Конспект урока по алгебре на тему "Числовая последовательность".

Конспект урока алгебры в 9  классе на тему: «Числовая последовательность».

Цели :

·         Образовательная: ввести понятия «последовательность», «n-ый член последовательности»; сформировать знания о способах задания числовых последовательностей, умения находить члены последовательности по предложенной формуле нахождения n-ого члена;

·         Развивающая: развитие умений применять ранее изученный материал; развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать;

·         Воспитательная: воспитание активности, аккуратности и умения работать в коллективе.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, индуктивно – репродуктивный метод.

Оборудование: Плакат с формулами сокращенного умножения.

Литература:

1. Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров  и др. – 9-е изд.–  М.: Просвещение, 2003. – 255 с.:ил.;

2. Изучение алгебры в 7-9 классах. Книга для учителя / Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. – М.: Просвещение, 2002. – 287 с.: ил.;

3. Дидактические материалы по алгебре для 9 кл. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, Л. М. Короткова. – М.: Просвещение, 2006. – 160 с.

План урока:

1. Организационный момент;(1 мин.)

2. Актуализация опорных знаний;(10 мин.)

3.Объяснение нового материала;(12 мин.)

4. Закрепление изученного материала;(16 мин.)

5. Подведение итогов урока;(5 мин.)

6. Домашнее задание.(1 мин.)

Ход урока:

1. Организационный момент.

Включает приветствие учителем класса, проверку отсутствующих, готовность помещения к уроку.

2. Актуализация опорных знаний:

Учитель: Для того чтобы расположить предметы последовательно, т.е. указать порядок следования этих предметов, мы используем нумерацию. Например, на каждой улице нумеруются жилые дома. Какие вы можете привести примеры явлений и событий, которые происходят последовательно? Назовите.

Ученик:  дни недели, названия месяцев, возраст человека, номер счёта в банке, последовательно происходит смена дня и ночи, последовательно увеличивает скорость автомобиль и т. д.

Учитель:  Давайте устно выполним следующее задание: На доске записаны числовые ряды:

Запись на доске:

1) 1; 4; 7; 10; 13; …

2) 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…

3) 1; 3; 5; 7; 9; …

4) 5; 10; 15; 20; 25; …

Учитель:  Сейчас я  буду зачитывать закономерность, которая наблюдается в одном из этих рядов, ваша задача определить о ряде под каким номером идёт речь.

В каком ряду положительные нечетные числа расположены в порядке возрастания?

Ученик: В ряду под номером 3 (1; 3; 5; 7; 9; … ).

Учитель: В каком ряду правильные дроби с числителем, равным 1, расположены в порядке убывания?

Ученик: В ряду под номером 2 (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…).

Учитель: В каком ряду положительные числа, кратные 5, расположены в порядке возрастания ?

Ученик: В ряду под номером 4 (5; 10; 15; 20; 25; …)

Учитель: Хорошо. Давайте перейдем теперь к выполнению следующего устного задания:

На доске записаны ряды чисел:

Запись на доске:

1) 1; 4; 7; 10; 13; …

2) 10; 19; 37; 73; 145; …

3) 6; 8; 16; 18; 36; …

Учитель: Найдите в этих рядах закономерности.

Ученик: Первый ряд чисел (1; 4; 7; 10; 13; …) увеличение последующего числа относительно предыдущего на 3.

Второй ряд чисел (10; 19; 37; 73; 145; …) сначала увеличение последующего числа относительно предыдущего в 2 раза, а затем уменьшение на 1.

Третий ряд чисел (6; 8; 16; 18; 36; …) Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза.

3.Объяснение нового материала:

Учитель: (Запись на доске и в тетрадях учащихся) Запишите в тетрадях число и тему урока: «Числовая последовательность».

Рассмотренные нами числовые ряды в предыдущих заданиях, являются примерами числовых последовательностей.

Давайте введём следующие обозначения:

Запись на доске и в тетрадях учащихся:

а₁, а_2, а₃, а_4, …, а_n – члены числовой последовательности.

1, 2, 3, 4, …, n – порядковый номер члена последовательности.

а₁ – первый член числовой последовательности;

а₂ – второй член числовой последовательности;

а₃ – третий член числовой последовательности;

и т.д. …

а_n - n-ый член числовой последовательности, а натуральное число n – его номером.

Учитель: Последовательности могут быть конечными и бесконечными, возрастающими и убывающими.

Давайте рассмотрим примеры:

1. Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а₁; а₄; а₁₀; а_n;

2. Охарактеризуйте последовательность натуральных чисел.

3. Является ли последовательность трёхзначных чисел конечной?

4. Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 100; 999)

5. Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; …?

Ученик:

1. Первый член последовательности равен 1, т.к. он стоит первым, т.е. а₁=1; четвёртый член последовательности равен ¼, т.к. под номером 4, в данной последовательности находится число ¼ , т.е. а₄=¼; десятый член последовательности равен 1/10  , т.к. под номером 10, в данной последовательности будет находиться число 1/10, т.е.  – а₁₀=1/10; n-ый – а_n=1/n.

2. Последовательность натуральных чисел является бесконечной возрастающей, потому что ряд натуральных чисел бесконечен и каждое последующее число, в этом ряду, больше предыдущего ровно на 1.

3. Последовательность трёхзначных чисел конечна, потому что количество трёхзначных чисел – конечное число от 100 до 999.

4. Первый член равен 100, т.к. эта последовательность будет представлять следующий ряд чисел: 100, 101, 102, …, 999.Т.е. а₁=100. А последний член равен 999, потому, что после этого числа будут следовать уже четырёхзначные числа.

5. Запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; … нельзя назвать последовательностью,  т. к. в данном случае нельзя по первым шести членам обнаружить какую-нибудь закономерность.

Учитель: Существуют различные способы, которые позволяют задать последовательность.

Запись в тетрадях учащихся (под диктовку учителя):

1-ый способ: Словесный способ  задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример: Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания. Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, ….

2-ой способ: Аналитический способ - с помощью формулы n-ого члена последовательности.

Пример: а_n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

3-ий способ: Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrо – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример: а₁ = 3; а_n = а_{n –1} + 4, вычислите четвёртый член этой последовательности.

Здесь а₁= 3; а₂ = 3 + 4 = 7; а₃ = 7 + 4 = 11; а₄ = 11 + 4 = 15.

Учитель: Приведите ещё по одному примеру на каждый способ задания числовой последовательности.

Запись в тетрадях учащихся:

Словесный способ – последовательность состоит из целых положительных чисел кратных 3 в порядке возрастания:  3; 6; 9; 12;…

Аналитический способ: а_n = (n - 1)² – 0; 1; 4; 9;…

Рекуррентный способ: а₁=1;  а₂=2; а_n+1= (а_n)²- а_{n –1}. Найти а₅.

а₁=1;  а₂=2; а₃= 4 – 1= 3 ;  а₄ = 9 – 2 = 7; а₅= 49 – 7 = 42.

4. Закрепление изученного материала

Учитель: Давайте выполним номера из учебника.

№361(Устно)

Ученик:

1) Третий член последовательности равен 9, т.к. под номером три в данной последовательности стоит число 9, т.е. а₃ = 9; шестой член последовательности равен 36, т.к. данная последовательность состоит из квадратов натуральных чисел, под номером шесть будет член, равный 6², т.е. а₆ = 36; n-ый член последовательности будет равен квадрату n, т.е. а_n = n².

2) Нам дан член последовательности и необходимо определить его номер, а номер любого члена данной последовательности будет равен тому числу, квадратом которого оно является. Т.о. 4=2², значит у члена последовательности равного 4 номер равен 2; для 25: 25=5², т.е. номер равен 5; для n² номер равен n; для члена равного (n +1)² номер будет равен (n +1).

№ 362(1; 3; 5) (Письменно)

Запись в тетрадях учащихся:

1)Дано: последовательность,

а_n=2n+3.

Найти: а₁, а₂, а₃-?

Решение:

Ученик:

Т.к. последовательность задана формулой n-го члена, то три первых члена данной последовательности найдём путем подстановки , т.е. первый член последовательности будет равен 5, т.к. подставив в формулу n-го члена вместо n единицу получим:

Запись в тетрадях учащихся:

а_n = 2n +3; а₁=2·1+3 = 5; 

Ученик: Для нахождения второго члена последовательности мы подставим в указанную формулу вместо n два и получим:

Запись в тетрадях учащихся:

а₂=2·2 +3 = 7;

Ученик: Т.о. второй член последовательности равен 7, аналогично найдём третий член последовательности, подставив везде на позиции n число три:

Запись в тетрадях учащихся:

а₃= 2·3 +3 = 9.

Ученик: Мы нашли три первых члена последовательности, заданной формулой n-го члена: а₁=5, а₂=7, а₃= 9.

Запись в тетрадях учащихся:

Ответ: а₁=5, а₂=7, а₃= 9.

(Аналогично выполняются задания под пунктами 3 и 5)

3) а_n = 100 - 10n²; а₁=100 - 10·1² = 90;  а₂=100 - 10·2² =60 ; а₃= 100 - 10·3² =10.

5) а_n = 1/n; а₁=1/1= 1;  а₂=1/2; а₃=1/3.

№ 363(Устно)

Ученик: Последовательность задана формулой x_n=n² . Пусть x_n=100, нам нужно найти номер члена последовательности равного 100, т.е. нужно найти значение n. Подставим в исходную формулу вместо x_n 100, получим уравнение относительно, которое можно решить: 100 = n²; а 100 это 10², т.е. 10²= n², отсюда n=10.

(Аналогично находятся номера для членов последовательности равных 144 и 225)

x_n = 144=12², n= 12.

x_n = 225=15², n= 15.

Чтобы определить является ли данное число членом последовательности необходимо найти n и посмотреть удовлетворяет ли полученное значение n условию: n – натуральное число. Пусть x_n=48, но число 48 не является квадратом какого-либо натурального числа: 48 = (Ö48)² = (4Ö3)², т.е. n= 4Ö3 – не является натуральным числом ( оно иррациональное), значит число 48 не является членом данной последовательности.

(Аналогично выполняется для числа 49 и 169)

x_n = 49=7², n= 7.

x_n = 169=13², n= 13.

№364 (1;3) (Письменно)

Запись в тетрадях учащихся:

1)Дано: последовательность,

а_n= n² –2n – 6.

а_n= – 3.

Найти: n - ?

Ученик:

1) Пусть а_n = - 3, тогда подставим в формулу n -го члена вместо а_n  - 3, получим уравнение:

Запись в тетрадях учащихся:

-3 = n²- 2n-6

Ученик:

-3 = n²- 2n-6 – это квадратное уравнение, перенесём -3 в правую часть нашего уравнения получим приведённое квадратное уравнение и решим его с помощью теоремы Виета:

Запись в тетрадях учащихся:

n²- 2n-3=0;

n₁+ n₂=2,  n₁·n₂= -3,

n₁=3  n₂= -1(не является натуральным), значит n=3.

Ученик:

-3 является третьим членом последовательности.

Запись в тетрадях учащихся:

Ответ: n=3.

(Аналогично выполняется задание под пунктом 3)

3)  а_n = 3, 3 = n²- 2n-6; n²- 2n-9=0; n₁,₂= (2 + 4Ö2)/2= 1+ 2Ö2 (не является натуральным), значит а_n = 3 не является членом последовательности.

№365 (1) (Письменно)

Запись в тетрадях учащихся:

1)Дано: последовательность.

а₁=2, а_n+1=3a_n+1.

Найти: а₁, а₂, а₃,а₄ -?

Ученик:

Т.к. последовательность задана рекуррентной формулой, то для того, чтобы найти четвёртый член последовательности, необходимо знать третий, а чтобы найти третий член последовательности необходимо знать значение второго, ну а второй член последовательности мы можем найти, т.к. дан первый член а₁=2;

Подставляем значение первого члена, равное двум, вместо а_n в рекуррентную формулу, т.о. находим второй член последовательности:  

Запись в тетрадях учащихся:

а₂=3·2+1= 7;

Ученик:

Второй член последовательности равен 7, находим третий член – подставляем в ту же формулу вместо а_n значение а₂ и находим третий член последовательности:

Запись в тетрадях учащихся:

а₃= 3·7+1= 22;

Ученик:

Третий член последовательности равен 22. Аналогично, подставляем вместо аn значение третьего члена последовательности и находим а_n+1 член, т.е. четвёртый:

Запись в тетрадях учащихся:

а₄= 3·22+1= 67.

Ответ: а₁=2, а₂=7, а₃=22, а₄=67.

5. Подведение итогов урока

Учитель: Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы ее задания.

Приведите примеры числовой последовательности: конечной и бесконечной.

Ученик: Последовательность двухзначный чисел – конечная, потому что двухзначных чисел конечное число от 10 до 99, а последовательность целых чисел – бесконечная.

Учитель: Какие способы задания последовательности вы знаете?

Ученик: Словесный способ, аналитический способ, рекуррентный способ.

Учитель: Какая формула называется рекуррентной?

Ученик: Рекуррентная формула – формула, позволяющая вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.