Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / КОНСПЕКТ УРОКА ПО ГЕОМЕТРИИ ТЕМА: "МНОГОГРАННИКИ И ИХ СВОЙСТВА" (10 КЛАСС)

КОНСПЕКТ УРОКА ПО ГЕОМЕТРИИ ТЕМА: "МНОГОГРАННИКИ И ИХ СВОЙСТВА" (10 КЛАСС)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Разработка урока элективного учебного предмета «Теория многогранников»

Урок № 1.

Тема: Исторические сведения о многогранниках. Многогранники и их свойства.


Содержание:

  • Выпуклые многогранники. Выпуклые многогранники и их свойства.

  • Определение многогранника.

  • Теорема Коши

  • Икосаэдральная игра Гамильтона


Цель урока: Познакомить учащихся с типом выпуклых многогранников –правильными многогранниками.

Задачи урока:

1. Обучающие:

• Ввести понятие правильного многогранника.

• Рассмотреть свойства правильных многогранников.

2. Развивающие:

• Формирование пространственных представлений учащихся.

• Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности.

• Развитие монологической речи учащихся.

3. Воспитательные:

• Воспитание эстетического вкуса,

• Формирование интереса к предмету.


Английская королева, прочитав книгу Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес», велела приобрести для неё все произведения этого автора. Каково же было удивление королевы, когда она обнаружила, что это труды по высшей математике. Льюису Кэрроллу принадлежит высказывание, которое мы возьмём эпиграфом к нашему уроку:

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.»

Тема сегодняшнего урока «Правильные многогранники».

Нами уже использовались ранее словосочетания со словом «правильные», перечислите, что в математике вы уже изучали, возможно слышали? (правильные дроби, правильные треугольники, многоугольники, правильные призмы, правильные пирамиды и др.).

Мы понимаем, что комбинации знакомых понятий образуют совершенно новые определения. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Рассмотрите предложенные в таблице варианты,


1 вариант

2 вариант

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон


Выпуклый многогранник называется правильным, если в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.


Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника?

Посмотрите на этот многогранник (демонстрируется модель параллелепипеда).

Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре.

Подсчитаем число ребер выходящих из каждой вершины – три ребра, грани не являются правильными многоугольниками

рассматриваемый многогранник не является правильным

рассматриваемый многогранник не является правильным


Рассмотрев предложенные варианты, сформулируйте определение выпуклого правильного многогранника. Вывод: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Увлекательный раздел геометрии – теория многогранников. Многогранники выделяются необычными свойствами, красивыми формами, которые находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей для реальных архитектурных сооружений. Сегодня мы познакомимся с правильными многогранниками.

Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми?

hello_html_32249257.png


Как вы считаете сколько углов может сходиться при вершине многогранного угла? Может ли угол быть образованным из одной или двух плоскостей правильных многоугольников? (представьте себе такую фигуру, поясните ответ). Верно, при вершине многогранного угла не менее трех плоских углов.


• Какова сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника?


Рассмотрим правильные многогранники: все ребра правильного многогранника равны друг другу, равны также все его двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

Грани правильного многогранника могут быть либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками. Действительно, угол правильного hello_html_2778661b.png-угольника при hello_html_m794c56b3.pngне меньше hello_html_36a804c2.png. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при hello_html_m794c56b3.png, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем hello_html_480a4a25.png. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше hello_html_m659b4440.png.

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

  • Правильный тетраэдр (четырехгранник) — многогранник, составленный из четырех правильных треугольников (рис.1а).

  • Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб — многогранник, составленный из шести правильных четырехугольников (квадратов) (рис. 1б).

  • Правильный октаэдр (восьмигранник) — многогранник, составленный из восьми правильных треугольников (рис. 1в).

  • Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) — многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников (рис. 1г).

  • Правильный икосаэдр (двадцатигранник) — многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников (рис. 1д).

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: “эдра”- грань; “тетра” - 4 ; “гекса” - 6; “окта” - 8;“икоса” - 20; “додека” - 12


hello_html_me87645f.png

Давайте, еще раз посмотрим, какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника и сколько правильных многогранников существует.

Исследуем этот вопрос. Результат оформим в виде таблицы.


Форма граней

Сумма плоских углов при

Вершине многогранника

hello_html_m42c3791c.png

600 * 3 =1800

hello_html_m42c3791c.png

600 * 4 =2400

hello_html_m42c3791c.png

600 * 5 =3000

hello_html_74fa7f2f.png

900 * 3=2700

hello_html_387c7192.png

1080 * 3=3240




Пhello_html_m1b45d55d.jpgравильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира,разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” - огня, земли,воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников.Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду;куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества -твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.


Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы,архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

hello_html_m323837fe.jpg

Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря”изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528) в известной гравюре“Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр.

Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит Иоганну Кеплеру (1571-1630). Кеплер определил классы многогранников, в частности тот, который мы называем архимедовыми телами, описал каждый из многогранников того или иного класса (некоторые — впервые). Еще в молодые годы им овладела идея поиска симметрии или гармонии мира. В своей первой работе "Космогоническая тайна" (1596) Кеплер, опираясь на геометрию, решил вывести число орбит, их относительные размеры и характер движения планет, т. е. проникнуть в замысел творца. Эта работа принесла ему большой успех и широкую известность. В ней ученый вывел свой геометрический принцип, по которому с помощью пяти правильных многогранников - так называемых платоновых тел - обьясняется число известных тогда планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн) и относительные размеры их орбит. Геометрия Солнечной системы по Кеплеру заключалась в следующем: вокруг сферы, на поверхности которой по окружности большого круга движется Меркурий, описывается октаэдр; вокруг октаэдра – сфера, на которой находится Венера; вокруг последней сферы описывается икосаэдр и вокруг него сфера, на которой оказывается Земля; Далее идет додекаэдр со сферой, на которой движется Марс; затем тетраэдр со сферой Юпитера; затем следует куб со сферой, на которой находится последняя известная Кеплеру планета – Сатурн. Такая модель гелиоцентрической системы мира получила название "космический кубок". Кеплер считал геометрию "прообразом красоты мира" и в отличие от пифагорейцев искал первопричины не в числовых соотношениях, аhello_html_70393890.png в скрытых за числами геометрических фигурах.


В конце концов, Кеплеру пришлось признать ошибочность этой гипотезы. Позже, изучив долголетние тщательные наблюдения знаменитого астронома Тихо Браге над движением планеты Марс, Кеплер обнаружил, что Марс движется не по кругу, а по эллипсу, и, критически пересмотрев свои взгляды на движение планет, пришел к "законам Кеплера". Ошибочность первоначальной гипотезы, кстати, является красноречивым свидетельством того, что в науке прекрасное (с чисто эстетической точки зрения) все же не всегда оказывается правильным.

«Икосаэдро – додекаэдровая структура Земли».Учёные Макаров и Морозов считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Теорема Коши

Выпускника знаменитой парижской Политехнической школы Огюстена Луи Коши (1789--1857) " по его блестящим достижениям во всех областях математики можно поставить почти рядом с Гауссом". Гигантское научное наследие Коши занимает 25 внушительных томов и включает около 800 работ. Результаты Коши, принесшие ему славу великого математика, относятся в основном к математическому анализу, алгебре, математической физике, механике. Его исследования по геометрии могли бы остаться в тени его достижений в этих областях, если бы не работа " О многоугольниках и многогранниках", опубликованная в 1813 году. В этой работе как раз и была доказана знаменитая теорема о выпуклых многогранниках.

Под многогранником понимается множество M плоских многоугольников --- граней, расположенных в пространстве так, что

(1) каждая сторона любого из них является стороной в точности еще одного многоугольника;

(2) от каждого многоугольника из M к любому другому можно пройти по цепочке многоугольников из M, в которой последовательные многоугольники имеют общую сторону;

(3) если два многоугольника имеют общую вершину, то соединяющую их цепочку можно составить из многоугольников, которые все имеют эту вершину.


hello_html_m5f9b4fee.png

hello_html_m5a00fa1f.png




Рис.1.


Например, фигуры, изображенные на рис. 1, являются многогранниками, совокупность же многоугольников на рис. 2 не является многогранником, потому что условие (1) нарушается для стороны AB; для многоугольников ABCD и DEF нет соединяющей их цепочки, т. е. не выполняется условие (2); условие (3) не выполняется в вершине G.



Два многогранника равны, или конгруэнтны, если их можно совместить движением. Вспомним, что многогранник называется выпуклым, если для каждой его грани плоскость, проходящая через эту грань, оставляет все остальные грани многогранника по одну сторону от этой плоскости.

Теорема Коши о единственности. Два выпуклых многогранника с соответственно равными гранями, составленными в одном и том же порядке, равны.

Вернемся к многогранникам, показанным на рис. 1. Башня с четырехскатной крышей на кубическом основании и башня с продавленной крышей составлены из соответственно равных граней, примыкающих друг к другу в одном и том же порядке. Но они не равны друг другу. Один из них невыпуклый, а, как доказал Коши, в классе выпуклых многогранников подобная ситуация невозможна.

Эта теорема объясняет, почему модель выпуклого многогранника не деформируется, или, как еще говорят, не изгибается. Многогранник, который может непрерывно деформироваться так, что его грани остаются плоскими и равными самим себе, а меняются лишь его двугранные углы, называется изгибаемым. Если же такой непрерывной деформации не существует, то многогранник неизгибаем.

Выпуклый многогранник неизгибаем. Действительно, допустим, что выпуклый многогранник M изгибаем. Тогда существует другой, не равный ему многогранник M', двугранные углы которого мало отличаются от соответствующих углов многогранника M. Если отличие углов достаточно маленькое, то многогранник M' также выпуклый. А так как соответственные грани этих многогранников равны, то, по теореме Коши, и сами многогранники конгруэнтны.


Игру с икосаэдром придумал в пятидесятых годах прошлого века знаменитый ирландский математик Уильям Р. Гамильтон. На примере этой игры он хотел продемонстрировать некоторые не совсем обычные свойства разработанного им исчисления, во многом схожего с принадлежащей тому же автору теорией кватернионов (предшественницей современного векторного анализа). Исчисление позволяло решать ряд сложных задач об обходе ребер пяти новых, тел, и в частности икосаэдра и додекаэдра. Гамильтон назвал свое исчисление икосаэдрическим, хотя в действительности в придуманной им игре приходится совершать обход ребер додекаэдра.

В 1859 году Гамильтон продал игру за 25 долларов одному лондонскому дельцу. Позднее она в различных видах появлялась в Англии и других европейских странах. Биограф Гамильтона сообщает, что эти 25 долларов были единственными деньгами, которые получил известный математик за свои открытия и научные труды.

Гамильтон придумал много игр и головоломок, связанных с додекаэдром, но самой интересной из них была следующая. Начав с любой вершины додекаэдра (каждой его вершине Гамильтон дал название какого-нибудь крупного города), нужно было совершить «кругосветное путешествие» — обойти ровно один раз все ребра правильного многогранника и вернуться в исходную вершину.

Иначе говоря, путь должен иметь вид замкнутой ломаной, составленной из всех ребер додекаэдра. Каждое ребро разрешается проходить только один раз. Начало и конец пути должны находиться в одной и той же вершине додекаэдра.

Пhello_html_m1c711927.jpgредставьте себе, что поверхность додекаэдра сделана из резины. Проткнув одну из его граней, растянем додекаэдр так, чтобы он целиком распластался на плоскости. Его ребра расположатся в виде сети, показанной на рис.



Рис. Додекаэдр (слева), проколотый (место прокола указано точкой) и растянутый на плоскости (справа). Размеры отдельных звеньев сети прямых на плоскости не совпадают с длиной ребер додекаэдра, но топологически сеть прямых на плоскости и сеть, образованная ребрами додекаэдра, эквивалентны.


Топологически эта сеть эквивалентна сети, образуемой ребрами «настоящего», несплющенного додекаэдра, но, разумеется, с плоской сетью обращаться намного удобнее, чем с объемной. Совершая «кругосветное путешествие» по этой сети («карте додекаэдра»), удобно отмечать каждую вершину, в которой вы побывали, фишкой.

Если все вершины додекаэдра эквивалентны, то существуют только два различных гамильтоновых пути, и любой из них является зеркальным отражением другого. Если же мы введем для каждой вершины особое обозначение и будем считать различными пути, проходящие через все 20 вершин в различном порядке, то таких путей окажется 30 (путь, проходимый в обратном направлении, мы не отличаем от пути, проходимого в прямом направлении). Гамильтоновы пути точно так же можно построить на четырех других Платоновых телах и на многих, хотя и не на всех, полуправильных многогранниках.


.hello_html_28f4f925.png

Головоломка Гамильтона (показано одно из решений)

В 1856 году Гамильтон исследовал группу симметрий икосаэдра и показал, что у неё имеются три порождающих элемента. Изучение другого многогранника, додекаэдра, привело впоследствии к появлению в теории графов полезного понятия «гамильтонова графа»; кроме того, Гамильтон придумал занимательную головоломку, связанную с обходом рёбер додекаэдра, и выпустил её в продажу (1859). Эта игра, красочно оформленная как «Путешествие вокруг света», долгое время выпускалась в разных странах Европы.

5. История изучения и изображения многогранников, уходящая корнями в глубь тысячелетий, продолжается в наши дни, неожиданно «превращаясь» в историю науки о фуллеренах и технологии новых материалов на их основе или историю современной архитектуры. История эта являет собой яркий пример взаимопроникновения различных областей знания, неразрывности понятий «наука» и «искусство» как различных способов познания мира, двух основных составляющих единого целого — культуры, главного наследия человеческой цивилизации. Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Итог урока:

1.С какими новыми геометрическими телами вы сегодня познакомились?

2.Сколько видов правильных многогранников существует?

3.Назовите их.


Домашнее задание: сделать модель правильного многогранника по его развертке или каркасную его модель.


hello_html_1260a3c1.pnghello_html_1c82db7.png




hello_html_m6339fa30.pnghello_html_4cf0ea3c.png



hello_html_37b794e1.png


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 08.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров518
Номер материала ДВ-430092
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх