Конспект урока по геометрии на тему "Теорема Пифагора" (8 класс)

Тема урока: Теорема Пифагора

 «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезков в среднем и крайнем отношении…

Первое можно сравнить с мерой золота, второе больше напоминает драгоценный камень»

                                                                                             Иоганн Кеплер

Цели урока:

Обучающие: познакомить учащихся с историей теоремы, этапами жизни и деятельности Пифагора Самосского; изучить теорему Пифагора; формировать умения применять теорему Пифагора при решении задач;

Развивающие: развитие логического мышления, внимания, творческих способностей, коммуникативных способностей, умения анализировать, делать выводы.

Воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету, воспитание нравственных качеств личности

Тип урока:  открытие новых знаний

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор

Ход урока

1. Мотивационно-организационный этап.

–Математическое творчество – это высший пилотаж,  и сегодня я приглашаю вас к полетам в мыслях как наяву.  Сегодня мы отправимся в далекое путешествие в Древний Египет. В глубь веков поведет нас гость нашего урока.

(рассказ гостя о себе) О моей жизни известно немного. Родился я в 580 г. до н. э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии  в семье резчика по камню. Еще в детстве я проявлял незаурядные способности, а когда подрос, моему неугомонному воображению стало тесно на маленьком острове и я отправился в Египет. Передо мной открылась неизвестная страна. Когда я постиг науку египетских жрецов, отправился домой, чтобы там создать свою школу. Но жрецы не желали, чтобы их знания распространялись за территорию их храмов и не хотели меня отпускать.  С большим трудом мне удалось преодолеть эту преграду.  По дороге домой я попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому я нашел свое место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели в Египте. Вавилоняне изобрели и применили при счете  позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые кубические уравнения. Я прожил в Вавилоне 10 лет и вернулся  на родину. На острове Самос я оставался недолго, и поселился в одной из греческих колоний Южной Италии. Я  участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях. Здесь я организовал тайный союз молодежи. В этот союз новых членов принимали с большими церемониями после долгих испытаний. Позднее их стали называть пифагорейцы. Они занимались математикой, философией, естественными науками. Около сорока лет  я  посвятил созданной мною школе, и в возрасте восьмидесяти лет, по одной из версий,   был убит в уличной схватке во время народного восстания.

- Кто же наш гость?  (Пифагор Самосский(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

     - Сегодня нам предстоит знакомство с величайшим древнегреческим математиком Пифагором и его знаменитой теоремой. Но имя Пифагор вам должно быть знакомо, где же вы с ним встречались?

    - Да, действительно, хорошо известная вам таблица умножения носит имя великого Пифагора.

     - Какие задачи мы поставим на сегодняшний урок: (выслушать учащихся)

- узнать о жизни Пифагора

- познакомиться с его математическими открытиями

- доказать теорему и научиться ее применять для решения задач

- Союз пифагорейцев - тайный. В него  вступают представители аристократии с большими церемониями после долгих испытаний. Вам тоже предстоит пройти испытания, прежде чем вступить в этот  союз.

2. Актуализация опорных знаний.  (смотри приложение)

1. «Исправь ошибку»

2. «Найди формулу»

3. «Решение задач  по готовым чертежам»

3. «Выбери верное утверждение»

3. Формирование новых понятий

- А теперь давайте решим небольшую задачу.

Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного пункта в разных направлениях. Пешеход пошел на юг со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое будет расстояние между ними через 1час?

- Начертите в тетрадях схему движения пешехода и велосипедиста

- Какая фигура получилась?

- Какие стороны нам известны? Как они называются в прямоугольном треугольнике? Какую сторону нам нужно найти? Как на называется в прямоугольном треугольнике?

- Какие свойства прямоугольного треугольника вам известны?

- Тех знаний о прямоугольном треугольнике, которые мы имеем, нам не хватает. Нам нужно выяснить,  как связаны между собой стороны прямоугольного треугольника.

- Чтобы это выяснить займемся исследовательской деятельностью.

Перед вами лист, на котором цветом закрашен равнобедренный прямоугольный треугольник, на сторонах которого построены квадраты. Ответьте на вопросы, которые даны на карточке и сделайте вывод.

a   b   с

1.     Найдите площади квадратов построенных на сторонах данного равнобедренного прямоугольного треугольника. 2.     Сравните площадь квадрата построенного на стороне  с  и площади двух остальных квадратов 3.     Сделайте вывод

Вывод: Площадь квадрата построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

- Так изначально формулировалась теорема Пифагора.

- Сейчас теорема звучит так: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

- Утверждение, которое вы только что сформулировали, является одной из важнейших теорем геометрии и имеет своё имя – теорема Пифагора. Насчитывается более 500 способов ее доказательства. Мы сегодня рассмотрим один из них.

Пифагор:       О, боги, мой ум прошу вас одарить.

                        Чтоб истину, что всех дороже мне открыть,

                         Я, в жертву 100 быков готов отдать,

                         Чтоб эту теорему доказать.

- Возьмите 4 треугольника, и попробуйте составить из них квадрат. Есть варианты?

- Найдём площадь полученного квадрата.

Подпишите, где катеты, а где гипотенуза (катеты -  а, в, гипотенуза – с), вершины А, В, С, Д.

- Как найти S квадрата АВСД?

                    S_кв = квадрату стороны.

    - Чему равна длина стороны нашего квадрата?

                    S_{АВСД =} (а+в)

    - Чему равен квадрат суммы?

                   S_{АВСД =} (а+в)²=а²+2ав+в²

    - Этот квадрат  состоит из каких фигур? Как еще можно найти S_кв? 

Из 4-х треугольников и фигуры MNLK (подписать вершины), т.е.

                   S_АВСД= 4 S_тр+ S_MNLK

    - Чему равна S_∆ -?        S =_∆  ав

                  S_АВСД = 4 ав + S_MNLK=2ав + S_MNLK

    - Почему MNLK – квадрат?   Стороны равны, но это может быть и ромб. Чем ромб отличается от квадрата?  (углами)

    - Почему угол равен 90⁰? Т.к сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰  и треугольники равны по 2-м катетам.

    - Чему равна  S_MNLK?   S_MNLK = с²

       Получили, S_АВСД = 2ав + с²

    - Так как находили площадь одной и той же фигуры, то приравняем равенства       

                          2ав + с²= а²+2ав+в²

     - Упростим это равенство

                          с² = а²+в²

    - Как называют стороны с-? а - ? в - ? в прямоугольном треугольнике (гипотенуза, катет, катет)

    - Не называя буквами, назови  то, что мы получили для прямоугольного треугольника.

Вывод: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пифагор:       Все доказал! Хвала богам!

                       Что обещал, отдать придется,

                       И 100 быков всех в жертву вам,

                       Пусть теорема именем моим зовется! 

- Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum “ослиный мост” или elefuga – “бегство убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

  4.  Первичное закрепление

А теперь вернемся к нашей задаче на движение. Теперь вы сможете дать ответ на вопрос задачи. Решите ее.

x² =5² + 12²

x² = 25+144

           x² = 169

х = 1

                           12

       5                                                                            

Интересна история теоремы Пифагора.  (доклад учащегося)

Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Но это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. Говорят, что он “запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы”. В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: “… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста”.

Область применения теоремы достаточно обширна. Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора (презентация)

  В  строительстве  При строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок.

  В астрономии  Парижской академией наук была  установлена премия в 100 тыс. франков тому, кто первый установит связь с обитателями  других  планет.  Было решено передать им сигнал в виде теоремы Пифагора. Для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду, и поэтому этот сигнал должны понять все. 

  В сфере культуры и отдыха  В Германии есть кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а также время, запах и вкус. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень "просто": ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять.  Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды.

  Для определения высоты антенны мобильного оператора тоже применяется теорема Пифагора. Перед нами задача.  Задача:  Какую наибольшую высоту должна иметь антенна      мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе  200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

5. Итог урока:

- Что нового вы узнали  сегодня  на уроке? (Сегодня на урок мы познакомились с теоремой Пифагора, с некоторыми сведениями из жизни ученого. Решили несколько простейших задач)

- Для каких треугольников применяется теорема Пифагора?

- В чём заключается теорема Пифагора?

6. Домашнее задание.

-  Сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

- К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.

Творческие задания:

1 группа: Различные названия теоремы Пифагора.

2 группа: Практическое применение теоремы Пифагора

3 группа: Старинные задачи на применение теоремы Пифагора

Краткое описание документа:

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний . Предусмотрена практическая работа для открытия новых знаний. Цель урока: Подвести учащихся к выводу теоремы Пифагора путём измерительных работ и логических рассуждений, доказать теорему Пифагора, формировать практические навыки применения данной теоремы.