Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по алгебре "Применение производной к исследованию функций" (10 класс)

Конспект урока по алгебре "Применение производной к исследованию функций" (10 класс)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


ГБОУ Гимназия №1797 «Богородская», Москва














«Применение производной к исследованию функций»


Урок алгебры, 10 класс.






Выполнила:

Учитель математики

Назарова Г.А.











































Применение производной к исследованию функций.


Тема: Примеры применения производной к исследованию функций.


Урок № 2.


Цели: развивать навыки исследования функций с помощью производной и построения графиков функций.


Ход урока:


  1. Устная работа:

  1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) ƒ(х) = 1 – 2х;

Решение:

D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = - 2 < 0 для любого х, поэтому ƒ(х) убывает на всей числовой прямой.

б) ƒ(х) = 14х – 5;

Решение:

D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = 14 > 0 для любого х, поэтому ƒ(х) возрастает на всей числовой прямой.

в) ƒ(х) = - х2 + 2х – 3;

Решение:

D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = - 2х + 2 = - 2(х – 1).

ƒ’(x) > 0,если -2(х – 1) > 0, x < 1; ƒ’(x) < 0, если -2(х – 1) < 0,

x > 1.

Функция возрастает на ( - ∞; 1]; убывает на [1; + ∞). 2. Знак производной ƒ’(x) меняется по схеме, изображенной на

рисунке:

hello_html_2cc279e7.gifhello_html_75d3d79c.gifhello_html_2cc279e7.gifhello_html_2cc279e7.gif- + - - +

hello_html_76119123.gif

- 6 0 1 3 х


Определите на каких промежутках функция возрастает и на каких убывает.

3. На рисунке изображен график дифференцируемой функции

у = h(x).

Определите знак производной на промежутках:

а) [- 5; - 2); б) (– 2; 3); в) (3; 5]. hello_html_m79b0d743.gif


Ответ: а) плюс; б) минус; в) плюс.

4. Какие из данных функций возрастают, а какие убывают на всей числовой прямой:

а) y = 2x + cosx; б) y = 3sin(x + π /4) + 4x – 7; в) у = - 6х + 9; г) у = 2х3?

Ответ: а) возрастающая; б) возрастающая; в) убывающая;

г) возрастающая.

5. Определите точки экстремума функции:

а) ƒ(х) = 4х + 1; б) ƒ(х) = х2 - 3х + 1; в) ƒ(х) = 5х - х2 .

Решение:

а) D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = 4, т. к. 4 > 0, то ƒ(х) возрастает на всей её области определения, точек экстремума нет.

б) D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = 2х - 3

если ƒ’(x) > 0, то 2x – 3 > 0

x > 1,5.

если ƒ’(x) < 0, то 2x – 3 < 0

x < 1,5.

ƒ(х) – возрастает х Є [1,5; + ∞); ƒ(х) – убывает на х Є ( - ∞;1,5]

х = 1, 5 – точка минимума.

6hello_html_5d74e143.gifhello_html_70b08afe.gifhello_html_1120017a.gifhello_html_m4a937fe2.gif. Найдите критические точки функции, график которой изображен на рисунке: У

hello_html_711d87e4.gifhello_html_711d87e4.gifhello_html_711d87e4.gif

hello_html_m5f16e53e.gifhello_html_77de3b61.gif

hello_html_711d87e4.gifhello_html_259f0e95.gif

hello_html_28da94f9.gifх1 х2 х3 х4 х5 0 х6 х7 х8 Х


Ответ: х2 ; х4 ; х5 ; х6 ; х7 .

Назовите точки максимума и минимума функции. Существует ли производная в соответствующей точке, если существует, то чему равно её значение?

7. Какие из функций являются четными, какие нечетными:

а) у = cosxx2; б) у = sinx + 1; в) у = sinx + x; г) у = x2 – 5.

Ответ: а) четная; б) ни четная, ни нечетная; в) нечетная; г) четная.

8. ( Все вместе). Повторить общую схему исследования функции:

1) область определения;

2) исследование на четность, нечетность, периодичность;

3) точки пересечения графика с осями координат;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки возрастания и убывания;

6) точки экстремума и значение ƒ в этих точках;

7) исследование поведения функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю х.

II. Выполнение упражнений:

    1. Решить № 297(г)

Решение: ƒ(х) = 3х2 – х3.

а) D (ƒ) = R;

б) функция не является ни четной, ни нечетной, не периодической;

в) найдем точки пересечения графика с осью ОХ (т. е. нули функции):

х2(3 – х) = 0; х1 = 0; х2 = 3.

Пересечение с осью ОУ: если х = 0, то ƒ(0) = 0;

г) находим производную:

ƒ’(x) = 3x(2 – x).

ƒ’(x) = 0, при х = 0, х = 2;

д) найденные критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка: ( - ∞; 0), (0; 2), (2; + ∞).

ƒ(0) = 0, ƒ(2) = 4.

Составим таблицу:

х

( - ∞; 0)

0

(0; 2)

2

(2; + ∞)

ƒ’(x)

-

0

+

0

-

ƒ(x)

hello_html_m6a6b1036.gif

0

hello_html_m3d58c7b9.gif

4

hello_html_292ffe8f.gif



min


max



Строим график:



hello_html_1dfc0e9.gifhello_html_732e0d9b.gifhello_html_m70ad19c5.gif


    1. Исследовать функцию и построить её график:

hello_html_1cbd7991.gifх

У = х2 – 4

Учащиеся решают задание в тетрадях, обсуждая с учителем каждый шаг решения. Учитель демонстрирует решение задачи на экране с помощью мультипроектора.

3hello_html_m2bddf96.gif. Решить № 301 (в). ƒ(x) = х √2 - х .

Указание: D (ƒ) = ( - ∞; 2), возрастает на ( - ∞; 1⅓], убывает на

[1⅓; 2]; х = 1⅓ - точка максимума.

Гhello_html_732e0d9b.gifрафик:

hello_html_3cf34628.gifhello_html_m70ad19c5.gif

У


    1. Дополнительное задание на карточках, ученикам быстро справившимся с № 301(в):

По данным таблицы схематически построить график в тетради:

Вариант № 1

х

( - 7; 1)

1

(1; 6)

6

(6; 7)

ƒ’(x)

+

0

-

0

+

ƒ(x)


10


- 3













Вариант № 2

х

( - 3; 0)

0

(0; 4)

4

(4; 8)

8

(8; +∞)

ƒ’(x)

+

0

-

0

+

0

-

ƒ(x)


-3


-5


6











III. Итоги урока.

IV. Домашнее задание: п. 24; выполнить № 297 (б, в), № 301(б, г).

6


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 06.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров231
Номер материала ДВ-422453
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх