Конспект урока по математике 1 курс спо

Тема урока: "Свойства логарифмов".

Цели урока:

·                     Студенты  должны:

o             знать и уметь записывать определение логарифма, основного логарифмического тождества;

o             уметь применять определение логарифма и основное логарифмическое тождество при решении упражнений;

o             познакомиться со свойствами логарифмов;

o             научиться различать свойства логарифмов по их записи;

o             научиться применять свойства логарифмов при решении заданий;

o             закрепить вычислительные навыки;

o             продолжить работу над математической речью.

Базовые знания:

·                     свойства степени с действительным показателем;

·                     определение логарифма, виды логарифмов;

·                     основное логарифмическое тождество.

Методы работы:

·                     проблемный;

·                     частично-поисковый.

Виды работ:

·                     индивидуальная;

·                     коллективная;

·                     индивидуально-коллективная;

·                     фронтальная.

 ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Составление опорного конспекта. (10 минут)

Преподаватель:

– Сформулируйте и запишите свойства степени с действительным показателем, связанные знаком равенства.
– Сформулируйте определение логарифма и выполните соответствующую запись.
– Какие виды логарифмов существуют? Выполните их запись.
– Запишите основное логарифмическое тождество .

При ответе студентов оформляется конспект на доске.

am . ak = am+k, a > 0; m  R, k  R. am : ak = am–k, a > 0; m  R, k  R. (am)k = amk = (ak)m, a > 0; m  R, k  R. a–m = , a > 0, m  R. (ab)m = am  bm, a > 0, b > 0, m  R.  = , a > 0, b > 0, m  R.	log a b = m  am = b, где b > 0, a > 0, a  1.
	log 10 b = lg b; b > 0. log e c = ln c; c > 0.
	alog ab = b, a > 0, a  1, b > 0.

II. Ситуация успеха

1.

№ 4.

ж) log ₁₀ 100 = 2, т.к. 10² = 100 (определение логарифма и свойства степени),
з) log ₅ 5³ = 3, т.к. 5³ = 5³ (…),
е) log ₄  = –1, т.к. 4^–1 =  (…).

№ 5.

е) (3²)^{log 3 7} = (7^{log 7 3})² = 7² = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени),
ж) 7 ^{2 log 7 3} = (7 ^{log 7 3})² = 3² = 9 (…),
з) 10 ^{3 log 10 5} = (10 ^{log 10 5})³ = 5³ = 125 (…), 
и) 0,1 ^{2 log 0,1 10} = (0,1 ^{log 0,1 10})² = 10² = 100 (…).

2. Решение упражнений устно, без комментария (3 минуты).

№ 7.

а) logee; б) logee2; в) loge;

г) ln e; д) ln e3; е) ln;

№ 8.

а) log1010; б) log10100; в) log100,1;

г) lg 10; д) lg 100; е) lg 0,01;

Вопросы к студентам:

1.            Что применяли при вычислении заданий № 7 и № 8? (Определение логарифма, свойства степеней)

2.            Чем отличаются задания а) и г) в №7 и задания б) и д) в № 8? (Разной формой записи натурального и десятичного логарифмов)

3. Самостоятельная работа.

а) выполните задания № 9 с фиксацией ответов в тетради и на листочке (под копировальную бумагу). По окончании работы листочки – “копии” сдаются преподавателю (3 минуты).

№ 9.

а) log223; б) log557; в) log991999;

г) 2; д) 3; е) 5;

ж) eln 3; з) e2ln 5; и) e–2ln3;

к) 10lg 3; л) 102lg 3; м) 10–3lg 2.

б)

Ответы и критерий оценки записаны :

а) 3, б) 7, в) 1999,

г) 5, д) 90, е) ,

ж) 3, з) 25, и) ,

к) 3, л) 9, м) .

·                     12 верных ответов – “5”,

·                     10 – 11 верных ответов – “4”,

·                     8 – 9 верных ответов – “3”.

в) Какие задания вызвали затруднения? (2 минуты). При необходимости выполнить разбор заданий, вызвавших затруднения.

III. Постановка учебной задачи

Преподаватель: Вы замечательно справились с заданиями, а теперь вычислите следующие задания, записанные на доске:

а) log ₁₅3 + log ₁₅5 = …,
б) log ₁₅45 – log ₁₅3 = …,
в) log ₄8 =…,
г) 7 = … .

1. Работа в группах (оформление основных идей на рабочих листах, 5–7 минут). В это время преподаватель проверяет самостоятельную работу студентов.

2. Защита “своих” работ (вывешивают рабочие листы на магнитную доску и один или группа студентов обосновывают полученные решения (возможны варианты, 10 минут).

3. Преподаватель: А как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмами?
Если у студентов возникают затруднения, то вернуться к опорному конспекту с вопросом: “Чтобы выполнять действия со степенями, что надо знать?” (Ответ: “Свойства степени”). Ещё раз задать первоначальный вопрос. (Свойства логарифмов)
Итак, запишем тему занятия (формулируют несколько студентов): “Свойства логарифмов”.

4. Постановка учебной задачи (формулируют студенты). Запись в тетрадях. (2 минуты):

·                     познакомиться со свойствами логарифмов;

·                     научиться различать свойства логарифмов по их записи;

·                     научиться применять свойства логарифмов при решении заданий.

5. Преподаватель: Перед вами таблица со свойствами логарифмов. Надо дать название каждому свойству и правильно сформулировать их”. 
(Таблица 1 со свойствами логарифмов на листе ватмана вывешивается на магнитную доску и при ответе студентов карточки с названиями “вставляются” напротив каждого свойства). По окончании заполнения таблицы каждому студенту раздаются аналогичные листы (Таблица 2 формат А4).

6. Выполним вычисления заданий, записанных на доске, используя свойства логарифмов (запись на доске выполняют учащиеся, 2–3 минуты, а затем запись в тетрадях).

а) log ₁₅3 + log ₁₅5 = log ₁₅(3 · 5) = log ₁₅15 =1,
б) log ₁₅45 – log ₁₅3 = log ₁₅ = log ₁₅15 = 1, 
в) log ₄8 = log2³ = · log ₂2 = 1,5,
г) 7 = 7 ^{2 log 7 2} = (7 ^{log 7 2})² =2² =4.

IV. Решение задач на распознавание свойств логарифмов (15 минут)

Преподаватель: Выяснить, какие свойства логарифмов используются при вычислении заданий № 274, 279,280, 290, 293, 298 (1) (номера выписываются на доску). Решить по одному столбцу в каждом задании устно или письменно (15 минут).

V. Итог урока (5 минут)

·                     Какую тему мы сегодня рассмотрели?

·                     Какая учебная задача была поставлена?

·                     С какими свойствами логарифмов вы познакомились? Перечислите их.

VI. Домашнее задание 296, 298 (2.3.4)
В таблице заполнить доказательства свойств логарифмов.

Таблица 1.

№	Название свойства логарифмов	Свойства логарифмов
1.		log a1 = 0, a > 0, a  1.
2.		log aa = 1, a > 0, a  1.
3.		log a(xy) = log ax + log ay, a > 0, a  1, x > 0, y > 0.
4.		log a  = log ax - log ay, a > 0, a  1, x > 0, y > 0.
5.		log axa = a log ax, x > 0, a > 0, a  1,   R.
	Замечание.	log ax2k = 2k log a  |x| , a > 0, a  1, k  N , x  R, x  0.
6.		log aa x =  log ax, a > 0,  a  1, x > 0,   R,   0 .
	Замечание:	1. log a2kx =  log  |a| x, a  0, a  1, x> 0, k  N. 2. log ab x a =  log ax, a > 0, a  1,   R,   R,   0 , x > 0.
7.		log ab = , a > 0, a  1, c > 0, c  1, b > 0.
	Замечание.	log ab = , a > 0, a  1, b > 0, b  1.

Таблица 2.

№	Название свойства логарифмов	Свойства логарифмов	Доказательство свойств логарифмов
1.	Логарифм единицы.	log a1 = 0, a > 0, a  1.
2.	Логарифм основания.	log aa = 1, a > 0, a  1.
3.	Логарифм произведения.	log a(xy) = log ax + logay, a > 0, a  1, x > 0, y > 0.
4.	Логарифм дроби.	log a  = log ax – logay, a > 0, a ? 1, x > 0, y > 0.
5.	Логарифм степени.	log ax =  log ax, x > 0, a > 0, a  1,   R.
	Замечание.	log ax2k = 2k log a  |x| ,  a > 0, a  1, k N , x  R,  x  0.
6.	Логарифм выражения по основанию, которое является степенью.	log a x =  log ax, a > 0,  a  1, x > 0,   R,   0 .
7.	Переход к новому основанию.	log ab = , a > 0,  a  1, c > 0, c  1, b > 0.