Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по геометрии на тему "Движение!

Конспект урока по геометрии на тему "Движение!


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

На этом уроке мы дадим определение понятию движения, осевой и центральной симметрии. Сначала рассмотрим, как отображается плоскость на себя. После этого дадим определение понятию движение, изобразим это графически. Изучим, что означает осевая и центральная симметрия, основные их свойства.

Тема: Движение

Урок: Понятие движения

1. Введение

Отображение плоскости на себя.

Все понятия, которые будут введены нами в этом разделе, фактически, уже изучались нами ранее, с той лишь разницей, что теперь мы введем их в общем виде.

Ось симметрии.

Осевая симметрия – это такой тип симметрии, при которой каждой точке плоскости, например в точке М (Рис. 1), по определенному закону ставится в соответствие другая точка той же плоскости.

 http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/64344/bc0c6c80_127d_0131_085f_22000a1c9e18.png

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

Закон, согласно которому проводится это соответствие, таков:

Из точки М проводится перпендикуляр к прямой и получается точка Р, точка пересечения перпендикуляра с осью. Откладывался отрезок РМ1=РМ, и находится точка М1. Итак, любой точке М плоскости ставится в соответствие единственная точка М1 плоскости, при этом:

1. МР^а, Р – точка их пересечения

2. РМ1=РМ  , откуда получалась точка М1

При этом мы опирались на известный геометрический факт: из точки М можно провести лишь одну прямую перпендикулярную данной прямой.

Обратная операция: если при осевой симметрии точке М ставится в соответствие точка М1, то точке М1 ставится в соответствие точка М.

Точно такие же операции соответствия можно провести и для пары точек N и N1 той же плоскости (Рис. 1), причем если нам известна точка N1, которая поставлена в соответствие точке N, то нам известна и сама точка N. Итак, каждой точке плоскости ставится в соответствие иная точка плоскости. И любая точка плоскости имеет свою соответствующую точку.

Осевая симметрия является частным случаем так называемого отображения плоскости насебя.

Другим частным случаем отображения плоскости на саму себя является центральная симметрия.

Точка плоскости М переходит в точку плоскости другую М1 по следующему закону (Рис. 2):

1. проводится прямая МО

2. эта прямая продолжается и на ней откладывается отрезок ОМ1=ОМ, получаем точку М1

М1 ставится в соответствие точке М.

 

 

 http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/64345/bf12ac60_127d_0131_0860_22000a1c9e18.png

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

Оба представленных примера отображений обладают следующим свойством:

если взять отрезок MN длиною а, то он перейдет в отрезок M1N1 той же длины, т. е. расстояние между любыми точками сохраняются.

Отображение плоскости на себя, при котором все расстояния сохраняются, называетсядвижением,

т. е. «плоскость двигается, а расстояние сохраняется». Движений таких несколько, мы пока рассмотрели два из них, а именно осевую симметрию и центральную симметрию. Теперь докажем, что каждая из этих симметрий является движением. Надо доказать, что любые расстояния сохраняются.

Докажем это для осевой симметрии.

Итак, при от отображении, М → М1, N → N1, причем РМ1=РМ, NQ=QN1 (Рис. 3)

Нам нужно доказать, что MN= M1N1.

 http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/64346/c03b5040_127d_0131_0861_22000a1c9e18.png

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

Доказательство.

Составим чертеж (Рис. 4).

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/64347/c13d8820_127d_0131_0862_22000a1c9e18.pngСделаем дополнительные построения, построим точку К такую, что МК^ NN1,

тогда точка К отобразится в точку К1.

Докажем равенство прямоугольных треугольников MNК и M1N1К1. В этих треугольниках длины, интересующие нас, являются гипотенузами, значит, надо доказать равенство катетов.

МК = М1К1 как два перпендикуляра к параллельным прямым.

Из Рис. 4 видно, что NK = NQ – KQ и N1K= N1Q – K1Q. Из этих равенств и условия того, что точка N отобразилась в точку N1,  вытекает, что NK = N1K1.

То есть треугольники равны по двум катетам, а следовательно, равны и их гипотенузы, то есть  MN = M1N1, что и требовалось доказать.

 

 

 http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/64348/c267ed00_127d_0131_0863_22000a1c9e18.png

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/64349/c35d05e0_127d_0131_0864_22000a1c9e18.png

Рис. 5.

Докажем теперь, что центральная симметрия также является движением. Дополним Рис. 2 точкой N и точкой N1, в которую отобразится первая точка при центральной симметрии (Рис. 5).

Для этого построим отрезок ON и его продолжение – отрезок ON1, получим точку N1. При этом ON= ON. Необходимо доказать, что MN = M1N1

Доказательство.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/64350/c4f92400_127d_0131_0865_22000a1c9e18.gif по двум сторонам и углу между ними (ÐMОN = ÐM1ОN1 как вертикальные, а соответствующие стороны треугольников равны вследствие законов центральной симметрии) http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/64351/c6263050_127d_0131_0866_22000a1c9e18.gif.

То есть и при центральной симметрии любые расстояния сохраняются. Таким образом, и центральная симметрия является движением.

Итак, мы рассмотрели отображение плоскости на себя. Рассмотрели два примера отображения  плоскости на себя: осевую симметрию и центральную симметрию. И подметили одно важное обстоятельство, что любые расстояния при этих преобразованиях сохраняются. Те преобразования плоскости на себя, которые сохраняют все расстояния, называются движениями. Мы доказали, что осевая симметрия является движением и центральная симметрия является движением.

 

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 113,114, № 1148, 1152




Автор
Дата добавления 29.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров683
Номер материала ДВ-393361
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх