Конспект урока по алгебре "Применение производной к исследованию функций" (10 класс)

 

Применение производной к исследованию функций.

Тема: Примеры применения производной к исследованию функций.

Урок № 2.

Цели: развивать навыки исследования функций с помощью производной и построения графиков функций.

Ход урока:

I.                 Устная работа:

1.    Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а)   ƒ(х) = 1 – 2х;

Решение:

D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = - 2 < 0 для любого х, поэтому ƒ(х) убывает на всей числовой прямой.

б) ƒ(х) = 14х – 5;

Решение:

D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = 14 > 0 для любого х, поэтому ƒ(х) возрастает на всей числовой прямой.

в) ƒ(х) = - х² + 2х – 3;

Решение:

D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = - 2х + 2 = - 2(х – 1).

ƒ’(x) > 0,если -2(х – 1) > 0, x < 1; ƒ’(x) < 0, если -2(х – 1) < 0,

x > 1.

Функция возрастает на ( - ∞; 1]; убывает на [1; + ∞).                     2. Знак производной ƒ’(x)  меняется по схеме, изображенной на 

рисунке:

      -                            +                         -            -               +

    

                - 6                                     0          1             3                     х

Определите на каких промежутках функция возрастает и на каких убывает.

3. На рисунке изображен график дифференцируемой функции

у = h(x).

Определите знак производной на промежутках:

а) [- 5; - 2); б) (– 2; 3); в) (3; 5].                                                                                                                                                                       

Ответ: а) плюс; б) минус; в) плюс.

4. Какие из данных функций возрастают, а какие убывают на всей числовой прямой:

а) y = 2x + cosx; б) y = 3sin(x + π /4) + 4x – 7; в) у = - 6х + 9; г) у = 2х³?

     Ответ: а) возрастающая; б) возрастающая; в) убывающая;

г) возрастающая.

5. Определите точки экстремума функции:

а) ƒ(х) = 4х + 1; б) ƒ(х) =  х² - 3х + 1; в) ƒ(х) = 5х - х² .

Решение:

а) D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = 4, т. к. 4 > 0, то ƒ(х) возрастает на всей её области определения, точек экстремума нет.

б) D (ƒ) = R.

ƒ’(x) = 2х - 3

если ƒ’(x) > 0, то 2x – 3 > 0

                              x > 1,5.

если ƒ’(x) < 0, то 2x – 3 < 0

                              x < 1,5.

ƒ(х) – возрастает х Є [1,5; + ∞); ƒ(х) – убывает на х Є ( - ∞;1,5]

х = 1, 5 – точка минимума.

6. Найдите критические точки функции, график которой изображен на рисунке:                        У

 

              х₁     х₂     х₃  х₄     х₅     0            х₆   х₇    х₈                  Х

Ответ: х₂ ; х₄ ; х₅ ; х₆ ;  х₇ .

Назовите точки максимума и минимума функции. Существует ли производная в соответствующей точке, если существует, то чему равно её значение?

7. Какие из функций являются четными, какие нечетными:

а) у = cosx – x²;  б) у = sinx + 1; в) у = sinx + x; г) у = x² – 5.

Ответ: а) четная; б) ни четная, ни нечетная; в) нечетная; г) четная.

8. ( Все вместе). Повторить общую схему исследования функции:

1) область определения;

2) исследование на четность, нечетность, периодичность;

3) точки пересечения графика с осями координат;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки возрастания и убывания;

6) точки экстремума и значение ƒ в этих точках;

7) исследование поведения функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю х.

II. Выполнение упражнений:

1.    Решить № 297(г)

Решение: ƒ(х) = 3х² – х³.

а) D (ƒ) = R;

б) функция не является ни четной, ни нечетной, не периодической;

в) найдем точки пересечения графика с осью ОХ (т. е. нули функции):

х²(3 – х) = 0; х₁ = 0; х₂ = 3.

Пересечение с осью ОУ: если х = 0, то ƒ(0) = 0;

г) находим производную:

ƒ’(x) = 3x(2 – x).

ƒ’(x) = 0, при х = 0, х = 2;

д) найденные критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка: ( - ∞; 0), (0; 2), (2; + ∞).

ƒ(0) = 0, ƒ(2) = 4.

Составим таблицу:

х	( - ∞; 0)	0	(0; 2)	2	(2; + ∞)
ƒ’(x)	-	0	+	0	-
ƒ(x)		0		4
		min		max

Строим график:

2.                Исследовать функцию и построить её график:

                  х     

        ^{У =}  х² – 4

Учащиеся решают задание в тетрадях, обсуждая с учителем каждый шаг решения. Учитель демонстрирует решение задачи на экране с помощью мультипроектора.

3. Решить № 301 (в).        ƒ(x) = х √2 - х   .

Указание:  D (ƒ) = ( - ∞; 2), возрастает на ( - ∞; 1⅓], убывает на

[1⅓; 2];  х = 1⅓ - точка максимума.

График:  

У

3.                Дополнительное задание на карточках, ученикам быстро справившимся с № 301(в):

По данным таблицы схематически построить график  в тетради:

Вариант № 1

х	( - 7; 1)	1	(1; 6)	6	(6; 7)
ƒ’(x)	+	0	-	0	+
ƒ(x)		10		- 3

Вариант № 2

х	( - 3; 0)	0	(0; 4)	4	(4; 8)	8	(8; +∞)
ƒ’(x)	+	0	-	0	+	0	-
ƒ(x)		-3		-5		6

III. Итоги урока.

IV. Домашнее задание: п. 24; выполнить № 297 (б, в), № 301(б, г).