Конспект урока по геометрии "Комбинации геометрических тел"

  ТЕМА УРОКА:  Комбинации геометрических тел.

Цель:

1) образовательная: сформировать понятие комбинации геометрических тел, рассмотреть виды этих комбинаций;

2) воспитательная: воспитание умения формулировать проблему и предлагать пути её решения;

3) развивающая: развитие мыслительной деятельности учащихся

Тип урока: комбинированный

    ХОД  УРОКА

1.     Организационный момент.

Какие пространственные фигуры вы изучили на данный момент времени? Учащиеся называют пирамиду, призму, конус, цилиндр, шар, правильные многогранники.

Сегодня мы рассмотрим комбинации этих фигур. Всего встречается 9 комбинаций перечисленных вами фигур:

1) шар и пирамида;

2) шар и призма;

3) шар и конус;

4) шар и цилиндр;

5) конус и пирамида;

6) конус и призма;

7) конус и цилиндр;

8) цилиндр и пирамида;

9) цилиндр и призма.

Наибольшие трудности при изображении комбинации фигур возникают в тех случаях, когда одна из фигур – шар. В таких задачах изображение шара, как правило, бывает излишним – достаточно лишь указать его центр и точки касания с различными плоскостями и прямыми. При решении задач на комбинации фигур полезно делать вспомогательные планиметрические чертежи, т.е. «выносы плоских конфигураций», изображение которых искажено пространственной перспективой.

Рассмотрим некоторые особенности комбинаций шара и призмы и шара и пирамиды.

а) Комбинации шара и призмы. Если в призму вписан шар, то:

1) высота призмы равна диаметру шара;

2) точки касания шара с боковыми гранями принадлежат сечению призмы плоскостью, проходящей через середину высоты призмы (центр шара) перпендикулярно боковым рёбрам.

Не для всякой призмы существует описанный шар.

Чтобы около призмы можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы 1) призма была прямой, 2)  около её основания можно было бы описать окружность.

б) Комбинации шара и пирамиды. Центр шара, вписанного в пирамиду, всегда находится внутри пирамиды. Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения биссектральных плоскостей всех двугранных углов пирамиды .

  Если у пирамиды двугранные углы при основании равны или боковые грани составляют равные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды пересекает основание в центре вписанной в него окружности и высоты всех боковых граней равны.

Если около пирамиды описан шар. То его центр является точкой пересечения всех плоскостей, проведённых через середины рёбер пирамиды перпендикулярно к этим рёбрам.

Вопрос: Около ли всякой пирамиды можно описать окружность?

Чтобы около пирамиды можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы около её основания можно было описать окружность.

Вопрос: Всегда ли центр шара, описанного около пирамиды, лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды?  При каком условии центр шара, описанного около пирамиды, лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды?

Ответ на поставленный вопрос: Если у пирамиды все боковые рёбра равны или наклонены под одним углом к плоскости основания, то её высота пересекает основание в центре окружности, описанной около него, и центр шара, описанного около пирамиды, лежит на высоте пирамиды или на её продолжении за плоскость основания.

Рассмотрим задачу: В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр. Найти площадь полной поверхности этого тетраэдра.

Дано: DABC – правильный тетраэдр, вписанный в шар, R – радиус шара.

Найти: площадь полной поверхности тетраэдра.

Решение  Пусть AB=AC=BC=SA=SC=SB=а, ЕВ = r

, т.к. , то

Центр шара, описанного около пирамиды, одинакаво удалён от всех её вершин, а потому лежит на перпендикуляре к  плоскости основания, проведённому через центр окружности,  описанной около основания.

В правильной пирамиде высота принадлежит этому перпендикуляру, следовательно, центр данного шара лежит на высоте пирамиды DABC или на её продолжении. Продолжим высоту пирамиды DE до пересечения с поверхностью шара, описанного около пирамиды, получим точку F.

Рассмотрим треугольник DAF. Угол DAF – прямой, т.к. является вписанным в окружность и опирается на диаметр DF. DF = 2R, AEDF.

Имеем  или  , то , т.е. откуда . Т.о.  

Ответ:

При наличии времени можно рассмотреть задачу №630 из школьного учебника.

Подведение итогов.

Дом. задание: №631, №639а.