Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по алгебре на тему "Алгебраические уравнения" (9 класс)

Конспект урока по алгебре на тему "Алгебраические уравнения" (9 класс)

  • Математика

Название документа Приложение 2 Историческая справка.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ

«ВЕЧЕРНЯЯ (СМЕННАЯ) ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2»












РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

( П Р И Л О Ж Е Н И Е 2 )





Из истории развития алгебраических уравнений

(историческая справка)











Разработка учителя математики

Кащеевой О.М.

Историческая справка.


Алгебра, как искусство решать уравнения, зародилась очень давно в связи с потребностями практики, в результате поиска общих приемов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Еще со времен вавилонян и древних индусов считается, что одной из основных целей алгебры является решение уравнений и их систем. В Древнем Вавилоне 4000 лет назад умели решать уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени. Древние греки, решая уравнения, предварительно придавали им геометрическую форму: числа отождествлялись с длинами отрезков, нахождение неизвестной для них означало построение исконного отрезка. Но общей теории решения уравнений в те времена ещё не было.
 
Рассмотрим задачу, найденную в папирусе Кахуна (18-16 в.в до н.э) и имевшую прикладное значение. Формулировалась она в геометрических терминах, мы же дадим её трактовку в современных обозначениях: «Найти числа x и y, для которых x
2 + y2 =100 и x : y=1:0,75». В папирусе эта задача (сводящаяся, фактически, к решению системы уравнения) решена методом «ложного положения». «Положим x = 1, тогда y = 0,75 и x2 + y2 = 1,252. Но в условии x2 + y2 = 102, значит в качестве x нужно брать не 1, а 10:1,25 = 8. Тогда y=6». 
Выдающийся узбекский ученый первой половины 9 века аль-Хорезми впервые сформулировал правила преобразований уравнений, обосновал их геометрически, в традициях древних греков. В 12 веке аль-Хорезми были переведены на латинский язык и служили долгое время в Европе основным руководством по алгебре. Арабское название операции «восполнение» («перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть»), звучало как «аль-джебр», что и дало название разделу математики, занимающемуся решением уравнений – «алгебра».
Исторически развитие теорий уравнений и систем уравнений неразрывно связано с расширением числовых представлений, с накоплением опыта в преобразованиях алгебраических выражений, с развитием учения о функциях.
 
В процессе развития алгебры из науки об уравнениях преобразовалась в науку об операциях, более или менее сходных с действиями над числами. Таким образом, современная алгебра – один из основных разделов математики.

Сегодня на уроке мы обратим внимание на решение уравнений высших степеней. Вы знаете, что уравнение первой степени ах+ b = 0, при а ≠ 0 имеет единственный корень. Число корней уравнения второй степени ах2 + bх + с = = 0 зависит от дискриминанта, но в любом случае имеет не более двух корней. Существуют формулы для вычисления корней уравнений третьей и четвертой степени, но они столь сложны, что ими практически не пользуются. Для уравнений пятой степени и выше не существует общих формул вычисления корней. Поэтому в современной математике разработаны различные методы, позволяющие с любой степенью точности находить приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров значительно облегчает эту работу. Приближенное решение уравнений тесно связано с построением графиков функций. Но сегодня мы не будем рассматривать этот метод.

Название документа Приложение 3 Дидактический материал.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_mb419d65.gifhello_html_m1c0f493f.gifhello_html_2c397abf.gifhello_html_2c397abf.gifhello_html_m30449e0b.gifhello_html_557cbc86.gifhello_html_557cbc86.gifhello_html_557cbc86.gifhello_html_557cbc86.gifhello_html_557cbc86.gifhello_html_557cbc86.gifhello_html_m6c92b3ec.gifhello_html_557cbc86.gifhello_html_557cbc86.gifhello_html_557cbc86.gifhello_html_557cbc86.gif

КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ

«ВЕЧЕРНЯЯ (СМЕННАЯ) ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2»












РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

( П Р И Л О Ж Е Н И Е 3 )






Дидактический материал обучающегося, развивающего и контролирующего характера

для учащихся 9 классов и для повторения темы в курсе 12 класса.











