Итак, главная проблема: как может быть связана
окружность с двумя прямыми, разбивается на две известные. Слайд №1.
Посмотрите на конву- таблицу, изображенную на
электронной доске ( каждому учащемуся раздали перед уроком). Слайд №2.
В левом верхнем углу символически с помощью рисунков
и записи c, d Окр (О;r)
обозначена эта проблема. В этой же строке выделены случаи взаимного
расположения двух прямых - это первая известная задача.
Во второй строке – вторая известная задача: взаимное
расположение прямой и окружности (пересечение и касание). Слайд №3.
На рис. 1) - 9) изображено взаимное расположение
прямой и окружности, т.е. вторая известная задача. Назовите рис., на которых
прямая и окружность пересекаются. Рис., на которых прямая и окружность
касаются? Слайд №4.
Теперь, учитывая взаимное расположение двух прямых
на плоскости, будем изображать возможное расположение второй прямой.
На рис.1- пусть вторая прямая касается окружности и
параллельна первой.
На рис.2 – вторая прямая пересекает окружность и
параллельна первой.
На рис.3 – пересекает окружность и первую прямую но
точка пересечения лежит вне окружности.
На рис.4 - пересекает окружность и первую прямую и
точка пересечения лежит внутри окружности.
На рис.5 - пересекает окружность и первую прямую и
точка пересечения лежит на окружности.
На рис.6 – касается окружности и пересекает первую
прямую, точка пересечения лежит вне окружности.
На рис.7 - пересекает окружность и первую прямую но
точка пересечения лежит вне окружности.
На рис.8 - пересекает окружность и первую прямую и
точка пересечения лежит на окружности.
На рис.9 - касается окружности и параллельна первой
прямой.
Какие знакомые фигуры на рисунках получили?
На каждом из рисунков отметим точки пересечения и
касания и подпишем под рисунком все данные (только то, что дано). Слайд
№5,6,7,8, Дошли до рис.5 Какую знакомую фигуру получили? Слайд №9
Чему равна градусная мера этого угла?
Доказательство
этого утверждения мы с вами уже изучили. Запишем это в колонку рис.5 и пойдем
дальше. Слайд №10-13
Рис. 6) – 9)
Теперь рассмотрим рис. на которых две прямые
пересекаются. Начнем с рис. 3. Слайд №14
Дано: AM, AP-секущая, ͜ MP,͜
͜ NQ. Найти угол А.
Т. А лежит вне окружности. Является ли угол А
вписанным?
Встает проблема: Можно ли используя элементы рисунка
дуги, найти величину угла А? Для нахождения этого угла мы используем частную
задачу из учебника №660. Давайте ее рассмотрим.
Дано: Окр.(О;r) AM, AP- секущая ˪А= 32̊ ,͜ МР=100̊. Найти
͜ NQ.
Известна градусная мера ͜ МР=100̊. Градусную меру
каких углов можно найти?
Есть ли вписанные углы на рис.?
Можно ли их построить? Какие дополнительные
построения можно выполнить?
Итак, построим например хорду MQ.
Полученные углы PQM и QMN обозначим как 1и 2.
1)
˪1- вписанный→
˪1=1/2͜ MP
2)
˪2- вписанный→ ˪2=1/2͜ NQ
3)
˪1-внешний→ ˪1= ˪2+˪А;
˪2= ˪1- ˪А
Мы можем найти ˪А?
Перейдем в записи от угла к известным дугам, что
получили?
Таким образом, решая частную задачу, мы открыли
общий закон вычисления угла между секущими, а приведенные рассуждения в общем
виде без учета числовых данных будут доказательством теоремы о величине угла
между секущими.
Угол между секущими равен полуразности дуг,
отсекаемых от окружности -этими секущими.
Теперь в усл. по рис.3 изменим первое данное, а
именно, пусть АМ будет касательной, АР – секущая. Какой рис. получим? Слайд
№15
Каково требование к этой задаче?
На рис.3 нам надо было найти угол между секущими.
Как мы назовем этот угол?
Давайте найдем величину этого угла. Может снова
поможет нам вписанный угол? Какое дополнительное построение нужно сделать?
Обозначим ˪MQP=˪1 a ˪AMQ=˪2.
1)
Д.п.:MQ
2)
˪1-впис.→˪1=1/2͜ MP
3)
˪1-внешний угол ∆MAQ
˪1=˪2+˪A; ˪A= ˪1-˪2. В этом выражении 2 неизвестные
величины ˪A и ˪2. Как мы назовем этот угол? Между какими
прямыми? Видим, чтобы решить эту задачу надо сначала найти величину угла
между касательной и хордой. У нас есть такой рисунок? На каком рисунке
изображена касательная и хорда?
Слайд №16
Ставим стрелку от рис.7 к рис.8. видим что хорда уже
дана (AQ) но она ничего не дает. В таких случаях строят
диаметр АD и чтобы получить треугольник, строим еще одну хорду
DQ. Пишем со мной:
Обозначим ˪QDA=˪1; ˪QAM=˪2 ˪DAQ=˪3
1)
Д.п.: AD-
диаметр, DQ- хорда
2)
˪AQD=90̊
(вписан. опир. на диаметр)
3)
˪1+˪3=90̊ по свойству
треугольника
4)
˪DAM=90̊ по свойству касательной
5)
˪DAM=˪2+˪3
6)
˪1=˪2 ˪1=1/2͜ AQ
значит ˪2=1/2͜ AQ
˪QAM=1/2͜ AQ
Угол между касательной и хордой равен половине дуги,
заключенной между ними.
Вернемся к зад. № 7 подставим полученные данные и
получим, что ˪А=1/2(͜ МР-͜ MQ)
Какие задачи похожи по результату?
Как вы думаете, с какими из данных условий это
связано?
Что же будет, если точка А лежит внутри окружности?
Слайд №17.
Какой рис. надо рассмотреть?
В этой задаче от секущей перейдем к хордам.
Что будем искать? Угол между какими прямыми?
С чего начнем?
Проведем хорду MQ.
Обозначим ˪AMQ=˪1; ˪AQM=˪2
1)
Д.П. MQ
2)
˪MAP-
внешний угол ∆MAQ; ˪MAP= ˪1+ ˪2
3)
˪1вписанный ˪2-впис.
4)
˪1= 1/2͜ NQ
˪2=1/2͜ MP
˪MAP=1/2(͜ NQ+͜ MP)- угол между хордами равен полу сумме дуг,
заключенных между ними.
Рас. рис. №6. Точка А тоже находится вне окружности.
Как найти величину угла А? Какое Д. п. надо сделать? Слайд №18.
А как найти ˪MAO? Это угол между какими прямыми? Есть ли у
вас рисунок с такими данными?
Верно. Подставляя эти данные в задачу№6 получим
Слайд №19
˪А=2*1/2(͜ MP-͜ MQ)
˪А=͜ MP-͜ MQ
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.