Конспект урока по алгебре в 11 классе "Логарифмы и их свойства"

Тема урока: Логарифмы и их свойства.

Цель урока:

·        Образовательная – сформировать понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

·        Развивающая – развивать логическое мышление; технику вычисления; умение рационально работать.

·        Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Учебник: Алгебра и начала математического анализа,10-11. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др., Просвещение, 2014.

Ход урока:

1. Организационный момент: проверка готовности учащихся к уроку.

2. Повторение пройденного материала.

          Вопросы учителя:

1) Дать определение степени. Что называется, основанием и показателем? (Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а. 3⁴ = 81.)

2) Сформулируйте свойства степени.

3. Изучение новой темы.

 Тема сегодняшнего урока - Логарифмы и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).

 На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства   логарифмов.

                Зададим вопрос:

1) В какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 25? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 25, равен 2.

2) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 27? Очевидно, в третью. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 27, равен 3.

                Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.

                Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем:  log₅ 25=2

                Эта запись читается так: «Логарифм числа 25 по основанию 5». Логарифм числа 25 по основанию 5- это показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. Этот показатель равен 2.

                Аналогично разберём второй пример.

                Дадим определение логарифма.

                Определение. Логарифмом числа b>0  по основанию a>0, a ≠ 1  называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. 

                Логарифмом числа b  по основанию a обозначается log_a b.

                  История возникновения логарифма:

                Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632). 

Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов». 

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением – нашей десятичной системой нумерации. 

                Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы созданы ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы. 

                Рассмотрим примеры:

log₃27=3;   log₅25=2;    log₂₅5=1/2;

 log₅ 1/125=-3;    log_-2 (-8)- не существует;   log₅1=0;   log₄4=1

                Рассмотрим такие примеры:

1⁰. log_a1=0, а>0, a ≠ 1;

2⁰. log_aа=1, а>0, a ≠ 1.

                Эти две формулы являются свойствами логарифма. Ими можно пользоваться при решении задач.

                Как перейти из логарифмического равенства к показательному? log_аb=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Следовательно, а степени с равен b: а ^с= b.

                Выведем основное логарифмическое тождество: а ^{log a b} = b. (Доказательство приводит учитель на доске).

                Рассмотрим пример.

5 ^log ₅ ¹³ =13

                Рассмотрим ещё важные свойства логарифмов.

Свойства логарифмов:

3°. log_а ху = log_ах + log_ау.

4°. log_а х/у = log_ах - log_ау.

5°.  log_ах ^p = p · log_ах, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log₂8 + log₂16= log₂ 8∙16= log₂ 128=7

        3 +4           =               7

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3∙ log₂8= log₂8³= log₂512 =9

          3∙3         =     9

4.Закрепление.

Задание 1.  Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

• log₆6

• log _0,51
• log₆3+ log₆2
• log₃6- log₃2
• log₄4⁸

Задание 2. 

Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

1. log₂32+ log₂2= log₂64=6
2. log₅5³ = 2;
3. log₃45 - log₃5 =  log₃40
4. 3∙log₂4 = log₂ (4∙3)
5. log₃15 + log₃3 = log₃45;
6. 2∙log₅6 = log₅12
7. 3∙log₂3 = log₂27
8. log₂16² = 8.

Задание 3.

            Работа с учебником. №271, 275, 280,290(1,2), 291(1,2)

5. Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам.

Вариант 1.                            

Вычислите:

1.    log₃27            

2.    log₄ 8

3.    log₄₉ 7

4.    log₅5

Вариант 2.

Вычислите:

1.    log₄16

2.    log₂₅125

3.    log₈2

4.    log₆6

6. Подведение итогов.

        С каким математическим понятием вы познакомились на уроке?

        Какие свойства логарифмов вы запомнили? (Записать на доске).

        Сформулировать и записать основное логарифмическое тождество.

7. Домашнее задание.

 п 15-16, № 273, 276,293(1-3).