Конспект урока по алгебре на тему "Уравнения приводимые к квадратным"

Урок  алгебры в 9 классе

ТЕМА: Уравнения, приводимые к квадратным

Цели:

Общеобразовательные: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя при этом различные приемы и методы.

Развивающие: развивать познавательную активность, активизировать умственную деятельность учащихся, умение работать в команде.

Воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечного результата, развивать чувство солидарности.

Тип урока: формирование умений и навыков.

Ход урока

I.                  Организационный момент.

– Сегодня мы будем решать уравнения третьей и четвертой степеней. В решение таких уравнений большой вклад внесли итальянские математики ХVI в.

Спицион Даль Ферро (1465-1526) и его ученик Фиори. 
Н. Тарталья (ок. 1499-1557).
Дж. Кардано (1501-1576) и его ученик Л. Феррари. 
Р. Бомбели (ок. 1530-1572).  
12 февраля 1535 г. между Фиори и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил 30 задач, предложенных Фиори, а сам Фиори не решил ни одной.

Итак, Тарталья за 2 часа решил 30 задач. Мы проведём математический турнир и узнаем, сколько уравнений сможете решить вы за 40 минут? Какие способы решения уравнений при этом изберёте?

II. Актуализация опорных знаний

Итак,  мы повторили, что называется корнем уравнения, вспомнили способ решения уравнения разложением  на множители.

III. Объяснение нового материала.

1. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, попросив их рассказать  алгоритм  решения  дробно-рациональных  уравнений.  После этого предложить учащимся использовать этот алгоритм при решении уравнения.

 (пример 2 из учебника).

Далее делается  в ы в о д, что решение данного уравнения по алгоритму является громоздким, поэтому целесообразно применить ряд преобразований.

2. Рассмотреть пример 4 из учебника. Здесь возникает такая же ситуация: решение данного дробно-рационального уравнения приводит к целому уравнению четвертой степени, корни которого известными методами найти очень сложно. Зато после введения новой переменной полученное уравнение решается довольно просто.

IV. Формирование умений и навыков.

1.     Работа у доски и в тетрадях.

Решение уравнения по цепочке.

Упражнения:

1. № 293 (а), № 294 (а).

2. № 297 (а, б), № 298 (б).

Учащимся с высоким уровнем подготовки можно решить еще несколько дробно-рациональных уравнений.

3. № 299 (а).

Р е ш е н и е

.

С д е л а е м   з а м е н у:    , тогда

                                         

                                         

                                         

Получим уравнение:

;

;

2а² – а – 3 = 0;

а₁ = –1,   а₂ = .

В е р н е м с я   к   з а м е н е:

;             или х2 + х – 1 = 0; D = 1 + 4 = 5; х1, 2 = .

; 2х2 – 3х – 2 = 0; D = 9 + 16 = 25; х1 =  = 2; х2 = .

О т в е т: .

4.  = –1,5.

Р е ш е н и е

Проверим, что х ≠ 0, и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

 = –1,5.

С д е л а е м   з а м е н у: . Получим:

;

8 (а – 5) + 10 (а + 1) + 3 (а + 1) (а – 5) = 0;

8а – 40 + 10а + 10 + 3а² – 15а + 3а – 15 = 0;

3а² + 6а – 45 = 0;

а² + 2а – 15 = 0;

а₁ = –5,  а₂ = 3.

В е р н е м с я   к   з а м е н е:

;               или х2 + 5х + 3 = 0; D = 25 – 12 = 13; х1, 2 = .

; х2 – 3х + 3 = 0; D = 9 – 12 = –3. Решений нет.

О т в е т: .

5.  = 3.

Р е ш е н и е

Вычтем и прибавим к выражению, стоящему в левой части уравнения, выражение , чтобы получить полный квадрат:

;

;

;

.

С д е л а е м   з а м е н у:  = t. Получим:

t² + 2t – 3 = 0;

t₁ = 1, t₂ = –3.

В е р н е м с я   к   з а м е н е:

= 1;              или х2 – х – 1 = 0; D = 1 + 4 = 5; х1, 2 = .

= –3; х2 + 3х + 3 = 0; D = 9 – 12 = –3. Решений нет.

О т в е т: .

2.     Проверка знаний и умений

Контрольный тест

Вариант 1

Часть 1

1. Какое из уравнений имеет корни, равные  – 1;  3;  – 3?

А.  (x – 1)(x² – 9) = 0
Б.  (x + 1)(x² – 9) = 0
В.  (x + 1)(x² + 9) = 0
Г.  (x – 1)(x² + 9) = 0

2. Найдите корни уравнения (2x – 3)(x + 4) = 0.

А.  1,5 и – 4
Б.  – 1,5 и 4
В.  1,5 и 4
Г.  – 1,5 и – 4

3.  Решите уравнение: 5 x² = 25x

Ответ:_______________________________

Часть 2

4. Закончи фразу: «Произведение корней уравнения  x⁴ – 2x² –  8 = 0   равно числу   …»

А. – 8
Б.  – 4
В.  – 2
Г.   0

5. Решите уравнение  ( решение и ответы оформите на отельном листе)

(x² + 4x)(x² + 4x – 17) = – 60

Вариант 2

Часть 1

1. Какое из уравнений имеет корни, равные  – 2;  5  – 5?

А.  (x – 2)(x² – 25) = 0
Б.  (x + 2)( x² + 25) = 0
В.  (x + 2)( x² –  25) = 0
Г.  (x – 2)( x² + 25) = 0

2.   Найдите корни уравнения (2x + 7)(x – 4) = 0.

А. 3,5 и – 4
Б.  – 3,5 и – 4
В. 3,5 и 4
Г. – 3,5 и 4

3.  Решите уравнение:     3x –  x² =  0

Ответ:_______________________________

Часть 2

4. Закончи фразу: «Произведение корней уравнения x⁴ – 8x² – 9 = 0   равно числу   …»

А. – 1
Б.  – 9
В. 9
Г. – 8

5. Решите уравнение ( решение и ответы оформите на отельном листе)

(x² – 5x)(x² – 5x  + 10) + 24  = 0

Ответы к тесту демонстрируются на слайде.

Поменяйтесь тестами.
Проверьте друг у друга. (Ответы на экране). 
Исправьте ошибки.
Поставьте оценки.
Поблагодарите друг друга.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Какими приемами и методами можно решать дробно-рациональные уравнения?

– Опишите решение дробно-рационального уравнения по алгоритму.

– В каких случаях при решении дробно-рациональных уравнений целесообразно использовать метод введения новой переменной?

– Сколько уравнений решили сегодня на уроке? Какие способы решения вы применяли?

Домашнее задание:

п. 13 (ст. 81) проработать

Выполнить:

1 гр. - №294 (б)

2 гр. - № 297 (б)

Повт. №291 (Б) для 1 и 2 гр.