Конспект урока по информатике «Понятие высказывания и логические операции над высказываниями. Составление таблиц истинности»

Задания для самостоятельного решения

1.     Являются ли данные предложения высказываниями (суждениями)? Определите истинность высказываний.

- Москава – столица России.

- Все студенты математического факультета учатся на отлично.

- х >9, х Є Q.

- Луна вращается вокруг Земли.

- Ура, каникулы!!!

2.     Составьте  таблицы истинности для данных высказываний:

3.     Определите истинность формулы: F = ((С \/В) =>  В) /\ (А /\ В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

Подготовила: Гунченко Яна Александровна,

учитель математики и информатики

МОУ «Казинская СОШ»

Валуйского района Белгородской области

Тема: «Понятие высказывания и логические операции над высказываниями. Составление таблиц истинности»

Цели и задачи занятия:  (слайд 2)

Образовательные: познакомить обучающихся с краткой историей возникновения булевой алгебры, логическими операциями над высказываниями; научить составлять таблицы истинности;  способствовать развитию у учащихся логического мышления.

Развивающие: развивать внимание, память, речь, мыслительную деятельность учащихся, умения анализировать, обобщать и наблюдать, сравнивать, выделять главное, делать выводы.

Воспитательные: стимулировать познавательную деятельность учащихся, привить интерес к предмету. 

Ход занятия:

1.     Организационный момент

2.     Изложение нового материала

Историческая справка

В XVII веке великий немецкий учёный Лейбниц задумал создать свою новую логику, которая была бы «искусством исчисления». Он считал, что основные понятия должны быть обозначены символами, которые соединяются по определённым правилам, и это позволяет всякие рассуждения заменить вычислением.

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит математику Джорджу  Болю. (слайд 3)

Джордж Буль родился в Англии 2 ноября 1815 года. Всю свою жизнь он работал учителем математики и физики в школе. Из воспоминаний его учеников известно, какое огромное значение придавал Буль развитию творческих способностей учащихся. При изложении нового материала он стремился к тому, чтобы его ученики сами заново «открывали» некоторые формулы и законы.

Рассказывая ученикам о трудностях, с которыми ученые неизбежно сталкивались в поиске истины, учитель любил повторять одну восточную мудрость: даже персидский трон не может принести человеку столько наслаждений, как самое маленькое научное открытие. Буль никогда не терял надежды, что когда-нибудь и его ученики сделают настоящее открытие.

Диапазон научных интересов Буля был очень широк: в равной степени его интересовали математика и логика — наука о законах и формах мышления. В те времена логика считалась гуманитарной наукой, и многих, кто знал Джорджа Буля, удивляло, как в одном человеке могли уживаться точные методы познания, присущие математике, и чисто описательные методы логики.

Но ученому захотелось сделать науку о законах и формах мышления такой же строгой, как и любая из естественных наук, скажем математика и физика. Для этого Буль стал обозначать буквами не числа, как это делается в обычной алгебре, а высказывания и показал, что такими уравнениями, очень схожими с алгебраическими, можно решать вопросы об истинности и ложности высказываний, сделанных человеком. Так возникла алгебра Буля.

В наши дни алгебра логики стала важнейшей составной частью математики. Одна из ее задач — это решение всевозможных уравнений, числовые соотношения в которых заменены буквенными. Каждый из вас, наверное, на всю свою жизнь запомнил, как решать уравнения второй и третьей степени с буквенными коэффициентами. Так вот, Буль в своей новой алгебре воспользовался всеми этими формулами и правилами.

Новым в алгебре Буля является то, что элементы множества, которые в ней изучаются, являются не числами, а высказываниями. Если при решении обычных алгебраических уравнений определяется, какому числу равняется неизвестное X, школьная алгебра ищет ответ на вопрос: «Сколько?»

Алгебра логики ищет ответ на вопрос: «Верно ли то или другое высказывание, обозначенное буквой X?»

Смысл и содержание высказывания здесь не играют никакой роли. Каждое высказывание может быть только или истинным, или ложным. Оно не может быть наполовину истинным и наполовину ложным. В качестве примера можно вспомнить метание жребия при помощи монеты.

Там рассматриваются только два состояния монеты — орел или решка. По договоренности сторон орел это ДА, а решка это НЕТ. Никакие другие промежуточные положения в теории вероятностей не учитываются, хотя они и возможны. Подброшенная монета может упасть на ребро, докатиться по полу до ножки стула или стола и так и остаться в вертикальном положении, а то и вообще провалиться в широкую щель в полу. (По аналогии с электрическими схемами две последних ситуации можно рассматривать как неисправность в виде обгоревшего контакта). Но в те далекие времена булева алгебра, увы, широкого распространения не получила.

Вновь «открыл» алгебру Буля Клод Шеннон. (слайд 4) В 1938 году, будучи еще студентом Массачусетского технологического института и Америке, молодой Клод доказал, что алгебра Буля полностью подходит для анализа и синтеза релейных и переключательных схем. С помощью алгебры Буля можно очень просто составить электрическую схему автомата, работающего на реле.

Для этого, оказывается, нужно только точно знать, что должен делать автомат, то есть нужно иметь алгоритм его работы. Так была заложена основа теории цифровых машин, действующих по принципу ДА или НЕТ.

Понятие высказывания (суждения)

Высказывание (суждение) -  связное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. (слайд 5)

Примеры:

1.     «5 > 3» – истинное высказывание.

2.     «Сочи – столица России» - ложное высказывание.

3.     «Астрономия – интересный предмет». Данное предложение не является высказыванием, так как не имеет единого мнения о том, истинно это предложение или ложно.

4.     « y > 7, y Є Z». Предложение не является высказыванием из-за присутствия в нем переменной.

Выделяют общие и частные суждения.

Общие суждения выражают свойства групп объектов или явлений, а частные – конкретные (частные) факты.

Примеры:

1.     «Некоторые ученики - двоечники» - частное, истинное;

2.     «Любой квадрат является прямоугольником»- общее, истинное;

Логические операции и таблицы истинности

Логические операции - мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.

1) Логическое умножение или конъюнкция: (слайд 6)

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Таблица истинности для конъюнкции

х	у
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Пример.

x – «6 делится на 2», y – «6 делится на 3». Тогда  – «6 делится на 2»«6 делится на 3» истинно.

2) Логическое сложение или дизъюнкция: (слайд 7)

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
Таблица истинности для дизъюнкции

х	у	xy
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Пример.

x – «5>3», y – «2>4». Тогда xy – «5>3»«2>4» истинно, так как истинно высказывание x.

3) Логическое отрицание или инверсия: (слайд 8)

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии

х
1	0
0	1

4) Логическое следование или импликация: (слайд 9)

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. Тоесть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (х), а второе (у) является следствием.

Таблица истинности для импликации

х	у	x→y
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Пример.

1)     x – «12 делится на 6», y – «12 делится на 3». Тогда импликация x→y – «если 12 делится на 6, то оно делится на 3» истинна, так как истинна посылка x, и истинно заключение y.

2)     x – «12 делится на 2 и 3», y – «12 делится на 7». Тогда импликация x→y – «если 12 делится на 2 и 3, то оно делится на 7» ложна, так как условие истинно, а заключение ложно.

5) Логическая равнозначность или эквивалентность: (слайд 10)

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности

х	у	x↔y
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Пример.

x – «Треугольник ABC с вершиной A и основанием BC равнобедренный», y – «B=C». Эквиваленция x↔y – «Треугольник ABC с вершиной A и основанием BC равнобедренный тогда и только тогда, когда B=C.» Эквиваленция x↔y истинна, так как высказывания x и y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении (слайд 11)

1.Инверсия;
2.Конъюнкция;
3.Дизъюнкция;
4.Импликация;
5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

3.     Закрепление изученного

1. Определите, какие из перечисленных предложений являются суждениями и каково их значение истинности: (слайд 12)

1)    «Зеленая доска» - не суждение;

2)    «В настоящий момент все ученики 9 «А» присутствуют на уроке информатики и внимательно слушают» - суждение, ложное;

3)    «Вы сегодня готовы к уроку?» - не суждение;

4)    «Учиться хорошо может не каждый» - суждение, истинное;

5)    «Посмотрите на доску» - не суждение;

6)    «В конце любого урока звенит звонок» -  суждение, истинное;

7)    «3+5=9» -  суждение, ложное.

2. Определите, какие из суждений являются частными, а какие общими и каково их значение истинности: (слайд 13)

1)«Владивосток – столица Албании» - частное, ложное;

2) «У всех уличных  люков крышка  круглая, а не квадратная потому, что она не может соскользнуть в люк, если поставить ее на ребро» - общее, истинное;

3)« Для любого х, х²> 0» - общее, ложное;

4)«Все компьютеры в этом кабинете рабочие» - общее, ложное.

3.Построим таблицу истинности логического выражения:  . (слайд 14)

1)Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2 переменные: А и В.

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 2²=4.

2)Определяем количество столбцов. Это количество логических переменных плюс количество логических операций.

 В нашем случае количество переменных равно двум и количество логических операции двум, то есть количество столбцов таблицы истинности равно четырём.

3)Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.

A	B
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1

4. Построить таблицу истинности для высказывания:  (слайд 15)

1)Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2 переменные: А и В.

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 2²=4.

2)Определяем количество столбцов. Это количество логических переменных плюс количество логических операций.

 В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

3)Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.

Можно сначала выполнить логическое отрицание или найти значение сначала в первой скобке, затем инверсию и значение во второй скобке, затем значение между этими скобками.

A	B
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

          4.Подведение итогов занятия.

Обобщить пройденный материал, оценить работу активных учеников.

5.     Домашнее задание. (слайд 16)

Построить таблицу истинности для формулы:

Использованный источники:

1.     Д.А. Беликов, Е.В. Каминская «Информатика. Основы алгебры высказываний: Учебно-методический комплекс» / Томск: ТГУ, 2011

2.     Электрик инфо [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://electrik.info/main/fakty/229-buleva-algebra-chast-1-nemnogo-istorii.html (Дата обращения: 13.06.2015).

3.     С.В. Костенко, Т.А. Маничева, А.П. Филимонова  «Элементы математической логики с приложением: Учебно-методическое пособие» / Благовещенск: Амурский гос. ун-т, 2002.

4.     Информационно-образовательная среда СГЭУ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ios.sseu.ru/public/eresmat/metod/met6/parmet6_2.htm  (Дата обращения: 14.06.2015).

5.     Webmath.ru Образовательные онлайн сервисы [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.webmath.ru/poleznoe/tables_istinnosti.php   (Дата обращения: 14.06.2015).

• 1 слайд

  Powerpoint Templates
  «Понятие высказывания и логические операции над высказываниями. Составление таблиц истинности»
  

• 2 слайд

  Цели и задачи занятия:
   
  Образовательные: познакомить обучающихся с краткой историей возникновения булевой алгебры, логическими операциями над высказываниями; научить составлять таблицы истинности; способствовать развитию у учащихся логического мышления.
  Развивающие: развивать внимание, память, речь, мыслительную деятельность учащихся, умения анализировать, обобщать и наблюдать, сравнивать, выделять главное, делать выводы.
  Воспитательные: стимулировать познавательную деятельность учащихся, привить интерес к предмету. 
  

• 3 слайд

  Джордж Буль
  

• 4 слайд

  Клод Шеннон
  

• 5 слайд

  Высказывание (суждение) - связное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно
  

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

• 10 слайд

• 11 слайд

  ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ
  
  ОПЕРАЦИЙ
  
  Инверсия (отрицание)
  
  Конъюнкция
  
  Дизъюнкция
  
  Импликация
  
  Эквивалентность
  
  

• 12 слайд

  Определите, какие из перечисленных предложений являются суждениями и каково их значение истинности:
  
  1)«Зеленая доска»
  2)«В настоящий момент все ученики 9 «А» присутствуют на уроке информатики и внимательно слушают
  3)«Вы сегодня готовы к уроку?»
  4)«Учиться хорошо может не каждый»
  5)«Посмотрите на доску»
  6)«В конце любого урока звенит звонок»
  7)«3+5=9»
  
  

• 13 слайд

  Определите, какие из суждений являются частными, а какие общими и каково их значение истинности:
  
  1)«Владивосток – столица Албании»
  2) «У всех уличных люков крышка круглая, а не квадратная потому, что она не может соскользнуть в люк, если поставить ее на ребро»
  3)« Для любого х, х2> 0»
  4)«Все компьютеры в этом кабинете рабочие»
  
  

• 14 слайд

  Построим таблицу истинности логического выражения: .
  

• 15 слайд

  Построить таблицу истинности для высказывания:
  

• 16 слайд

  Домашнее задание:
  построить таблицу истинности для формулы: