Конспект урока по алгебре на тему "Интеграл и первообразная" (11 класс)

Методическая разработка урока алгебры по теме: «Первообразная и интеграл»

Автор: Фетхуллова Эльвира Абуевна, учитель математики МОУ «Лямбирская СОШ №1»  села Лямбирь Лямбирского района Республики Мордовия.

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11 класс

Тема урока: Решение задач  по теме «Первообразная и интеграл»

Цель урока: обобщение и систематизация знаний по теме

Задачи урока:

образовательные:

-  углубление понимания сущности определенного интеграла путем применения его для получения новых знаний;

-  развитие умений и навыков применять определенный интеграл при решении задач;

воспитательные:

-  воспитание познавательного интереса к учебному предмету;

-  воспитание у учащихся культуры мышления;

-  формирование умений осуществлять самоконтроль;

развивающие:

-  формирование умений строить доказательства, логическую цепочку рассуждений;

-  формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию

Учебно-методическое обеспечение: Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб.пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Г.К.Муравин, О.В.Муравина. – 2-е изд. – М.: Дрофа, 2016.

Время реализации урока: 1 урок (45 минут)

Авторский медиапродукт:

1. редактор Microsoft Power Point, текстовый редактор Microsoft Word.

2. вид медиа продукта: наглядная презентация учебного материала в Microsoft Power Point и для интерактивной доски  Smart Board.

Необходимое оборудование и материалы для урока-занятия: компьютер, мультимедийный проектор, ИАД, слайды, карточки.

Структура  урока:

1 этап - мотивационно - ориентировочный: разъяснение целей  учебной деятельности учащихся, мотивация учащихся: выйти на результат.

2 этап - подготовительный: актуализация опорных знаний, необходимых для решения задач

3 этап - основной:  осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа  с проговариванием правил); совершенствование или коррекция умений учащихся в зависимости от успешности выполнения предыдущего этапа (кто быстро справился – работает с более сложными заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня);  отчёт учащихся о выполнении заданий.

4 этап – компьютерное тестирование. Контроль знаний обучающихся через тестирование в тестовой оболочке КРАБ 2

5 этап  - заключительный: подведение общих итогов, инструкция по выполнению домашнего задания, рефлексия.

План проведения урока:

Этапы урока	Временная реализация
1.                 Организационный момент ·       Вступительное слово учителя	2 мин
2.                 Проверка домашней работы	4 мин
3.                 Работа с классом ·       Фронтальный опрос ·       Решение задач	20 мин
4.                 Компьютерное тестирование	13 мин
5.                 Исторический материал	3мин
6.                 Подведение итога урока	2 мин
7.                 Инструктаж по домашнему заданию	1 мин

Ход урока:

I. Организационный момент.

– Доброе утро! Здравствуйте , ребята . Сегодня у нас необычный урок, потому что у нас   гости . «Гости в дому — это к добру!». Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, и пожелайте мысленно  своим друзьям удачи! 

 Эпиграфом нашего урока я взяла высказывание великого французского ученого Рене Декарта «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять» …

 У вас на столах лежат листы достижений. К концу урока вы их заполните и вернете мне.

Итак, начинаем.

Скажите, какие темы в последнее время мы изучили?  Производная. Дифференцирование. Построение графиков функций. Первообразная. Интеграл. Интегрирование. Площадь криволинейной трапеции.

Таким образом, сегодня мы еще раз вспомним о пройденном и цель нашего урока: закрепить навыки нахождения первообразных и вычисления интегралов.

II. Проверка домашней работы.

На экране демонстрируются  слайды с домашним заданием.

Учащиеся на экране видят правильное решение и оформление домашних задач. Те, кто допустил ошибки, исправляют их.  

№1. Вычислить интеграл        

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями     y= x² - 2x+2  и  y= - x²+6

Решение.

1)                Построить фигуру, ограниченную y= x² - 2x+2  и  y= - x²+6

2)                Найти абсциссы точек пересечения графиков данных функций

x² - 2x+2 = - x²+6

2x² - 2x - 4 =0

x² – x - 2=0

х₁= - 1, х₂ = 2

3)                Вычислить площадь

III. Работа с классом. Применение приобретенных знаний, умения и навыков.

Всем известно, что ключ к практике – это теория. нам необходимо вспомнить теоретические основы по теме (фронтальный опрос). Для этого давайте ответим на следующие вопросы.

1.      Какую функцию можно назвать первообразной для функции f (х) на [а; b] ?

2.      Сформировать основные свойства первообразной.

3.      Как называется операция нахождения первообразной функции?

4.      Как называется действие, обратное интегрированию?

5.      Какие геометрические задания приводят к понятию первообразной?

6.      Какая фигура называется криволинейной трапецией?

7.      Как найти площадь криволинейной трапеции?

8.     Какие из данных фигур являются криволинейными трапециями?

9.      Запишите площадь заштрихованной фигуры.

10.  Выберите первообразную для функции  .

1)         2)      3)

11. Найдите общий вид первообразных для функции    .

1)                                    2)                        3)                              

12. Вычислить интегралы:                      

13. Запишите в виде определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями

y=x²+1,    x=1,   x=2,  y=0

14.  Вычислите площадь заштрихованной фигуры

15.

15. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

у=х²-4х+5,  у=х+5, y=0, х=-3, х=3.

IV. Компьютерное тестирование в тестовой оболочке  КРАБ

1.                1	Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка…
			F(x) =f(x)+C
2.                2	Правильность интегрирования можно проверить:
	первообразной	дифференцированием	вычитанием	сложением
3.	Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется…
	логарифмированием	дифференцированием	интегрированием;	Вычислением предела
4.	Чему равен
				2х+С
5.	Множество всех первообразных функции  имеет вид …
				2+
6.	Выберите правильный вариант ответа:…
7.	1.      Выберите правильный вариант ответа
8.	Написать правильное продолжение формулы
9.	Выберите правильное продолжение решения
10.	Написать правильное продолжение формулы
			cosx + c
11.	Чему равен интеграл
	5cosx +c	2cosx+c	-10cosx +c	10cosx +c
12.	Множество всех первообразных функции  имеет вид …
13.	Формула Ньютона-Лейбница:

V. Из истории.

 Символ ydx был введен немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году. Существует версия о том, что он букву S, используемую для обозначения суммы писал слегка удлиненной. Так постепенно и родился новый символ. Термин интеграл (от латинского integer-целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница - Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим. Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.)

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции.

Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница.

Как вы думаете, где находит применение интеграл? А зачем обычному среднестатистическому человеку нужен интеграл? Все ли мы используем знания, полученные на уроке, где-то в повседневной жизни или в ближайшем будущем? Поднимите руки, у кого дома есть телевизор; у кого есть сотовый телефон; у кого дома есть компьютер. Так вот даже обычный сельский житель, который не имеет общего с наукой, в повседневной жизни пользуется знаниями об интеграле. Естественно, некоторые люди, которые пользуются этими приборами, могут и не знать, как вычисляется интеграл и что это вообще такое. Но каждый из нас пользуется предметами быта, даже не подозревая, что, чтобы эти приборы работали, какие-то ученые составляли интегральные схемы, проводили исследования. И в каждом вашем сотовом телефоне находится интегральная схема.

А знаете ли вы? 

Что интегралы используются при:

·                   решении задач из области физики;

·                   решении экономических задач (на оптимизацию  работы фирмы в условиях конкуренции, расчет о доходности потребительского кредита);

·                   решении социально - демографических задач (математическая модель народонаселения Земли и др.).

«Задача о каше»: Оля насыпала в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросила маму: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» «Это очень просто, - ответила мама, – наклони кастрюлю, постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на стенке кастрюли у края, до которого поднялась крупа, и зажми ее пальцем. До этого уровня надо налить воду!» – «Так ведь пшена можно насыпать побольше или поменьше, да и кастрюли бывают разные – широкие узкие», – усомнилась Оля. «Все равно, мой способ годится в любом случае», - гордо ответила мама».

Доказать: .

С помощью определенного интеграла мы будем в дальнейшем выводить формулы объемов тел вращения.

VI. Подведение итога урока.

Итог урока.

Вывод:

- обобщили знания и отработали навыки решения задач на нахождение первообразных и вычисления интеграла, провели подготовку к ЕГЭ;

- развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;

- развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.

Оценивание:

- За работу у доски

- За активное участие на уроке

N	Этапы урока	Оценка работы
1	Повторение ранее изученного
	*Знание формул, правил
	*Применение формул и правил на практике
2	Закрепление ранее изученного материала
3	Тестирование (компьютерное)
	Оценка за работу на уроке

Рефлексия

     Выразите свое отношение к уроку. Постройте на листах контроля графики функций y=х²  и  у= 4, поставьте смайлик в том месте графика, которое отражает ваши ощущения на уроке: чувствовали ли вы себя на гребне волны или же, наоборот, в самой нижней точке.

Предлагаю закончить урок словами чешского педагога Яна  Амоса Коменского: «Считай несчастным тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

Спасибо за хорошую работу на уроке. До свидания.

Лист рефлексии                                   Фамилия, имя__________________

№	Вопрос	Ответ ( +  или  -  )
1	Комфортно ли вам было на уроке?	.
2	Поняли ли вы материал урока?	.
3	Требовалась ли вам помощь: а) учителя б) учебника в) соседа по парте?	. . .
4	Оцените свою работу на уроке по  пятибалльной системе.	.

 

VII. Домашнее задание и инструктаж о ее выполнении.

Задача № 1   Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х²+1;  у = - х²+4х +1.

Построим графики указанных функций в одной системе координат

Найдем  пределы интегрирования - абсциссы точек пересечения графиков А  и В. Для этого решим уравнение:  х²+1= - х²+4х +1  2х²-4х =0    х(х-2)=0  или х=2. Площадь искомой фигуры равна разности двух определённых интегралов на промежутке [0;2].     S=  =   =

= (+8) = 2 (кв.ед.)              Ответ: 2  кв.единиц.

Задача № 2  

Вычислить интеграл:

                                   

Список использованной литературы и Интернет-ресурсов:

1. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб.пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1995.

2. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидакт. материалы: Пособие для учителя / М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. – 2-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1990.

3. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения. Вып. 3 / Авт. Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник. – М.: Школа-Пресс, 1994.

Лист рефлексии                                   Фамилия, имя__________________

№	Вопрос	Ответ ( +  или  -  )
1	Комфортно ли вам было на уроке?	.
2	Поняли ли вы материал урока?	.
3	Требовалась ли вам помощь: а) учителя б) учебника в) соседа по парте?	. . .
4	Оцените свою работу на уроке по  пятибалльной системе.	.

_______________________________________________________________________________

Лист рефлексии                                   Фамилия, имя__________________

№	Вопрос	Ответ ( +  или  -  )
1	Комфортно ли вам было на уроке?	.
2	Поняли ли вы материал урока?	.
3	Требовалась ли вам помощь: а) учителя б) учебника в) соседа по парте?	. . .
4	Оцените свою работу на уроке по  пятибалльной системе.	.

__________________________________________________________________________________

Лист рефлексии                                   Фамилия, имя__________________

№	Вопрос	Ответ ( +  или  -  )
1	Комфортно ли вам было на уроке?	.
2	Поняли ли вы материал урока?	.
3	Требовалась ли вам помощь: а) учителя б) учебника в) соседа по парте?	. . .
4	Оцените свою работу на уроке по  пятибалльной системе.	.

N	Этапы урока	Оценка работы
1	Повторение ранее изученного
	*Знание формул, правил
	*Применение формул и правил на практике
2	Закрепление ранее изученного материала
3	Тестирование (компьютерное)
	Оценка за работу на уроке

______________________________________________________________________________

N	Этапы урока	Оценка работы
1	Повторение ранее изученного
	*Знание формул, правил
	*Применение формул и правил на практике
2	Закрепление ранее изученного материала
3	Тестирование (компьютерное)
	Оценка за работу на уроке

_________________________________________________________________________________

N	Этапы урока	Оценка работы
1	Повторение ранее изученного
	*Знание формул, правил
	*Применение формул и правил на практике
2	Закрепление ранее изученного материала
3	Тестирование (компьютерное)
	Оценка за работу на уроке

__________________________________________________________________________________

N	Этапы урока	Оценка работы
1	Повторение ранее изученного
	*Знание формул, правил
	*Применение формул и правил на практике
2	Закрепление ранее изученного материала
3	Тестирование (компьютерное)
	Оценка за работу на уроке

	«Гости в дому — это к добру!». Эпиграф   Лист достижений
	какие темы в последнее время мы изучили. цель
	Проверка домашней работы
	фронтальный опрос
	задача с модулем
	Задача с трапецией
	тест
	история
	Задача о каше
	Итог, дом работа
	рефлексия

Краткое описание документа:

Цель урока: обобщение и систематизация знаний по теме

Задачи урока:

образовательные:

• углубление понимания сущности определенного интеграла путем применения его для получения новых знаний;
• развитие умений и навыков применять определенный интеграл при решении задач;

воспитательные:

• воспитание познавательного интереса к учебному предмету;
• воспитание у учащихся культуры мышления;
• формирование умений осуществлять самоконтроль;

развивающие:

• формирование умений строить доказательства, логическую цепочку рассуждений;
• формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию