Конспект урока по информатике "Разные методы решения логичеких задач" (8 класс)

Конспект урока.  8 класс

Тема: « Разные методы решения  логических задач». 

Цель:   Повторение и закрепление понятий и логических операций алгебры логики, умение решать логические задачи, используя  математический аппарат алгебры логики. 

Тип урока: обобщение и систематизация знаний, изучение нового материала.

Наглядные пособия:

• плакат  «Логические операции в Алгебре логики»;
• карточки задания с логическими задачами;
• задания  на интерактивной доске;
• раздаточный материал «Тексты задач»,

                                             «Алгоритмы решения логических задач».

  Ход урока:  

     Повторение: 

                       1) Запишите на языке алгебры логики выражение:

                           « Я приду домой  и если успею сделать уроки, то пойду с друзьями на каток».     

                       2) Даны два высказывания:

                                       А=  «Это утро ясное»

                                       В = «Это утро тёплое»

              Выразите следующие формулы на обычном языке:

                    А*В        А+В    ⌐А*(⌐В)

                    ⌐А*В        ⌐А+(⌐В )   А→  В

                    А*(⌐В)        ⌐(А+В)

                        3)Постройте булево выражение по логической схеме:

                         

                       4) Постройте таблицу истинности логическую схему

                                                                                                                   __

               высказывания, которое описывается формулой  F= (A+B)*C

                          5) Вычислить значение логической функции

             f(x₁ , x₂ , x₃ )=not x₁(x₂ or x₃  and not x₁ ) при заданных значениях

             аргументов:    х₁ =0, х₂ =1, х₃=0.

              Not x₁= not 0=1

              X₃ and not x₁ =  0 and 1= 0

              X₂  or 0 = 1 or 0 = 1

               1 and 1 = 1

                        9) Изобразить с помощью кругов Эйлера-Венна функцию

             (А*В)*(⌐С)                     

                                                   

                            Объяснение нового материала.

   Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения           тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие четыре способа решения задач:

·         средствами алгебры логики;

·         табличный;

·         с помощью кругов Эйлера-Венна;

·         с помощью рассуждений.

Познакомимся с ними поочерёдно.

 РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.

           Обычно используется следующий

                                                    алгоритм решения логических задач:

1)      внимательно изучить условие;

2)      выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами;

3)      записать условие задачи на языке алгебры логики;

4)      составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение единице;

5)      упростить формулу, проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значение переменных, для которых F=1, проанализировать результаты.

  Виктор, Леонид, Роман и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они ответили так:

    А) Сергей - первый, Роман - второй;

    Б)  Сергей – второй, Виктор – третий;

    В)  Леонид – второй, Виктор – четвёртый.

    Известно, что в каждом только одно утверждение верно. Как  распределились места?         

   1)Внимательно изучим условие.

 2)Выделим и введём обозначения для простых высказываний:

                        С1 - Сергей первый    Р2 –Роман второй

                        С2 – Сергей второй   В3 – Виктор третий    

                        Л2 – Леонид второй  В4 – Виктор четвёртый

3)Запишем условие на языке алгебры логики:

                          С1*(⌐Р2)+(⌐С1)*Р2=1

                          С2*(⌐В3)+(⌐С2)*В3=1

                          Л2*(⌐В4)+(⌐Л2)*В4=1

Также  неявно присутствует условия:

        С1*С2=0 

        Р2*С2=0

        ⌐С1= С2+С3+С4

   4)Составим конечную формулу, для этого объединим логическим          умножением формулы каждого утверждения и приравняем  произведение единице:

  ( С1*(⌐Р2)+(⌐С1)*Р2)* (С2*(⌐В3)+(⌐С2)*В3)*(Л2*(⌐В4)+(⌐Л2)*В4)=1

  Упростим формулу:

   (С1*(⌐Р2)*С2*(⌐В3)+С1*(⌐Р2)*(⌐С2)*В3+С1*Р2*С2*(⌐В3)+С1*Р2*(⌐С2)*В3)*

(Л2*(⌐В4)+(⌐Л2)*В4)= ( С1*Р4*В3+С4*Р2*В3)*(Л2*(⌐В4)+(⌐Л2)*В4)=

 С1*Р4*В3*Л2*(⌐В4)+ С1*Р4*В3*(⌐Л2)*В4+ С4*Р2*В3*Л2*(⌐В4)+С4*Р2*В3*(⌐Л2)*В4=

С1*Р4*В3*Л2*(⌐В4)=1

С1*Р4*В3*Л2=1, логическое произведение равно 1 если все множители равны 1 .

Таким образом:    Сергей – первый;

                               Леонид – второй;

                               Виктор  - третий;

                               Роман – четвёртый.    

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТАБЛИЧНЫМ СПОСОБОМ.

При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что:

1. Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;
2. парижанка не снимается в кино;
3. та, кто живет в Риме, певица;
4. Линда равнодушна к балету.

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание:

Париж	Рим	Чикаго		Пение	Балет	Кино
0			Джуди
			Айрис
	0		Линда		0

Далее рассуждаем следующим образом. Так как Линда живет не в Риме, то, согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Линда" и столбцу "Пение", ставим 0.

Из таблицы сразу видно, что Линда киноактриса, а Джуди и Айрис не снимаются в кино.

Париж	Рим	Чикаго		Пение	Балет	Кино
0			Джуди			0
			Айрис			0
	0		Линда	0	0	1

Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Линда живет не в Париже. Но она живет и не в Риме. Следовательно, Линда живет в Чикаго. Так как Линда и Джуди живут не в Париже, там живет Айрис. Джуди живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Линда киноактриса, то Айрис балерина.

В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу:

Париж	Рим	Чикаго		Пение	Балет	Кино
0	0	1	Джуди	1	0	0
1	0	0	Айрис	0	1	0
0	0	1	Линда	0	0	1

Ответ. Айрис балерина. Она живет в Париже.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ  ЭЙЛЕРА.

В классе  36 человек. Учащиеся посещают математический, физический и химический кружки, причём математический кружок посещают 18 человек, физический – 14 человек, химический – 10 человек. Кроме того, известно, что все три кружка посещают 2 человека, математический и физический- 8 человек, математический и химический – 5, химический и физический -3.

Сколько учеников класса  не посещают кружков?

Для решения такого рода задач очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера, названных так в честь знаменитого математика Леонарда Эйлера. 

На рисунке большой круг изображает множество всех учеников класса. Внутри этого круга расположены три пересекающихся круга меньшего диаметра: эти круги изображают соответственно множества членов математического, физического и химического кружков. Для ясности эти круги обозначены буквами М, Х, Ф.

Общей части всех трёх кругов  соответствует множество ребят, посещающих все три кружка, поэтому она обозначена МФХ.

Х

Ф

М

Таким образом,  8 человек не посещают ни одного кружка.  

РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАССУЖДЕНИЯ.

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

1. Вадим изучает китайский;
2. Сергей не изучает китайский;
3. Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Закрепление материала: Решение  логических задач по карточкам.

Выставление оценок.

Подведение итогов.

Домашнее задание:  в рабочей тетради  №43,45,49,55.

Раздаточный материал:

№1  Тексты задач.

1.       Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической  олимпиаде четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они ответили так:

    А) Сергей - первый, а Роман - второй;

    Б)  Сергей – второй, а Виктор – третий;

    В)  Леонид – второй, а Виктор – четвёртый.

    Известно, что в каждом ответе только одно утверждение верно. Как распределились места?         

 2. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что:

           Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;

      Парижанка не снимается в кино;

      Та, кто живет в Риме, певица;

      Линда равнодушна к балету.

                                    Где живет Айрис, и какова ее профессия?

    3. В классе  36 человек. Учащиеся посещают математический, физический и химический кружки, причём математический кружок посещают 18 человек, физический – 14 человек, химический – 10 человек. Кроме того, известно, что все три кружка посещают 2 человека, математический и физический- 8 человек, математический и химический – 5, химический и физический -3.

                           Сколько учеников класса  не посещают кружков?

       4. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

№2  Алгоритмы.

Построение таблиц истинности по булеву выражению:

      1) определить число переменных;

      2) определить число строк в таблице истинности;

      3) записать все возможные значения переменных;

      4) определить количество логических операций и их порядка;

      5) записать логически операции в таблицу истинности и определить для  каждой значение;

      6) подчеркнуть значение переменных, для которых F=1.

Построение логических схем по булеву выражению:

1)      определить число переменных;

2)      определить количество логических операций и их порядок;

3)      построить для каждой логической операции свою схему ( если это возможно);

4)      объединить в логическую схему в порядке выполнения логических операций.

     Получение булева выражения по таблице истинности:

1)      выбрать значения переменных, для которых значение функции равно 1;

2)      записать логическое умножение всех переменных для каждой строки, где F=1 (если значение переменной равно 0, то берётся её отрицание);

3)      логически сложить полученные выражения;

4)      упростить полученное выражение.

 Алгоритм решения логических задач:

  1)  внимательно изучить условие;

  2)выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами;

     3)записать условие задачи на языке алгебры логики;

4)составить конечную формулу, для этого объединить логическим    умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение единице;

     5)упростить формулу, проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значение переменных, для которых F=1, проанализировать результаты.

Результативность:  В ходе урока учащиеся повторили основные понятия и операции алгебры логики, научились решать логические задачи, используя математический аппарат алгебры логики.