Конспект урока по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Матрица. Действия с матрицами»

Министерство инноваций, цифрового развития и инфокоммуникационных технологий Республики Саха (Якутия)

Государственное автономное профессиональное образовательное  учреждение Республики Саха (Якутия)

«Якутский колледж связи и энергетики имени П.И. Дудкина»

План – конспект урока по дисциплине

«Элементы высшей математики»

2 курс, группа ИСИП – 21/1

На тему: «Матрица. Действия с матрицами»

Разработала: Антипина Мария Дмитриевна

Якутск, 2022 год

Тема: «Матрица. Действия с матрицами»

Дата проведения: 03 сентября 2022 года

Тип урока: изучение нового материала

Цель урока:

Образовательная: отработать теоретический материал по теме: «Матрица. Действия с матрицами». Сформировать навыки выполнения операций над матрицами.

Развивающая: содействовать развитию вычислительных навыков студентов, логического мышления

Воспитательная: воспитывать умение применять теоретические знания на практике: внимательность, самостоятельность

Планируемые образовательные результаты:

Студент должен знать:

-         Понятие матрицы и ее элементы

-         Основные виды матриц

-         Свойства операций над матрицами

Студент должен уметь:

-         Определять вид матрицы

-         Выполнять операции с матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу)

Основные термины, понятия: матрица

Оборудование: доска, мел, компьютер, проектор

План урока:

1)    Организационный этап (2мин)

2)    Постановка цели урока. Мотивация учебной деятельности студентов. (2мин)

3)    Первичное усвоение новых знаний (35мин)

4)    Первичная проверка понимания (25мин)

5)    Первичное закрепление (20мин)

6)    Информация о домашнем задании, инструктаж по ее выполнению (4мин)

7)    Рефлексия (подведение итогов занятия) (2мин)

Ход урока:

1)    Организационный этап. Приветствие студентов. Проверка наличия студентов в аудитории.

2)    Постановка цели урока. Мотивация учебной деятельности студентов. Цель занятия – изучение теоретического материала и формирование практических навыков при решении задач по теме: «Матрица. Действия с матрицами».

         Матричная алгебра широко применяется в различных отраслях знания – в математике,  физике,  информатике, электронике, экономике. Например, матрицы используются для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в интернете.

         Впервые матрицы упоминались еще в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений.

         При решении систем линейных уравнений используют такие методы как: Метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Данные методы связаны с понятием матрицы и определителем матрицы.

3)    Первичное усвоение новых знаний.

1.1.          Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк одинаковой длины (или п столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде:

или, сокращённо, А = (а_{i j}), где i =1, т (т.е. i = 1,2,3,…,т) – номер строки, j = 1, п (т.е. j = 1,2,3,…,п) – номер столбца.

Матрица А называют матрицей размера т х п и пишут А_{т х п}. Числа a_{i j}, составляющие матрицу называются её элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е.  A = B, если a_i ­_j = b_{i j} ,  где i = 1,m,  j = 1, n.     

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера п х п называют матрицей п-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример 1.1

  единичная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид:

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера 1 х 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)_1х1 есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается А^Т.

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (А^Т) = А.

1.2. Действия над матрицами.

Сложение:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц А_тхп = (a_{i j}) и В_{т хп} = (b_{i j}) называется матрица С_{m x n} = (c_{i j}) такая, что с_{ij =} а_{i j} + b_{i j}  (i = 1,m, j = 1,n). Записывают С = А + В.

Пример 1.2.   

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число:

Произведением матрицы А_{т хп} = (а_{i j}) на число k называется матрица

В_тхп = (b _{i j}) такая, что b_{i j} = k*a_{i j} (i = 1,m, j = 1,n). Записывают В = k * A.

Пример 1.3.        

Матрица – А = (-1) * А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А – В можно определить так: А – В = А + (-В).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1.     А + В = В + А;                                     5. 1 * А = А;

2.     А + (В + С) = ( А + В) + С;                 6. α* (А + В) = αА + αВ;

3.     А + О = А;                                            7. (α + β) * А = αА + βВ;

4.     А – А = О;                                             8.α * (βА) = (αβ) * А,

Где А, В, С – матрицы, α и β – числа.

Элементарные преобразования матриц:

Элементарными преобразованиями матриц являются:

·        Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

·        Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

·        Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается  А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например

                                              

Пример 1.4. Привести к каноническому виду матрицу

Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем

Произведение матриц:

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_{т хп} = (а_{i j}) на матрицу В_{п х р} = (b_{j k}) называется матрица С_{т хр} = (с_{j k}) такая, что c _ik = a_i1* b_1k + a_i2 * b_2k + …+ a_inb_nk , где i = 1,m, k = 1,p, т.е элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. Получение элемента с_ij схематично изображается так

                 ●   ●   ●                      ●   ●   ●   ●   ●

                 ●   ●   ●     i                ●   ●   ●   ●   ●

                 ●   ●   ●                      ●   ●   ●   ●   ●

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А * Е = Е * А = А, где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

Пример 1.5

Пример 1.6. . Тогда произведение А * В не определено, так как число столбцов матрицы А(3) не совпадает с числом строк матрицы В(2). При этом определено произведение В х А, которое считают следующим образом:

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1.     А * (В*С) = (А*В) * С;                    3. (А + В) * С = АС + ВС;

2.     А * (В+С) = АВ + АС;                      4. α(АВ) = (αА)В,

Если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Для операции транспонирования верны свойства:

1.     (А + В)^Т = А^Т + В^Т;              2. (АВ)^Т = В^Т * А^Т.

4)    Первичная проверка понимания.

Студенты выходят к доске и с помощью преподавателя решают задания.

Пример 1.7.

Даны две матрицы       

Найдите сумму .

Решение:

 

Пример 1.8.

Даны две матрицы   

Найдите разность .

Решение:   

 Пример 1.9.

Дана матрица . Найти 2*В.

Решение:

Пример 1.10.

Найдите произведение АВ следующих матриц

  

Решение:

5)     Первичное закрепление

Студентам предлагается самостоятельно на оценку выполнить следующие задания:

1.    Даны матрицы   . Найдите матрицу  

2.     Найдите произведение АВ следующих матриц:

 

3.    Найдите произведение АВ следующих матриц:

  

6)    Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

-         Выучить теоретический материал

-         Выполнить действия над матрицами

Найдите матрицу

    

7)    Задание студентам по итогам рефлексии.

Итак, сегодня мы с вами изучили новую тему «Матрица. Действия с матрицами». Давайте повторим основные понятия данной темы: Что называется матрицей? Какие матрицы называются равными? Какая матрица называется единичной? Какая матрица называется транспонированной к данной? Какие действия можно выполнять над матрицами? Перечислите элементарные преобразования матриц. Всегда ли выполнимо действие умножения двух матриц? Перечислите свойства, которыми обладает умножение матриц.

Список использованной литературы

1.     Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Григорьев В.П., Дубинский Ю.А., Сабурова Т.Н. – М.: Издательский центр «Академия», 2017г.

2.     Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. Образования / В.П. Григорьев, Т.Н. Сабурова. – М.: Издательский центр «Академия», 2017г.

3.   Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Изд. 8-е, стер. – М.: Высшая школа, 2013г.

4.    Подольский В. А., Суходский А. М. Сборник задач по математике – М.: Высшая школа, 2005г.

5.   Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике: учеб. пособие / Н. В. Богомолов. – Изд. 10-е, перераб. – М.: Высшая школа, 2013г.     

Самоанализ урока

1.   Внешние связи урока.

Урок проводился для студентов 2 курса, очного отделения, по специальности 09.02.07 «Информационные системы и программирование».

Данный урок первый в изучаемой теме «Матрица. Действия с матрицами» в соответствии с тематическим планированием. В дальнейшем полученные знания будут применяться в следующих темах раздела «Элемента линейной алгебры»

2.   Характеристика единой цели урока с опорой на характеристику класса.

Цель урока: отработать теоретический материал по теме: «Матрица. Действия с матрицами». Сформировать навыки выполнения операций над матрицами.

3.   Характеристика замысла урока. Характеристика этапов урока.

Общая организация урока.

Последовательность и распределение этапов урока по времени.

Организационный этап (2мин)

Постановка цели урока. Мотивация учебной деятельности студентов. (2мин)

Первичное усвоение новых знаний (35мин)

Первичная проверка понимания (25мин)

Первичное закрепление (20мин)

Информация о домашнем задании, инструктаж по ее выполнению (4мин)

Рефлексия (подведение итогов занятия) (2мин)

Организация познавательной деятельности на уроке. 

Студенты выполняли практические задания у доски, с обсуждением предлагаемых методов решения с группой под руководством преподавателя. Так же студентам предлагалось самостоятельно выполнить ряд заданий

Соблюдение охранительного режима.

Перед проведением занятий учебная аудитория была хорошо проветрена. На протяжении всего занятия происходила смена видов деятельности студентов.

Подведение итога урока.

В результате проведения занятия были выполнены поставленные цели. Активность группы при выполнении заданий у доски и самостоятельных заданий говорит о хорошем уровне усвоения материала и наличия интереса к теме урока.

Содержание урока

Научная, воспитательная и развивающая направленность урока.

Образовательная цель: отработать теоретический материал по теме: «Матрица. Действия с матрицами». Сформировать навыки выполнения операций над матрицами.

Развивающая цель: содействовать развитию вычислительных навыков студентов, логического мышления

Воспитательная цель: воспитывать умение применять теоретические знания на практике: внимательность, самостоятельность

Уровень знаний, умений, навыков учащихся.

Студенты понимают содержание учебного материала, применяют полученные знания для решения практических задач.

Методическая сторона урока и его оборудование.

Качество методов и приемов обучения, их адекватность задачам урока и уровню развития познавательных возможностей детей.

При изложении и закреплении материала использовались объяснительно – иллюстративный и репродуктивный методы обучения.

Студентам был выдан теоретический материал под диктовку, также была разработана презентация по изложенной теме. На доске были рассмотрены примеры решения задач преподавателем и студентами. Для закрепления материла студентам было предложено выполнить задания самостоятельно, на оценку. На этапе рефлексии студенты подвели итоги занятия.

Оборудование урока.

Проектор, презентация были использованы для изложения теоретического материала, доска – для отработки навыков практического применения теории к решению задач.

Методы опроса. Правильность ответа учащихся.

Занятие подразумевало работу студентов у доски под наблюдением преподавателя. Была проведена фронтальная работа. Студенты самостоятельно решали практические задания.

Функциональный анализ урока.

Все структурные элементы урока были выдержаны. Прослеживается взаимосвязь этапов урока. Структура урока подчинена поставленным целям. На этапе «Первичное усвоение новых знаний» студенты познакомились с основным теоретическим материалом. На этапе первичной проверки понимания студенты развивали свои умения анализировать и логически мыслить. При первичном закреплении студенты показали свое умение применять теоретические знания к решению практических задач. На этапе рефлексии студенты подводили итоги занятия.

Оценка конечного результат урока.

Цели урока были реализованы. Студенты освоили новую тему и сформировали навыки вычислений в рамках изученного материала.