₃ = –.

4. Находим производную функции: f ' (x) = (x³ – 3x)' = 3x² – 3.

5. Находим критические точки функции:

f ' (x) = 0;

3x² – 3 = 0;

3(x² – 1) = 0;   x² = 1;

x₁ = 1;   x₂ = –1.

6. Находим промежутки возрастания и убывания функции:

f ' (–2) = 3 · (–2)² – 3 = 12 – 3 = 9 > 0;

f ' (0) = 3 · (0)² – 3 = – 3 < 0;

f ' (2) = 3 · 2² – 3 = 12 – 3 = 9 > 0.

7. Находим точки экстремума функции: x_max = –1;   x_min = 1.

8. Находим значения функции f (x) в точках экстремума:

x_max = –1;   y_max = f (x_max) = f (–1) = (–1)³ – 3(–1) = –1 + 3 = 2.

x_min = 1   y_min = f (x_min) = f (1) = 1³ – 3 · 1 = 1 – 3 = –2.

9. Заполняем таблицу:

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 1)	1	(1; +¥)
f ' (x)	+	0	–	0	+
f (x)		2		–2
		max		min

10.

f '' (x) = (3x² – 3)' = 6x;

f '' (x) = 0;

x = 0.

11. Строим график.