Конспект урока по геометрии. Тема "Сфера и шар". 11 класс

Конспект урока по геометрии для учащихся 11 класса.

Тема: «Сфера и шар. Решение задач».

Цели:

- образовательные: повторить изученный материал по данной теме, проверить знания, умения и навыки учащихся при решении задач;

- развивающие: развивать логическое мышление, пространственное воображение, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь;

- воспитательные: развивать личностные качества учащихся, такие как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.

Задачи урока:

- повторить понятия сферы и шара;

- повторить взаимное расположение сферы и плоскости;

- повторить формулу для вычисления площади сферы.

Тип урока: урок применения знания, навыков и умений.

Методы обучения: репродуктивный, индуктивно-эвристический.

 Оборудование: учебник, тетрадь, ручка.

План урока:

1.                 Организационный момент (2 минуты).

2.                 Актуализация знаний (8 минут).

3.                 Решение задач (30 минут).

4.                 Подведение итогов урока (3 минуты).

5.                 Домашнее задание (2 минуты).

Ход урока.

1.     Организационный момент.

Организационный момент включает в себя приветствие учеников, проверку отсутствующих, запись учениками числа, классной работы и темы урока.

2.     Актуализация знаний.

Учитель: На прошлом уроке мы с вами изучили понятие сферы, уравнение сферы, взаимное расположение сферы и плоскости и площадь сферы. Давайте вспомним, что называется сферой?

Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Учитель: Что называется диаметром сферы?

Ученик: Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр,  называется диаметром сферы.

Учитель: Что называется шаром?

Ученик: Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Учитель: Существует три случая расположения сферы на плоскости. Какие?

Ученик: 1) если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

Учитель: Второй случай?

Ученик: 2) если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Учитель: И третий случай?

Ученик: 3) если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Учитель: Запишите формулу вычисления площади сферы.

(Один ученик выходит к доске и записывает формулу.)

S=4 pR²

Учитель: Сформулируйте теорему касательной, проведенной в точку.

Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Учитель: Сформулируйте обратную теорему.

Ученик: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

3.     Решение задач.

Учитель: Переходим к решению задач. Открываем учебники на стр. 133 №576 (а)

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

(Запись на доске и в тетрадях.)

№576 (а)

Ученик: Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А(2; -4; 7), R=3.

Учитель: Запишите, какой вид имеет уравнение сферы, радиуса R с центром C (x₀,y₀,z₀)?

(Запись на доске и в тетрадях.)

(x- x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²;

(x- 2)² + (y + 4)² + (z - 7)² = 3²;

(x- 2)² + (y + 4)² + (z - 7)² = 9.

Учитель: № 577 (б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если А(-2; 2; 0), N(0; 0; 0).

(Запись на доске и в тетрадях.)

№ 577 (б).

(x+2)² + (x - 2)² + (x - 0)² = R²;

4+4= R²;

R² = 8;

(x+2)² + (y - 2)² + z² = 8.

Учитель: Следующий №589 (а, б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R  так, что угол между диаметром и плоскостью равен α. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: а) R=2 см, α=30˚; б) R=5 м, α=45˚.

(Запись на доске и в тетрадях.)

а) Дано: R=2 см,         

               α=30˚

                                                             

Найти: С_{сечения} = ?

Учитель: По какой формуле будем искать длину окружности?

Ученик: С=2pr.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение:  С=2pr;

Учитель: Чему равен катет, лежащий против угла в 30˚?

Ученик: Катет, лежащий против угла в 30˚ равен половине гипотенузы.

(Запись на доске и в тетрадях.)

1)    если гипотенуза АВ=2, то катет, лежащий против угла в 30˚ равен  АВ, т. е ОО₁=1;

Ученик: По теореме Пифагора находим r.

(Запись на доске и в тетрадях.)

2)   r = n2²-1² = ;

3)   С_{сечения} = 2*p* = 2p см.

Ответ: 2p см.

Учитель: Пункт (б).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

(Запись на доске и в тетрадях.)

б) Дано: R=5 м,

               α=45˚

Найти: С_{сечения}= ?

Решение:  С=2pr

1)  Cos 45˚=  ; r = * 5 =  .

2)  С_{сечения} = 2*p* = 5p м.

Ответ: 5p м.

Учитель: Следующий №592.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точке сферы.

(Запись на доске и в тетрадях.)

№592.

Дано:

R=112 см.

А – точка касания.

В Î a                                          

                                                                                                                                           Найти: ВК.                                        

Учитель: Какую теорему мы знаем о радиусе сферы, проведенном в точку касания сферы?

Ученик: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: 1) АО  ┴ АВ, АО = 112 см, АВ = 15 см.

2)по теореме Пифагора ОВ = n112²+15² =  =  = 113 см.

3) ВК = ОВ – ОК = 113- 112 = 1 см.

Ответ: ВК = 1 см.

Учитель: Следующий № 593 (г).

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Найдите площадь сферы, радиус которой равен 2 см.

(Запись на доске и в тетрадях.)

№ 593 (г).

Дано:  Сфера

R = 2 см.

Найти: S_сферы = ?

Учитель: Запишите формулу площади сферы.

Ученик: S_сферы = 4pR²

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение:  S_сферы = 4pR² = 4p(2)²=4p*4*3 = 48p см².

Ответ: 48p см².

Учитель: Следующий №597.

(Один ученик выходит к доске, остальные решают в тетрадях.)

Ученик: Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.

(Запись на доске и в тетрадях.)

№597.

Дано:

S_{поверхности сферы} = 4pr².

r = 5 см.

Найти: r = ?

Учитель: Чему равна площадь круга?

Ученик: S _круга = pr².

Учитель: Чему равна площадь поверхности сферы?

Ученик: S_{поверхности сферы} = 4pr².

(Запись на доске и в тетрадях.)

Решение: S _круга = pr²; S_{поверхности сферы} = 4pr²; r =5 см.

Учитель: Что нам дано по условию задачи?

Ученик: S _круга = S_{поверхности сферы}.

(Запись на доске и в тетрадях.)

S_{поверхности сферы} = 100 p;

R² = 100 p; r = 10 см.

Ответ: r = 10 см.

4.     Подведение итогов урока.

Учитель: Итак, на сегодняшнем уроке мы с вами продолжали изучать тему «Сфера». Давайте еще раз повторим, что называется сферой?

Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Учитель: Чему равна площадь сферы?

Ученик: S=4 pR².

Учитель: Какое взаимное расположение имеют сфера и плоскость?

Ученик: Сфера и плоскость могут: 1) иметь одну общую точку; 2)не иметь общих точек; 3) могут пересекаться по окружности, т. е. сечение сферы и будет окружностью.

5.     Постановка домашнего задания: