Конспект урока по геометрии на тему "Перпендикуляр и наклонная" (7 класс)

Тема:   Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

Цель: ввести понятие перпендикуляра и наклонной, изучить теорему о том, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Задачи:

- раскрыть понятие перпендикуляра и наклонной;

- рассмотреть свойство параллельных прямых и учить применять его при решении задач;

- работать над развитием логического мышления и речи учащихся;

- воспитывать графическую культуру, самостоятельность, интерес к предмету.

Оборудование: портрет Платона, таблицы, кроссворд, высказывания, чертежи, шифрограмма.

Ход урока

I. Организация начала урока. Сообщение темы и формы проведения урока.

Урок необычный будет у нас –

1

2

ь

3

4

ь

ь

5

ь

6

ь

ь

ь

На исторический экскурс приглашается 7класс.

Будем на уроке новые понятия изучать,

И исторические сведения об основателе первой научной школы узнавать.

II. Актуализация опорных знаний учащихся.

«Да не войдет сюда не искусившийся в геометрии»

Эти слова были написаны на здании научной философской школы,

образованной в IV веке до н.э. близ Афин.

Кто же из ученых философов был основателем и

руководителем этой школы,  узнайте,

Для этого кроссворд заполняйте.

1.Решение кроссворда

к

и

н

ь

а

о

к

з

я

уь

о

у

г

о

м

еь

аь

д

и

аь

н

о

т

г

и

пь

ть

т

н

е

аь

а

м

т

с

ы

л

й

в

р

е

п

1.   Один угол в треугольнике , а другой  составляет,

      А как третий угол тогда в треугольнике называют?

2.   Этот инструмент для построения прямого угла применяют,

      Как же его называют?

3.   Так стороны в прямоугольном треугольнике называют,

      Прямой угол они определяют.

4.  Эта сторона лежит против прямого угла в треугольнике,

     Как ее называют школьники?

5.   Этот отрезок тоже в треугольнике определен,

      Перпендикулярно противоположной стороне он проведен.

 6.  Этот отрезок в треугольнике тоже каждый знает,

      Из вершины он выходит и противоположную сторону пополам разбивает.

      Кто же из ученых является основателем первой научной школы.

Платон – знаменитый ученый. Эти слова были написаны у входа в «Академию» Платона, чрезвычайно ценившего математику и способствовавшего ее развитию. «У тебя нет орудия философии», - сказал он одному из желающих поступить в его школу, но не получившего математического образования.

2. Дидактическая игра «Экстренная инвентаризация»

   Какие слова о геометрии он говорил своим ученикам узнайте, для этого экстренную инвентаризацию начинайте, на вопросы отвечайте!:

На карточках с одной стороны записаны вопросы, с другой стороны  - слова высказывания:

 «Геометрия приближает разум к истине!»

                                     А

 

                                                                  1) Как называется отрезок АВ по отношению к прямой а?             Геометрия

                                     В

       А

 

                                                                  2) Как называют стороны АС   и   АВ ?                                              приближает

                                                    3) Что  больше: катет  или  гипотенуза в прямоугольном треугольнике?    наш разум

             В

                                                   4) Доказать, что треугольники равны.                                                                к истине

 

                                 Прочитайте высказывание - «Геометрия приближает разум к истине!»                                                  

                                           III. Сообщение темы и цели урока

                                           Будем тоже разум к истине приближать

                                          Новые понятия изучать.

                                          Запишите тему урока.

IV Изучение нового материала 

 Начертим любую прямую а.

      Проведем из точки к прямой  перпендику­ляр. Как это сделать?

А теперь возьмем на прямой  любую точку М и соединим ее с точкой .

Отрезок AM называется наклон­ной, проведенной из точки А к прямой .

Какой треугольник у нас образовался? Чем является в этом треугольнике отрезок ? ?  Сравните  и .  Почему ?  Правильно, в прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы AM.   

       Следователь­но, перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, прове­денной из той же точки к этой прямой.

  Как вы думаете, какой отрезок принимают за расстояние от точки  до прямой ? Почему ?

        Запомните, длина перпендикуляра, проведен­ного из точки к прямой, называется рассто­янием от этой точки до прямой.  Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстоя­ний от этой точки до точек прямой.

     На таблице чему равно расстояние от точ­ки В до прямой ?  А расстояние от точки

С до этой прямой?  

Теперь изучим понятие рас­стояния между параллельными прямыми,  для этого

рассмотрим одно из важнейших свойств па­раллельных прямых.

Теорема:  Все точки каждой из двух параллельных пря­мых равноудалены от другой

прямой.

Начертим параллельные пря­мые  и . Отметим на прямой  точку  и проведем из этой

точки перпендикуляр к прямой . Докажем, что расстоя­ние от любой точки X прямой

 до прямой  равно . Запишем, что дано. Что надо доказать?

Дано: || , , 

Доказать: прямая равноудалена от прямой .

Доказательство

    Возьмем точку на прямой . Проведем из точки  перпендику­ляр  к прямой .

    Так как , то  . Соединим точки  и , какие треугольники получим?

Рассмотрим эти треугольникии , какими они будут? Как доказать, что треугольники равны? 

Какие элементы равны в этих треугольниках?  По каким элементам равны треугольники?

   Что следует из равенства треугольников? Какой вывод сделаем?

Итак, любая точка  прямой находится на расстоянии  от прямой .  Очевидно, все точки прямой находятся таком же расстоянии от прямой .  Тео­рема доказана.

        Запись доказательства: 1. Возьмем точку  и проведем . Тогда , так как   || .

2. Рассмотрим  прямоугольные и  .  В них общая, , как внутренние накрест лежащие углы при ||  и секущей .  Следовательно, = . Отсюда . Следовательно, прямая равноудалена от прямой . Ч.т.д.

       Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллель­ных прямых, все время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

         Расстояние от произвольной точ­ки одной из параллельных прямых до дру­гой прямой называется расстоянием меж­ду этими прямыми.

       Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

      Если все точки плоско­сти, расположенные по одну сторону от дан­ной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной. На этом свойстве осно­вано

устройство инструмента, называемого рейсмусом.

Рейсмус использу­ется в столярном деле для разметки на

по­верхности деревянного бруска прямой, па­раллельной

краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края

бруска металлическая игла прочерчивает отрезок прямой,

парал­лельный краю бруска.

V Формирование умений и навыков.

1. Устная работа по таблице.

Исторический экскурс продолжаем, задачи разбирайте.,       

И какие часы изобрел Платон, узнайте.

Солнечные  –  6

Водяные      –  8

Песочные   –   4

       Рассмотрите чертеж.  Назовите перпендикуляр. Назовите наклонную. Что принять за расстояние от точки В до прямой.

2. Работа над задачей  №271.

   Что дано?   Запишем.                   Дано: , наклонная, см,

                                                                                                                     см .    

  Что надо найти?                            Найти:

                                                                                           Решение.

Решим эту задачу алгебраически. Обозначим наклонную и перпендикуляр через  и . Какие уравнения можно составить , исходя из условия задачи?   Решим их в системе. Каким способом удобнее решить? Объясним решение.

Что получим? Тогда как найти ? Запишем ответ.

 Пусть , а  , тогда  Отсюда

Тогда см,  см.

Ответ: см.

   Назовите, какие часы  изобрел  Платон?

     Водяной будильник, изобретенный Платоном, созывал учеников его академии на занятия. Определение времени с помощью водяных часов производилось по скорости вытекания воды из одного сосуда в другой, снабженный метками, уровень воды в котором и показывал время.

 

3. Шифрограмма

Как называли водяные часы древние греки,

прочитайте с помощью шифрограммы:

       Слово «клепсидра»  буквально означает «воровка воды».

Как вы думаете, почему существуют такие выражения: «время течет», «срок истек», «текущий год», «сколько воды утекло»?

4. Работа над задачей №275.

Прочитайте задачу  №275. О какой фигуре говорится? Какой чертеж надо сделать? Что дано? Что надо доказать?

Чтобы доказать, что СМ – высота в равнобедренном треугольнике, что достаточно доказать? Как доказать, что СМ – медиана? Какие треугольники рассмотрим? Как доказать их равенство? Что следует из равенства треугольников? Какой вывод теперь можем сделать? Каким свойством равнобедренного треугольника воспользовались?

                         С                                Дано:  , , ,

                                                                       

                                                           Доказать:

                                                                                               Доказательство

                                                           Рассмотрим   и  .  (по условию), , т.к.

                                                          равнобедренный.  Следовательно,  =(по катету и острому

                                                          углу)  Тогда, .

                                                         Следовательно,  медиана . Известно, что  медиана  в равнобедренном 

                                                         треугольнике является и высотой. Значит,   высота  .

ІV Задание на дом

Чтоб хорошо геометрию знать,

Надо самостоятельно задачи решать,

Домашнее задание выполнять!

Определения и теорему учите в п. 37, №272, 273  с. 86.