Разработка учителя математики

Кащеевой О.М.



Определение алгебраического уравнения

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида

P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,

где P — многочлен от переменных x_1, \ldots, x_n, которые называются неизвестными.



Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля {F}, и тогда уравнение P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 называется алгебраическим уравнение над полем {F}.



Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Например, уравнение

y^4 + \frac{xy}{2} + y^2z^5 + x^3 - xy^2 + \sqrt{3} x^2 - \sin{1} = 0

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.



Связанные определения

Значения переменных x_1, \ldots, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.



Примеры алгебраических уравнений

  1. Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители

       Пример решения

I способ

Пример: x3 – 3x – 2 = 0.

Решение.

D(–2) : hello_html_706845c2.gif, hello_html_581e6501.gif

Можно догадаться, что число х1 = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.


x3 – 3x – 2 х + 1

х3 + х2 х2 –х–2

х2–3х–2

х2 – х

2х–2

2х–2

0


(х + 1)( х2 –х–2) = 0;

х + 1 = 0 или х2 –х–2 = 0;

х1 = –1 х2,3 = hello_html_me576ef0.gif ;

х2,3 = hello_html_mef73d6f.gif ;

х2 = –1, х3 = 2

Ответ. –1; 2.


II способ

Пример: x3 – 3x – 2 = 0.

Решение.

x3 + х2 х2 – х – 2x – 2 = 0;

(x3 + х2) – (х2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х2(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х2 –х–2) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

hello_html_451a8f32.gif(х –2) = 0;

х1 = –1, х2 = 2

Ответ. –1; 2.


Решить самостоятельно или по образцу.

  1. x3 – х2 – 8x + 6 = 0;

  2. x4 + x3 4x2 2x + 4 = 0;

  3. 6x3 + 11x2 3x 2=0.




Основные формулы:

ах2 + bх + с = 0

х1,2 =



Формулы Виета

 Если х1, х2   - корни квадратного уравнения

ах2 + bх + с = 0,   то

http://www.pm298.ru/Math/f821.JPG



     Для уравнения х2 + рх + q = 0  http://www.pm298.ru/Math/f823.JPG




  1. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим



    1. Биквадратные уравнения


Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где

а, b, с – заданные числа, причем а ≠ 0.


Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y%20=%20x%5e2.


Новое квадратное уравнение относительно переменной http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y:  http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=ay%5e2%20%2B%20by%20%2B%20c%20=%200.


Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y_1 и  http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y_2.

Решая эти два уравнения (http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y_1%20=%20x_1%5e2 и http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y_2%20=%20x_2%5e2) относительно переменной http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.



Порядок действий при решении биквадратных уравнений



  1. Ввести новую переменную http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y%20=%20x%5e2

  2. Подставить данную переменную в исходное уравнение

  3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной

  4. После нахождения корней (http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y_1,%20y_2) подставить их в нашу переменную http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y%20=%20x%5e2 и найти исходные корни биквадратного уравнения


Пример решения

Пример: х4 2 9 = 0.

Решение.

Пусть у = х2, где у hello_html_m6d1256d7.gif 0;

у2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

у1 = –1; у2 = 9;

Первое решение отбрасываем ( у hello_html_m6d1256d7.gif 0),

а из второго находим х1 = –3; х2 = 3.

Ответ. х1 = –3; х2 = 3.



Решить самостоятельно или по образцу

А4. Решите биквадратное уравнение:


Основные формулы:


ах2 + bх + с = 0

х1,2 =


Формулы Виета

 Если х1, х2   - корни квадратного уравнения

ах2 + bх + с = 0,   то

http://www.pm298.ru/Math/f821.JPG

     Для уравнения х2 + рх + q = 0  

http://www.pm298.ru/Math/f823.JPG


    1. Симметрические уравнения


Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.


Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

ax3 + bx2 + bx + a = 0, где ab  –  заданные числа.


Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

10.  У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.

(х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому, 
х + 1 = 0 или ах
2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.


20.  У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.


30. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.


Пример решения


Пример: х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.

Решение.

У исходного уравнения обязательно есть корень х = 1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x2 + х + 1) = 0.

Квадратное уравнение

x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ. –1.

Решить самостоятельно или по образцу.


  1. 3 + 2 +  + 2 = 0;

  2. 3 + 5х2 + 5х + 3 = 0.


Основные формулы:

ax3 + bx2 + bx + a = 0;

(х + 1)( aх2 + (ba)x + a) = 0;

х + 1 = 0 или aх2 + (ba)x + a = 0


ах2 + bх + с = 0

х1,2 =


    1. Возвратные уравнения


Уравнение вида  anxn + an – 1 xn – 1 + … +a1x + a0 = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных

позициях, равны, то есть если 
an – 1  = ak, при k = 0, 1, … , n.


Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a  0.

Оно является частным случаем уравнения

ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 при k = 1.



Порядок действий при решении возвратных уравнений

вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0:

  • разделить левую и правую части уравнения на x2  0. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;

  • группировкой привести полученное уравнение к виду 

a( x2 + hello_html_2423c56e.gif) + b( x + hello_html_m5cdff76c.gif) + c = 0;

  • ввести новую переменную t = x + hello_html_m5cdff76c.gif , тогда выполнено


t2 = x2 + 2 + hello_html_2423c56e.gif , то есть x2 + hello_html_2423c56e.gif = t2 – 2; 



в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: 

at2 + bt + c – 2a = 0;

  • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.


      

Пример решения

Пример: 2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0.

Решение.

Разделим на x2, получим 

http://festival.1september.ru/articles/418202/img35.jpg

Введем замену
Пусть  х + hello_html_m7780d1b.gif = t ,  x2 + hello_html_59f46f06.gif = t2 – 10,

тогда 2t2 – 3t – 27 = 0;
http://festival.1september.ru/articles/418202/img37.jpg http://festival.1september.ru/articles/418202/img38.jpg

http://festival.1september.ru/articles/418202/img39.jpghttp://festival.1september.ru/articles/418202/img40.jpg

Ответ. 2; hello_html_m11fa625d.gif .


Решить самостоятельно или по образцу.

  1. http://lib.podelise.ru/tw_files2/urls_1/6/d-5498/5498_html_m71d72cf7.gif;

  2. x4–2x3–9x2–6x+9=0;

  3. 5x4 +5x314x210x+12=0

Основные формулы:

ах2 + bх + с = 0

х1,2 =

Формулы Виета

 Если х1, х2   - корни квадратного уравнения

ах2 + bх + с = 0,   то

http://www.pm298.ru/Math/f821.JPG

     Для уравнения х2 + рх + q = 0  http://www.pm298.ru/Math/f823.JPG



    1. Рациональные уравнения.


Определение. Рациональными уравнениями называются уравнения, членами которого являются рациональныкие дроби, у которых числителями и знаменателями являются многочлены.


Порядок действий при решении рациональных уравнений

  1. Умножить уравнение на общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение;

  2. Свести полученное уравнение к алгебраическому и решить его;

  3. Проверить, при каких найденных значениях неизвестного знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны нулю.



Пример решения


Пример: hello_html_246eefeb.gif + hello_html_m18bf36b1.gif = hello_html_3128206c.gif

Решение.

Умножая это уравнение на (х + 1)(х + 2), получаем

х + 2 + hello_html_1a436c6.gif(х + 1) = 2х + 3;

х4 + х3 – х – 1 = 0;

Решим это уравнение, разложив его левую часть на множители способом группировки:

4 – 1) + (х3 – х) = 0;

2 – 1)( х2 + 1) + х( х2 – 1) = 0;

2 – 1)( х2 + х + 1) = 0;

х2 – 1 = 0 или х2 + х + 1 = 0;

х1,2 = hello_html_m13c2736b.gif1 D = 1 – 4 = –3, –3 hello_html_m3e77203c.gif

действительных корней нет


Проверка:


При х = 1 знаменатели дробей, входящих в исходное уравнение, не равны нулю, поэтому х = 1 корень этого уравнения.


При х = –1 знаменатели двух дробей исходного уравнения равны нулю, поэтому

х = –1 посторонний корень.


Ответ. х = 1.


Решить самостоятельно или по образцу.

1) hello_html_2ae3b0fa.gif hello_html_m1d6d984f.gif = hello_html_m4f99988.gif;

2) hello_html_m2e37555c.gif hello_html_6d51f0e8.gif = hello_html_m109d7b6a.gif ;

3) hello_html_m5d159f04.gif hello_html_m5cdff76c.gif = 2 + 2х .


Основные формулы:

Формулы сокращенного умножения:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a - b) (a+b)

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)


ах2 + bх + с = 0

ах2 + bх + с = а(х - х1)(х - х2)


х1,2 =


Дискриминант  D =  b2 - 4ac.

Корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
D > 0 - уравнение имеет 2 различных корня;
D = 0 - уравнение имеет 1 корень:
дискриминант
D < 0 - действительных корней нет.




Название документа урок Алгебраические уравнения.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ «СРЕДНЯЯ ШКОЛА №2 (ОЧНО-ЗАОЧНАЯ)»




Разработка урока по алгебре

9, 12 класс

Учитель математики: Кащеева Ольга Михайловна

* высшая квалификационная категория

Тема урока Решение алгебраических уравнений (2часа).


Цели урока:

  1. Образовательная цель: Научиться решать алгебраические уравнения в соответствии с их видами (типами), используя рациональные методы и приёмы их решения.


  1. Воспитательная цель урока: Развитие навыков и умений коллективных методов работы, воспитание уважения и терпимости друг к другу, умения слушать и общаться друг с другом.



  1. Развивающая цель урока. Развитие навыков логического мышления, мыслительных способностей, наблюдательности, самостоятельности, навыков сравнения, обобщения, анализа, ознакомление с историей возникновения учения об алгебраических уравнениях.


Урок реализуется по адаптивной системе обучения.


Краткая характеристика контингента обучающихся


Состав учащихся класса представляет собой обучающихся-осуждённых переводного контингента и учащихся нового набора. Ученики переводного контингента, проучившиеся в школе от 1 до 5 лет, значительно отличаются от новичков хорошей дисциплиной, положительной мотивацией к учебному труду, общей культурой, необходимыми опорными знаниями по предметам, уважительным отношением к школе, к учителям. На начало учебного года классы формируются как из переводного контингента, так и из учащихся нового набора. Многолетняя практика школы показала эффективность такого образования классных коллективов. Учащиеся переводного контингента оказывают положительное влияние на новичков, происходит воспитание в коллективе через коллектив. Для работы учащихся в группах обязательно учитывается психологическая совместимость обучающихся. Новички, за редким исключением, имеют значительный перерыв в учёбе, большие пробелы в знаниях, часто негативный опыт детской школы, низкую мотивацию учебного труда, неоднократные судимости. Всё это требует от учителя определённых усилий для вовлечения осуждённых в активную познавательную деятельность. Неразвитые психофизические процессы обучающихся, такие, как память, внимание, мышление требуют от учителя внедрения отлаженной системы повторения, закрепления опорных знаний и выстраивания личностной траектории развития каждого учащегося по предмету. Кроме того, учебные планы, учебные программы и весь учебно-методический комплекс не учитывают специфику обучения взрослых, тем более специфику обучения взрослых осуждённых. Решение проблем адаптации учебно-методических комплексов детской школы к условиям обучения взрослых возложили на себя педагоги открытых вечерних школ и педагоги школ пенитенциарной системы


Оборудование: Учебно-методический комплекс по алгебре для 9,10,11 классов Г.К. Муравина и др., записи вопросов на доске, опорные таблицы, дидактический материал обучающего, развивающего и контролирующего характера разных уровней сложности с необходимыми формулами и опорными сигналами, компьютер, проектор, слайдовая презентация (Приложение 1).

.



1этап. Объяснение нового материала, обучение приёмам самостоятельной работы. (10-12 минут)


Определяются учебные цели урока. Повторяются такие понятия, как уравнение, степень числа, степень многочлена, даётся информация из истории развития алгебраических уравнений (Приложение 1, Приложение 2). Даются пояснения по использованию опорной таблицы (Приложение 3).

Учитель даёт учащимся консультации по работе с пакетом дидактического материала обучающего, развивающего и контролирующего характера различных уровней сложности с необходимыми формулами и опорными сигналами. Дидактический материал содержит 5 основных видов алгебраических уравнений: алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители; уравнения, сводящиеся к алгебраическим ( биквадратные, симметрические, возвратные,
рациональные). Учащиеся рассматривают решённые уравнения, запоминают виды уравнений, методы и приёмы их решения.

У каждого ученика на столе имеется учебник, пакет с дидактическими материалами обучающего, развивающего и контролирующего характера (Приложение 3). По мере работы с дидактическим материалом учитель выявляет затруднения в усвоении учащимися учебного материала, отрабатывает понятийный аппарат, направляет работу учащихся на оптимальный выбор приёмов и методов решения основных видов алгебраических уравнений.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что правильность решения уравнения можно проверить проверкой найденных корней. (В дидактических материалах выделено зелёным цветом).

При применении некоторых формул используется ряд сигнальных обозначений.

Для ряда учащихся, имеющих значительные пробелы в знаниях, имеются необходимые для решения алгебраических уравнений опорные правила и формулы. Например, формулы решения квадратных уравнений, правила вынесения общего множителя за скобки, формула разложения на множители квадратного трехчлена, а также формулы сокращенного умножения.

Учитель обращает внимание обучающихся на единый орфографический режим при выполнении заданий, требует от учащихся чёткости и аккуратности в оформлении.

Пакет дидактических материалов обучающего, развивающего и контролирующего характера (Приложение 3) прилагается.


II этап. Работа в группах, взаимоконтроль учащихся.

Учащиеся разбиваются на группы 2-4 человека в каждой. Каждый член группы получает индивидуализированное задание по решению уравнений по образцу. Школьники с более высокими учебными возможностями становятся консультантами для более слабых учащихся. Разнообразятся виды деятельности обучающихся. Ученики обмениваются тетрадями друг с другом. Работа по образцу позволяет отработать навыки решения уравнений по видам, закрепляет навыки оформления решённых уравнений, учит распознавать виды уравнений, позволяет обучающимся рационально распределить свои силы, утвердиться, проявить инициативу, находчивость, обрести чувство сопричастности к учебному труду, победить страх. Учитель включается в работу групп в разных качествах: участника, консультанта, помощника. Он отслеживает степень усвоения учебного материала, предлагает необходимые источники информации, оказывает помощь в ликвидации пробелов в знаниях и в формировании необходимых знаний, умений и навыков.


III этап. Обособленная самостоятельная работа, самоконтроль.


На этом этапе наиболее успешным ученикам предлагаются задачи для самостоятельного решения. Для определения вида уравнения от учащихся требуется хорошее знание свойств алгебраических уравнений, формул, других опорных знаний и выполнения ряда первоначальных преобразований.

Учащиеся со средними учебными способностями для самостоятельного выполнения получают задания, в которых вид уравнения установлен по одному из образцов и не требует предварительных преобразований для установления его вида.

Учащиеся с низкими учебными способностями продолжают отрабатывать навыки решения уравнений разных видов 1-2 уровней по образцу, всякий раз добиваясь всё большего понимания и осмысления.


Данная тема рассчитана на 5 уроков. На первых двух уроках работа идёт по I и II этапу.

В 9 классе школы пенитенциарной системы тема «Алгебраические уравнения» изучается впервые. Начальное изучение этой темы целесообразно по адаптивной системе обучения, так как учитель, согласно целевым установкам, раскрывает основные определения, понятия, приёмы и методы решения. В 12 классе при повторении этой же темы целесообразно использование модульной технологии, так как учащиеся уже имеют представление об алгебраических уравнениях и в дальнейшем могут самостоятельно осваивать (повторять) данный модуль.

В конце урока подводятся итоги занятия, выставляются и комментируются оценки, объявляются требования и критерии к выполнению зачёта по изученной теме.










Автор
Дата добавления 17.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров457
Номер материала ДВ-349208
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх