Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по геометрии на тему "Решение планиметрических задач методом площадей"

Конспект урока по геометрии на тему "Решение планиметрических задач методом площадей"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное общеобразовательное учреждение – гимназия № 1









Урок геометрии в 11 классе





Тема: «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

МЕТОДОМ ПЛОЩАДЕЙ»












Автор: Дацко Елена Владимировна

учитель математики
















г. Клин, 2014 год


Содержание

Стр.

1. Цель и задачи урока………………………………………………………………………...…3

2. План урока……………………………………………………………………………..…3 – 11

2.1. Актуализация знаний……………………………………………………………………3 – 4

2.2. Устная работа………………………………...………………………………………….5 – 7

2.3. Работа на уроке по вариантам с различной сложностью……………………………..7 – 9

2.4. Самостоятельная работа контролирующего характера……………………………10 – 11

2.5. Итог урока. Домашнее задание с подробным разбором задач....……………….…11 – 17

3. Литература……………………………………………………………………………………18










































Слайд 2

Цель урока: повторение и обобщение знаний о методе площадей в решении задач.

Задачи:

обучающие: обобщить и систематизировать знания о методе площадей, отработать умения применить формулы в решении задач.

развивающие: развить познавательные умения,

воспитательные: развить положительное отношение к знаниям.

Тип урока: урок повторения.

Ход урока

I. Актуализация знаний.


Слайд 3

Площади треугольников, имеющих равные высоты (общую высоту), относятся как стороны соответствующие этим высотам.

hello_html_531d51e4.gif

1.jpg

Рисунок 1

Слайд 4

Площади треугольников, имеющих равные стороны, относятся как соответствующие этим сторонам высоты.

hello_html_10abe117.gif

2а.jpg

Рисунок 2

Слайд 5

Площади треугольников, имеющих равный угол (или общий угол), относятся как произведение сторон, содержащий этот угол.

hello_html_1768e30f.gif

3а.jpg

Рисунок 3

Слайд 6

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

hello_html_m69b34503.gif

5.jpg

Рисунок 4

Слайд 7

hello_html_m3e5092c4.gif

4.jpg

Рисунок 5

II. Устная работа.


Слайд 8 Случай, когда треугольники имеют общую высоту.

6.jpg

Рисунок 6

Дано:

hello_html_m68ad9b2.gif

Найти:

hello_html_544044d6.gif

Решение:

hello_html_m71ce9281.gifимеют общую высоту hello_html_51aa1b69.gif

hello_html_m1e69d5d2.gif hello_html_2711132c.gif hello_html_m426f2b46.gif

Ответ: hello_html_m55a163f7.gif

Слайд 9

7.jpg

Рисунок 7

Дано:

hello_html_m6bc652ab.gif

hello_html_m47fed659.gif

Найти:

hello_html_m436a3c9d.gif

Решение: hello_html_m6de36fe6.gif имеют общую высоту hello_html_6dfe008.gif

hello_html_5e8b6f6b.gif т. к. hello_html_m6bc652ab.gif то hello_html_m6391b6a.gif hello_html_m35ce49a4.gif

Ответ: 20.

Вывод:

1) Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту равно отношению сторон, к которым проведена высота.

2) Если же стороны, к которым проводится высота равны, то и площади треугольников также равны.

3) Во сколько раз отношение сторон треугольников, к которым проводится высота больше (меньше), во столько раз и площади больше (меньше).

Слайд 10

Случай, когда треугольник и параллелограмм имеют общую высоту.

8.jpg

Рисунок 8

Дано:

hello_html_2a534ee6.gifпараллелограмм,

hello_html_4620065f.gif

Найти:

hello_html_m7a9516e6.gif

Решение: hello_html_3a4c790a.gif hello_html_219c5950.gif

hello_html_7f94626a.gif

hello_html_17e02620.gif

hello_html_654e36a2.gif

hello_html_704bcd79.gif hello_html_fb1d940.gif hello_html_46d09f1e.gif

Ответ: 8.

Вывод: В этом случае отношение площадей треугольника и параллелограмма равно отношению их высот. Высота параллелограмма есть высота треугольника. Но в нахождении площади треугольника присутствует коэффициент hello_html_m1b704854.gif, а, значит, составляя и решая данную пропорцию, получаем 8.

Слайд 11

9.jpg

Рисунок 9

Дано:

hello_html_766072c4.gif

hello_html_m6db9dfd3.gif

Найти:

hello_html_m45e8630a.gif

(Отношение площадей, имеющих общий угол равно отношению произведения сторон, заключающих данный угол).

hello_html_m16714b71.gifобщая, hello_html_m3946f3aa.gif

hello_html_45ade746.gif

Ответ: hello_html_62b597e4.gif

Слайд 12

10.jpg

Рисунок 10

Дано:

hello_html_m7b468304.gifпараллелограмм,

hello_html_mda3b403.gifмедиана hello_html_m786d1320.gif

hello_html_2cc50cd.gifмедиана hello_html_m786d1320.gif

hello_html_m7fb1af8e.gifсередина hello_html_12f685cf.gif

hello_html_16cc02ce.gif

Найти:

hello_html_m4cb5954d.gif

Решение:

hello_html_m398226a0.gif

hello_html_6bbdcdb2.gif

hello_html_7b718ad2.gif

hello_html_2033e064.gif

Ответ: 10.


III. Работа на уроке.


1 ряд. Работа в парах (сидят слабый ученик и ученик средних способностей).

Решает I вариант – уровень «4»,

2,3 ряды – II вариант – уровень «4 – 5».

I вариант

11.jpg

Рисунок 11

Дано:

hello_html_669b9f60.gif – параллелограмм,

hello_html_m4e2e647b.gif

hello_html_5b42ae57.gif

Найти:

hello_html_m17e2764b.gif

Решение:

1) Найдём какую часть hello_html_m62bde972.gif составляет от hello_html_78f461bf.gif

Проведём диагональ hello_html_m6da20370.gif

hello_html_m1b5b97e9.gif (общий угол hello_html_6b37eb1d.gif),

hello_html_m2c723bc3.gif

hello_html_34a2d118.gif

hello_html_m6723c66f.gif

2) hello_html_ecc54bd.gif

hello_html_7b9f3782.gif

3) hello_html_m19bd626b.gif

Ответ: hello_html_2d585512.gif








II вариант

12.jpg

Рисунок 12

Дано:

hello_html_398e1265.gif

hello_html_m906d02.gifмедианы,

hello_html_41674c1e.gif

Найти:

hello_html_m5b300440.gif

Решение:

1) hello_html_49b309b4.gif (сторона hello_html_m16714b71.gif – общая),

2) Дополнительное построение hello_html_m291e7fe7.gif

По теореме Фалеса hello_html_6233cfac.gif – средняя линия,

hello_html_4afc7177.gif

3) hello_html_m17ee222d.gif подобен hello_html_m546c69c6.gif (по двум углам),

hello_html_m2f930cf.gifкоэффициент подобия.

4) по свойству медиан hello_html_96c15df.gif hello_html_6e7d8d42.gif hello_html_32467674.gif

hello_html_m69287c95.gif hello_html_5d571667.gif

подставим в hello_html_m177cb58f.gif получим hello_html_ma967ba3.gif

Ответ: hello_html_6601ec0e.gif











IV. Самостоятельная работа контролирующего характера (дифференцированная).


1 ряд

I вариант

13.jpg

Рисунок 13

Дано:

hello_html_m7b468304.gif параллелограмм,

hello_html_m22d3687b.gif

hello_html_m16714b71.gifдиагональ,

hello_html_m57abc3e2.gif

Найти:

hello_html_16b1964e.gif

Решение:

Параллелограмм hello_html_m7b468304.gif и hello_html_m1805a0b.gif имеют общую сторону hello_html_m17379de5.gif

hello_html_35da444c.gif hello_html_m7419d1e0.gif hello_html_m11287462.gif

hello_html_2c8efa0f.gif hello_html_4025c19d.gif hello_html_c06ffef.gif

hello_html_m5759a0af.gif hello_html_m4080a143.gif hello_html_62c2d42d.gif

Ответ: hello_html_6601ec0e.gif

II вариант

14.jpg

Рисунок 14

Дано:

hello_html_m7b468304.gifпараллелограмм,

hello_html_mda3b403.gifмедиана,

hello_html_635f0810.gif

Найти:

hello_html_2d54ccaf.gif

Решение:

hello_html_m59e9c91c.gifмедианы, hello_html_d827c60.gif

hello_html_m53d65a40.gif(свойство диагоналей),

hello_html_593a01ca.gifhello_html_mb421d8d.gifобщий,

hello_html_7b79af2a.gif hello_html_m144779da.gif

hello_html_m2b0c96be.gifимеют общую высоту, значит их площади hello_html_m7d5ecda6.gif

hello_html_m44ad5e58.gif

hello_html_51b782d5.gif

hello_html_m793447c5.gif

hello_html_m3309059f.gif

hello_html_m3d57c41d.gif

hello_html_3112f3c3.gif

hello_html_m3dce90ac.gif hello_html_2c5e889a.gif hello_html_m16475af0.gif

Ответ: 24.


V. Итог урока.


Домашнее задание. Ученику следует выбрать для решения две любые задачи. При желании можно выполнить всё задание.

Задача 1. В треугольнике hello_html_49b8f83b.gifсо сторонами hello_html_m10cf57ae.gif вписан параллелограммhello_html_m5db7eb5f.gifпричём точки hello_html_m1d980191.gifлежат на сторонах hello_html_medfd5c3.gif соответственно. Известно, что площадь параллелограмма составляет hello_html_524db179.gif площади треугольника hello_html_4e045e01.gif Найдите стороны параллелограмма.


15.jpg

Рисунок 15

Решение:

Пусть hello_html_m4b4816b1.gif

1) hello_html_m49cba0e3.gif

hello_html_m129dc76.gif

hello_html_m18a835a6.gif

2) hello_html_m346a5161.gif

hello_html_6a4a56aa.gif

3) hello_html_1b72a03f.gif

hello_html_5649b2eb.gif

hello_html_m9796650.gif

4) hello_html_m1f77761e.gifподобен hello_html_mbbcf016.gifпо двум углам.

hello_html_m45e96d16.gifкак накрест лежащие,

hello_html_m77e21d45.gif

hello_html_3b159aab.gifсоответственные углы.

hello_html_4acd3262.gif hello_html_m133d8406.gif

hello_html_51608302.gif

hello_html_52127c83.gif

hello_html_m3ecb50ab.gif.

Составляем систему:

hello_html_m3d0d9f11.gif

hello_html_m154303b5.gif или hello_html_m10d7e3bc.gif

Ответ: 12 и 4 или 6 и 8.

Другой способ решения данной задачи:

1) hello_html_m5b734db1.gif

hello_html_750674d4.gif

hello_html_469dc335.gif

hello_html_2da707a5.gif

hello_html_2ea70c93.gif

Пусть hello_html_m2093a572.gif

hello_html_6f6f7279.gif

2) hello_html_1ea729fc.gif

hello_html_m3e3695bb.gif

hello_html_m4e780f45.gif

hello_html_m4fe2ba9a.gif

hello_html_m4ceb98e.gif

hello_html_m7453d844.gif

hello_html_m36a714a8.gif

hello_html_2f6530b9.gif

hello_html_m37b703eb.gif

hello_html_m38ba89a4.gif

hello_html_31d2cc08.gif hello_html_7fcadf1c.gif

Ответ: 6 и 8 или 12 и 4.


Задача 2. В треугольнике hello_html_49b8f83b.gifна прямой hello_html_m43b5dfb1.gifвыбрана точка hello_html_707292ce.gif так, что hello_html_m4ff15369.gif Точка hello_html_m176e1984.gif середина стороны hello_html_m63c855d8.gifПрямая hello_html_m27a0600d.gif пересекает отрезок hello_html_m1287a08.gif в точке hello_html_m329ad41b.gif Найдите площадь треугольника hello_html_5a34404d.gifесли площадь треугольника hello_html_49b8f83b.gif равна 120.










1 случай.

16.jpg

Рисунок 16

Решение:

hello_html_3584d86f.gif

hello_html_m414603d7.gif(hello_html_m2d2faeb2.gifмедиана).

Пусть hello_html_m5b159153.gif hello_html_m76324db3.gif

1) hello_html_me140b0f.gif

hello_html_54517701.gif

hello_html_m133a09ec.gif

hello_html_cfb459b.gif

hello_html_5d7bcf84.gif

hello_html_5a8ae1a1.gif

hello_html_m5b640e4.gif

2) hello_html_5d7adb14.gif и hello_html_m915b16f.gif

hello_html_5ddf851a.gif

hello_html_m7811468f.gif

hello_html_m2f6a5131.gif

hello_html_m4fefe508.gif

Ответ: 12.













2 случай.

17.jpg

Рисунок 17

Решение:

1) hello_html_59380b28.gif hello_html_423e8231.gifмедиана,

hello_html_12cecf7e.gifhello_html_m7c8ef3f9.gifмедиана;

Пусть hello_html_m163b1fa4.gif,

hello_html_6eeb6d55.gif

hello_html_1ff203ca.gif hello_html_78ce713c.gif медиана,

hello_html_5fdf7b97.gif

2) hello_html_m509dd878.gif общая высота, hello_html_m634631a7.gif общая высота.

hello_html_m79697936.gif

hello_html_m74876d95.gif

hello_html_m6295ac62.gif

Ответ: 20.

Задача 3. Через точку hello_html_m16f72924.gif лежащую в треугольнике hello_html_m17364cd3.gif проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1;2,25и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов.

F:\333.jpg

Рисунок 18

Найти: hello_html_344eee6a.gif

Решение:

1) Рассмотрим hello_html_332b269e.gif

hello_html_7d8eab83.gif

hello_html_78eb73cf.gif

2) Рассмотрим hello_html_m737cc57d.gif

hello_html_m825a725.gif

hello_html_m36ef8d78.gif

3) Рассмотрим hello_html_m10419325.gif

hello_html_m37dfda6e.gif

hello_html_m13dc00bb.gif

4) hello_html_5ae6ec61.gif

Ответ: 13.

Задача 4. Площадь трапеции hello_html_m7b468304.gifравна 810. Диагонали пересекаются в точке hello_html_197b15a8.gif

Отрезки, соединяющие середину hello_html_m5755f8c5.gifоснования hello_html_m3d02a476.gif с вершинами hello_html_6b37eb1d.gifи hello_html_42fb7929.gifпересекаются с диагоналями трапеции в точках hello_html_m5ed773b3.gifи hello_html_2eff32bb.gif Найдите площадь треугольника hello_html_m8a1bf11.gifесли одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

1 случай.

F:\111.jpg

Рисунок 19

Решение:

1) Рассмотрим четырёхугольник hello_html_m1c3d63b1.gifhello_html_36b0bee8.gif основания трапеции. hello_html_m1e83b09c.gif параллелограмм.

2) hello_html_1a5ded6f.gif по двум сторонам и углу между ними. Аналогично,hello_html_m1175256d.gif Значит, hello_html_49b674f8.gif

hello_html_m43f49100.gif

3) hello_html_m1c3d63b1.gif диагонали параллелограмма делят его на четыре равных по площади треугольника.

hello_html_4b10f746.gif

4) Т. к. hello_html_220725bf.gifто hello_html_751898a5.gif средняя линия треугольника hello_html_7efe359f.gif

hello_html_7103d246.gifhello_html_m4515a891.gif

5) hello_html_20090921.gifтрапеция, hello_html_5f847df8.gif

Пусть hello_html_558ad882.gif тогда hello_html_m36c43df1.gif hello_html_1a481969.gif

hello_html_m56199b48.gif

hello_html_2c69dcfd.gif

hello_html_m491602e1.gif

hello_html_m308a6ac2.gif

Ответ: 22,5.


2 случай.

F:\222.jpg

Рисунок 20

Решение:

Пусть hello_html_m3bac8590.gif высота трапеции.

Положим hello_html_6c8bcd93.gif Тогда hello_html_m1bbd3b69.gif

Треугольник hello_html_5dc50ca3.gif подобен треугольнику hello_html_m522a8bc8.gifс коэффициентом hello_html_620337af.gif а треугольник hello_html_m3f55a134.gif подобен треугольнику hello_html_m2c56d0c5.gif с коэффициентом hello_html_4e7e06d4.gif Тогда hello_html_57e780ae.gif hello_html_m7c81323c.gif hello_html_616b8dca.gif hello_html_m148b0d41.gif hello_html_7455ec99.gif

hello_html_85c3d5b.gif Значит, hello_html_6f5b77c5.gif Аналогично, hello_html_m1eb8d076.gif

Следовательно, hello_html_66e408ec.gif

Ответ: 14,4.












Литература:

1. Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 255с.

2. Геометрия в таблицах. 7 – 11 кл.: Справочное пособие / Авт.-сост. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2000. – 128 с.

3. http://www.fipi.ru (Официальный сайт Федерального института педагогических измерений)

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Обобщающий урок геометрии закрепляет теоретические знания и практические навыки решения планиметрических задач методом площадей. Материалы занятия дифференцированы по уровням сложности и адаптированы для групп учащихся с разными способностями. даны условия задач с подробным разбором решения.

Автор
Дата добавления 08.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров232
Номер материала 271267
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх