Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по математике методы решения иррациональных уравнений

Конспект урока по математике методы решения иррациональных уравнений

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов



Тема урока: “Методы решения иррациональных уравнений”.

(Урок-лекция рассчитан на два академических часа)


Цели урока:

  1. Расширить представления учащихся о методах решения иррациональных уравнений.

  2. Продолжить работу по формированию у учащихся умений решать иррациональные уравнения.

  3. Развивать логику, учить рассуждать последовательно, доказательно, не теряя из виду ни одного момента.


На стенде “Вести с урока” - перечень методов решения, текст самостоятельной работы и примеры решения иррациональных уравнений.

Попробуйте без алгебры прожить,

Без логарифмов и без уравнений,

Поверьте мне, будете потом тужить,

Здесь никаких не может быть сомнений.

  1. Сообщение темы и цели урока.

Сегодня на уроке мы рассмотрим различные методы решения иррациональных уравнений.

Определение: уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется иррациональным.

Например: Даны уравнения. Какое из них иррациональное?

hello_html_19045f11.gif=2, hello_html_md5bbeb8.gif=3, hello_html_22ab3ef6.gif, hello_html_19bb0e33.gif, hello_html_m42332821.gif

  1. Повторение.

Вспомните понятие корня n–ой степени: (корнем –ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а), т.е. hello_html_m23a03807.gif=b, где hello_html_m71343065.gif, b-всякое.

Все предыдущие операции-действия обладали одним свойством – они были однозначны (9+2; 7-2; 9*2; 27/3). А вот извлекая hello_html_2b83cb07.gif, мы увидели, что эта операция неоднозначна; как же ее обозначить? Ответ приводит к понятию арифметического корня. В некоторых старых русских учебниках применялся специальный символ hello_html_7ef8afe5.gifарифметический знак корня.

Введение арифметического корня автоматически приводит к появлению еще одного понятия «модуль числа». Действительно, чему равен hello_html_1ed88c6d.gif?

Если hello_html_m59e26431.gif то hello_html_m4e96e9fe.gif; если hello_html_e1c33a8.gif<0, то hello_html_m72686fc6.gif.

А если же нам ничего неизвестно о знаке, например, √ sin2x , мы вынуждены придумать новое понятие “модуль числа”: hello_html_146b2812.gif

Запишите:

Попытка обозначить операцию hello_html_2b56dc21.gif, т.е. сделать ее такой же, как все операции, рассматриваемые в курсе алгебры ранее, привело не только к понятию «арифметического знака корня», но и к понятию «модуль».

hello_html_m6273c33a.gif

  1. Свойства корней.

Отметим важные свойства корней, которые необходимо помнить при решении иррациональных уравнений:

-Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла.

-Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения.

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Рассмотрим несколько уравнений (устно, по заранее подготовленным записям):

  1. hello_html_m48d9764b.gif

Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.

  1. hello_html_m26b505f9.gif

При hello_html_m1e5c6442.gif величина hello_html_m49244596.gif неотрицательна, а величина hello_html_b8ff92e.gif положительна. Следовательно, их сумма всегда больше 0. Поэтому уравнение решений не имеет.

  1. hello_html_7a1555b1.gif

Найдем область допустимых значений для левой части уравнения.

hello_html_m4e3b90c0.gifhello_html_m5ba7d9b0.gifhello_html_5f55de51.gif

Левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного hello_html_347c04f0.gif. Т.о. вопрос о решении этого уравнения снимается - ведь нельзя даже осуществить операцию сложения в левой части, т.е. не существует сама сумма hello_html_mf66d5c0.gif. Каков же вывод?

Данное уравнение заведомо не может иметь решений, т.к. левая часть этого уравнения не существует ни при одном значении неизвестного hello_html_347c04f0.gif.

Нельзя ставить вопрос о том, при каких значениях hello_html_347c04f0.gif некоторое алгебраическое выражение равно определенному числу (больше или меньше некоторого числа), если это выражение не существует.

Из того факта, что алгебраическое выражение написано, не следует, что оно существует. Строго говоря, следует выяснить, существует ли оно, и если существует, то где, и лишь после этого решать поставленную задачу: решить уравнение (неравенство), строить график и т.д.

Еще раз подчеркнем, что это уравнение заведомо не может иметь решений.

Ответ: данное уравнение заведомо не может иметь решения.

  1. hello_html_8fffec7.gif

Левая часть уравнения есть разность двух корней, при этом при любых значениях hello_html_347c04f0.gifhello_html_347c04f0.gif-3<hello_html_347c04f0.gif+9, следовательно, эта разность всегда отрицательна и не может быть равна неотрицательному значению корня hello_html_5620d0d1.gif. Значит, это уравнение не имеет решения.

Запись: hello_html_44520f3d.gif. Если hello_html_m4c7f5c8c.gif, уравнение не имеет корней,

если hello_html_m3a713539.gif, то уравнение равносильно уравнению hello_html_39add5e0.gif.

Этот метод называется метод освобождения от знака радикала.


  1. Методы решения иррациональных уравнения.

Метод приведения уравнения к простейшему виду путем возведения обеих частей уравнения в такую степень, чтобы освободиться от корня (радикала).

  1. hello_html_m69a6a47f.gifпроверка:

hello_html_2435eeec.gifhello_html_m46726c3b.gifhello_html_m290dbc11.gif

hello_html_m2224308.gif11-8=3,

hello_html_c5aaa70.gif, hello_html_m4ade24ed.gifhello_html_5a7e8009.gif 11-корень

hello_html_1615a10a.gifhello_html_m6b5d7262.gif

6-8=-2, 6-не корень.

Ответ: 11.


  1. hello_html_m4476f902.gifпроверка:

hello_html_5a29e7e4.gifhello_html_m2f3f5322.gifhello_html_33aaf69b.gif-3= -3.

hello_html_1a750295.gifhello_html_m156e276b.gifhello_html_m2213fe0a.gif2=2.

hello_html_m72625bfe.gif

Ответ: -2, 3.




  1. hello_html_7425edbd.gifhello_html_m6eb249dc.gif

hello_html_17d0afd6.gifпусть hello_html_fe5a4e2.gif тогда

hello_html_m1b57dcfd.gifhello_html_3b80c15e.gifhello_html_m176a10d5.gifhello_html_m6b52d466.gifили hello_html_1986dcd8.gif

Ответ: 3, 4.


Вывод: при возведении обеих частей уравнения в четную степень не может происходить потери корней (могут быть получены посторонние корни). Следовательно, решая уравнения достаточно найти все корни уравнения hello_html_36231c7b.gif а затем исключить посторонние. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.


Как правило, иррациональные уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства:

hello_html_m6101b418.gif

Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.

hello_html_m38ed9df.gif

Ответ: -1.


Метод уединения корня.

  1. hello_html_11481159.gif

Удобно ли проводить проверку, если корни дробные или иррациональные числа? Нет. Тогда, как же лучше поступить в таком случае?

Запись: hello_html_m72d5bc85.gif

Решение.

hello_html_m33c98233.gif

Ответ: 0.



  1. hello_html_mbd4ca52.gifhello_html_m53d4ecad.gif

В этом уравнении лучше сначала найти область допустимых значений, т.к. подкоренные выражения просты для решения.

Ответ: 5, 17.




Метод введения новой переменной (метод подстановки).

  1. hello_html_m6ebd5702.gif

пусть hello_html_41d9e025.gif, тогда hello_html_m1f01385.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3dd31637.gifhello_html_m556543d3.gif

hello_html_m2b23c6c9.gif

Ответ: hello_html_m464c2b87.gif


  1. Пусть hello_html_5c394d02.gif

hello_html_m1a83bd32.gif

hello_html_m1e613228.gifтогда hello_html_31e202f3.gif

Ответ: hello_html_3cc34bc2.gif.


  1. hello_html_b79e184.gif

пусть hello_html_m76bf0f0e.gif тогда hello_html_4228d723.gif

Ответ: 3.


  1. hello_html_7cf2c47b.gif

пусть hello_html_12003f89.gif

hello_html_m564be211.gifhello_html_m53d4ecad.gifтогда hello_html_674bc45b.gif

Ответ: -4,5; 2.



Метод умножения обеих частей на сопряженное выражение.

В некоторых иррациональных уравнениях разность подкоренных выражений в одной части совпадает с другой частью или является множителем ее. В этом случае целесообразно использовать данный метод.

  1. hello_html_m2fe23ba5.gif, (1).

hello_html_b9ac7b1.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_b3e8687.gifhello_html_m53d4ecad.gif(2)

Сложим (1) и (2) и получим

hello_html_3e1a6a93.gif

Ответ: -4,5; 2.


  1. hello_html_m1a020e47.gif

ОДЗ. hello_html_738962ab.gif

Умножим обе части на выражение hello_html_46157062.gif, тогда

hello_html_16facc03.gif

hello_html_m6c6666c4.gifили hello_html_460b60b2.gif

hello_html_6ee5d68b.gif

Проверка:

hello_html_61de05ce.gifhello_html_159a6e62.gif- неверное равенство,

  1. посторонний корень.

hello_html_6d3559d9.gifhello_html_38a9a073.gif- верное равенство.

Ответ: -1.




Метод разложения на множители.

  1. hello_html_m436b6ab2.gifhello_html_6df5af71.gif

hello_html_m70d4ba3b.gif

Ответ: 1, 3.


  1. hello_html_45683a51.gif

hello_html_6751a6cb.gif

hello_html_m5bfad059.gif

Ответ: hello_html_md6fcec8.gif 5.


Применение группировки.

  1. hello_html_m6d82d669.gifhello_html_m3e9d3b17.gif

hello_html_d91385.gif

Ответ: 1, 4.






Метод выделения полного квадрата.

hello_html_10259f30.gif

hello_html_5bfad04.gifтогда hello_html_2f394270.gif.


_hello_html_m60caae6.gifhello_html_m60caae6.gifhello_html_m60caae6.gif________________________________________

0 2 3





hello_html_3ce8fb71.gifhello_html_m7847bcd4.gifhello_html_m6dfe6522.gif

hello_html_7ce107c5.gifhello_html_7da30632.gifhello_html_8591b6d.gif

решений нет. hello_html_518da6fb.gifhello_html_5f55de51.gif

решения системы




Осуществим подстановку hello_html_518da6fb.gif.

hello_html_m1b34ce6f.gif

Ответ: hello_html_2836c585.gif


hello_html_m2e7bde5f.gif

hello_html_m15dba99e.gif

Ответ: hello_html_49e6169a.gif


Метод оценки.

И наступят тяжелые времена

И будет неизвестная Величина

О, ее спаситель, за дело возьмись,

С этим уравнением разберись!


hello_html_m74bddb63.gif

Преобразуем данное уравнение.

hello_html_m1421fb0.gif

Оценим левую и правую части этого уравнения:

hello_html_6291678f.gif(1).

hello_html_1eead312.gif(2),

Сложим почленно равенства (1) и (2)

hello_html_6f20e3eb.gif

hello_html_m126c2175.gif

Таким образом, левая часть данного уравнения не меньше 5, а правая не более 5.Равенство достигается только в том случае, если каждая часть исходного уравнения равна 5. Это возможно в том случае, если hello_html_2494be09.gif.

Ответ: -1.



Метод использования свойств функций, входящих в уравнение.

Метод обращения к монотонности функции чаще всего применяется в двух случаях.

Во-первых, тогда, когда данное уравнение имеет в одной части функцию возрастающую, а в другой - постоянную. Такое уравнение не может иметь более одного действительного корня.

Например: (устно), hello_html_6e476e4e.gif

Найдем область допустимых значений (или область существования уравнения). Итак, левая часть уравнения существует для любого hello_html_m1f84da81.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Давайте внимательно посмотрим на левую часть. Выражение hello_html_m5eadac7.gif

Представляет сумму двух монотонно возрастающих функций – функцию монотонно возрастающую.

Для hello_html_m63d9155e.gif эта функция будет принимать наименьшее значение при hello_html_m2d20bab4.gif, т.е. hello_html_m52e01a7d.gif а далее только возрастать, поэтому график функции hello_html_m6ad18543.gif никогда не пересечет прямую hello_html_m77084a88.gif, следовательно, уравнение не будет иметь решений.


Заметим, что при решении этого уравнения мы учитывали не только область допустимых значений переменной hello_html_347c04f0.gif, но и область значений функции hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6e22d509.gif

Во-вторых, тогда, когда одна часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, а другая – убывающую. Графики таких функций не могут иметь более одной общей точки. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня.

Решить уравнение hello_html_m5949d6b8.gif

Решим уравнение, используя свойства монотонности функций.

Предположим, что hello_html_m1f6ce6b8.gif корень уравнения. Подставив его, мы получим верное

равенство hello_html_323f76e6.gif.

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Функция hello_html_me391791.gif определена и дифференцируема на R. Исследуем ее на монотонность: hello_html_m39249f11.gif. Найдем критические точки функции, решив уравнение hello_html_m1f4a689c.gif. Пусть hello_html_44e3d63a.gif тогда hello_html_m63c89cc9.gif, D<0,

Значит, уравнение действительно корней не имеет; поэтому hello_html_m137f5ce2.gif при любых значениях hello_html_m5547f17b.gif и hello_html_mb030ace.gif строго возрастает на R.

Рассмотрим функцию hello_html_7a2293e6.gif Она определена на R и дифференцируема на R, кроме hello_html_m20c566a5.gifhello_html_m6a2273af.gif так как hello_html_3c62e74f.gif то hello_html_m49cc6562.gif при hello_html_6d35c8f.gif

hello_html_m74c6cf06.gifстрого убывает на R.

Поскольку функция hello_html_m74c6cf06.gifубывает, а hello_html_mb030ace.gif- возрастает на R, то уравнение hello_html_m59dd9cf5.gifhello_html_m53d4ecad.gifимеет не больше одного корня, т.е. hello_html_m6954ffaf.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: 2.




При наличии времени классу предлагается решить иррациональные уравнения, содержащие корни степени выше второй, разные:

hello_html_5b2d607d.gifответ: 0; hello_html_m72eb69fd.gif.

hello_html_3e75d3dd.gifответ: 1; 2; 10.

Данные уравнения, предложены учащимся для самостоятельной работы.


В конце урока проведена самостоятельная работа, текст которой учитель может подобрать, учитывая индивидуальные особенности детей.




Подведение итогов урока.

Учитель еще раз обращает внимание на методы решения, которые были использованы при решении иррациональных уравнений. После этого подводится общий итог.



Задание на дом.

Подобрать из разных источников иррациональные уравнения, решаемые различными методами.


hello_html_m53d4ecad.gif

10


Общая информация

Номер материала: ДВ-344080

Похожие материалы