Конспект урока по геометрии в 10 классе

ПИРАМИДА

КОНСПЕКТ  УРРОКА ПО ГЕОМЕТРИИ В 10 КЛАССЕ

Цели урока:

·        Обучающие:

Ввести понятие пирамиды, всех её элементов, площади полной поверхности;

Рассмотреть задачи,  связанные с пирамидой.

·        Развивающие:

Развивать образное и логическое мышление учащихся, внимание ,  математическую речь, навыки работы с объёмными фигурами;

·        Воспитывающие:

Воспитывать внимательное отношение учащихся друг к другу;

Прививать умение слушать товарищей;

Прививать интерес к математике.

Тип урока:

Изучение и первичное закрепление изученного материала.

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие.

Фиксация отсутствующих.

II. Объяснение нового материала.

Для того, чтобы узнать тему нашего урока, нужно отгадать шараду.

На весь мир обычно он гремел,

На нём каждый веселился, пил и ел.

Часть вторая – аббревиатура

Министерства иностранных дел.

Ну а, чтобы получить фигуру,

Две буквы «а» вписать сумей.

                                           (Пир-а-мид-а)

Объявление темы и целей урока.

III. Историческая справка

Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки  в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис»  в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь. В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. Самая известная из пирамид - это пирамида Хеопса Пирами́да Хео́пса (Хуфу) — крупнейшая из египетских пирамид, единственное из «Семи чудес света», сохранившееся до наших дней. Предполагается, что строительство, продолжавшееся двадцать лет, закончилось около 2540 года до н. э. Известны десятки египетских пирамид.

В архитектуре часто крыши домов построены в виде пирамид.

В современной архитектуре наиболее известная пирамида- это стеклянная пирамида Лувра. Пирамида, окруженная фонтанами и еще тремя пирамидами поменьше стала одновременно входом в музей и украшением площади перед зданием. За основу пирамиды была взята пирамида Хеопса. Египетский прототип позволил создать конструкцию, идеально вместившую в себя всевозможные магазинчики, галереи, кафе и помещения для персонала. По замыслу автора пирамида у Лувра была призвана соединить небо и землю.

С пирамидой можно встретиться и в литературе. Поэты пишут стихи в виде пирамиды – треугольника.

Вот как выглядит стих Валерия Брюсова “Пирамида-треугольник”.

Я

еле

качая

веревки,

в  синели

не различая

синих    тонов

и милой головки,

летаю в просторе

крылатый, как птица,

меж лиловых кустов !

Но в заманчивом взоре,

знаю блещет, алея, зарница!

И  я   счастлив   ею    без  слов!

Я видел картину. На этой картине

Стоит пирамиды в песчаной пустыне

Все в пирамиде необычайно

Какая-то есть в ней загадка и тайна.

О какой известной пирамиде идет речь в данном стихотворении (о пирамиде Хеопса).

Одним из важнейших видов многогранников являются пирамиды, с которыми вы уже неоднократно встречались. Ещё в детстве вы играли игрушечной пирамидкой. По истории знакомились с пирамидами Египта. Пирамиды используются в архитектуре. Так что же такое пирамида? Давайте дадим её определение. Рассмотрим многоугольник A₁A_2…A_n и точку P, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку Р A₁,A_,2…A_n. Получим n треугольников P A₁A₂, P A₂A₃,… P A_n A₁. Многогранник, составленный таким образом называется пирамидой.

Определение.

Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников, при этом n-угольник считают основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями.

Вершина пирамиды – общая вершина всех боковых граней.

Боковые рёбра – стороны боковых граней, не лежащие в основании пирамиды.

Обозначение: PA₁A₂…A_n - n-угольная пирамида.

Виды пирамид:

     Пирамиды классифицируются по числу сторон многоугольника, лежащего в их основании. Говорят о треугольной , четырехугольной и вообще n-угольной пирамидах. Чаще всего в задачах встречаются треугольные (тетраэдр) (рис. а),

 четырехугольные (рис. б) и

(совсем редко) шестиугольные (рис. в).

Заметим, что n-угольная пирамида имеет n+1 граней: n-боковых граней и основание. При вершине пирамиды мы имеем n-гранный угол с n-плоскими и n двугранными углами. Они соответственно называются плоскими углам при вершине и двугранными углами при боковых ребрах.

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

На рисунке 81 учебника изображены четырёхугольная и шестиугольная пирамиды (на рисунках показать основание пирамиды, вершину, боковые грани рёбра, высоту).

Определение.

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех её граней.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей её боковых граней.

S_полн. = S_бок. +S_осн.

Так как боковые грани пирамиды – треугольники, вспомним формулы для  вычисления площади треугольника (S = , S = ,
S = , S = , площадь равностороннего треугольника: S = , площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b: S = , формула Герона: S = , где p = )

IV. Закрепление изученного материала.

Решение задач: № 239, № 247 (а)

№ 239.

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см. А одна из его диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если высота её проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Дано:

PABCD – пирамида;

ABCD - ромб;

AB = 5 см, AC = 8 см;

H - точка пересечения диагоналей
 ромба;

PHABC;

PH = 7 см

Найти:

PA, PB, PC, PD.

Решение:

1) ΔPHA = ΔPHC по двум катетам (PH – общий, AH = CH по свойству диагоналей ромба). Значит, PA = PC

2) ΔPHA – прямоугольный. По теореме Пифагора PA² = PH² +AH²
AH = , AH = 4см, PA =  = см

3) ΔPBH = ΔPHD по двум катетам (PH – общий, BH = DH по свойству диагоналей ромба). Значит, PB = PD

4) ΔPBH – прямоугольный. По теореме Пифагора PB² = PH² +BH²

5) Из ΔABH (прямоугольный) по теореме Пифагора HB² = AB² -AH²
HB =  = 3 см

PB =  =  см

Ответ: PA = PC =см; PB = PD = см.

№ 247 а).

Двугранные углы при основании
 пирамиды DABC равны. Докажите,
что высота пирамиды проходит
через центр окружности, вписанной в основание.

Дано:

DABC – пирамида;

DBCA = DACB = DABC – двугранные ;

Доказать:

O - центр вписанной окружности

Доказательство:

1) двугранные углы при основании пирамиды измеряются линейными углами;

2) OMBC, DMBC, DMO - линейный угол двугранного угла DBCA,

OKAC, DKAC, DKO - линейный угол двугранного угла DACB,

OPAB, DPAB, DPO - линейный угол двугранного угла DABC;

3) ΔDMO = ΔDKO = ΔDPO по катету и противолежащему углу;

4) Из равенства треугольников следует OM = OK = OP. Значит точка O равноудалена от сторон ΔABC.

Вывод: O – центр окружности,  вписанной в основание.

V. Подведение итогов.

Оценить работу учащихся.

VI. Домашнее задание.

п. 32, № 243

№ 243.

Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого
AB = AC = 13 см, BC = 10 см,
ребро AD перпендикулярно плоскости
основания и равно 9 см. Найдите площади
боковых поверхностей пирамиды.

Дано:

DABC - пирамида;

 AB = AC =13 см, BC = 10 см;

ADABC, AD = 9 см;

Найти:

S_бок.

Решение:

1) S_бок = S_DAB +S_DAC +S_DBC, ΔDAB = DAC – прямоугольные (по условию AB = AC, DA – общая; S_DAB = 
S_DAB = см²;

2) DK – высота ΔDBC, S_DBC = , из ΔDAK по теореме Пифагора DK₂ = AK₂ +DA₂

3) Из ΔBAK по теореме Пифагора AK₂ = AB₂ -KB₂, KB =  = 5 см

4) AK =  = 12 см,
DK =  = 15 см
S_DBC =  = 75 см²

5) S_бок =  = 192 см²

Ответ: 192 см².