Конспект урока по математике на тему "Методы решения иррациональных уравнений" (11 класс)

                     Методы решения иррациональных уравнений.11 класс.

Цели:

• Образовательная - познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
• Развивающая - способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.
• Воспитательная - содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство ответственности, самоконтроля.

Задачи урока:

1.      Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;

2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать  умение выбирать рациональные пути решения;
3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;
5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

Тип урока: комбинированный

Методы обучения:

• Информационно - иллюстративный;
• репродуктивный;
• проблемный диалог;
• частично-поисковый;
• системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

• Фронтальная,
• групповая,
• самопроверка,
• взаимопроверка,
• коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

                                          План урока:

        I.            Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

     II.            Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.

  III.            Изучение нового материала.

4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
6. Задание на дом.

                                          Конспект урока.

        I.            Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

     II.            Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

·         определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

                 Назовите иррациональные уравнения:

           

·         что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит  найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

·         Основные методы решения иррациональных уравнений. 

1.      Уединение радикала. Возведение в степень.

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

1)      использование равносильных преобразований

для уравнения вида

                         

для уравнения вида

             

2)      после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b)  При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1:  

                    

Ответ: x=1

Пример 2:    

                   

Ответ: x=1

Пример 3:   

                     Проверка:   x=2           x=5          

          - посторонний корень                                                                                     

 Ответ: x=2

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4: 

                    

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:  

2.      Метод введения вспомогательного неизвестного или -метод замены

Пример 5:   

                       

Сделаем замену      причём   тогда

                          не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене:

                            Проверка показывает, что оба корня подходят. 

Ответ:1;2

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6:     .

Заметим, что знаки  х под радикалом различные. Введем обозначение

                                              ,      .

      Тогда,       

 Выполним почленное сложение обеих частей уравнения    .

Имеем систему уравнений                  

Т.к. а + в = 4,  то  

                                   

          Значит:                       9 – x = 8 ,   х = 1. 

Ответ : х = 1

3.      Метод разложения на множители или расщепления.

• Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7:        

                        

Ответ: -4;3  

III      Изучение нового материала.    

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.   

4.      Умножение на сопряжённое выражение.

5.      Переход к модулю.

6.      Использование свойств функции:

ü Область определения функции (ОДЗ)

ü Область значения функции

ü Свойство ограниченности функции (метод оценок)

ü Свойство монотонности

ü Использование суперпозиций функций                                                                  

·         Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой 

Пример 8:          

Умножим обе части уравнения  на  сопряжённое выражение:

               

Проверка показывает, что  число является корнем.

Ответ:  

·         Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством: 

Пример 9: 

  

Рассмотрим случаи:

§  Если  , то , тогда

                                  тогда

     

§  Если , тогда  ,а

                          2=6( ложно)

§  Если , тогда , а

Ответ:   -3;3

·         Использование свойств функции:

ü Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения  функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:   

                       ОДЗ:            ОДЗ: x=0  и  x=1

Проверка показывает, что только    x=1 является корнем.

Ответ:   

Пример 11:   

                    , тогда

              Тогда     невозможно.

Ответ: корней нет.

ü Область  значений функции

Пример 12:  

     Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция  может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:   

  Учитывая то, что левая часть уравнения – функция     может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:

  неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

ü Свойство ограниченности функции (метод оценок)

·         Если  и , то

Пример 14:   

            Заметим, что , т.е. , а

                     

                         Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ: 

ü Свойство монотонности

·         Пусть  - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I  не более одного корня.

·         Пусть  - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция   - убывающая на этом промежутке.  Тогда уравнение  имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15:    .

                    Рассмотрим функции  и  .

 монотонно возрастает, а   - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ: 

Пример 16:   

          Функция   возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение  имеет не более одного корня. Так как , то  - единственный корень .

Ответ: 

ü Использование суперпозиций функций                                                                  

·         Если  - монотонно возрастающая функция, то уравнения   и  равносильны.

Пример 17:   

              Запишем уравнение в виде 

       Рассмотрим функцию  - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет  вид  . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

     не удовлетворяет условию  

                                       

Ответ:

 IV.            Закрепление изученного материала

Решение уравнений в группах по 4человека.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

           После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно,  свои коррективы.

V.            Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

VI.            Задание на дом:

Решить уравнения:

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

8)       

Задания для работы в группах:

Вариант 1

Решите уравнения,

используя подсказку:

1.      Возведи обе части в квадрат:

2.      Выполни замену:

3.      Найди ОДЗ:

4.      Умножай на сопряжённое выражение:

5.      Переходи к модулю:

6.      Используй свойства функций:

7.      Реши любым способом:

Вариант 2

Решите уравнения,

используя подсказку:

1.      Возведи обе части в квадрат:

2.      Выполни замену:

3.      Найди ОДЗ:

4.      Умножай на сопряжённое выражение:

5.      Переходи к модулю:

6.      Используй свойства функций:

7.      Реши любым способом:

            

Вариант 3

Решите уравнения,

используя подсказку:

1.      Возведи обе части в квадрат:

   

2.      Выполни замену:

   

3.      Найди ОДЗ:

     

4.      Умножай на сопряжённое выражение:

5.      Переходи к модулю:

6.      Используй свойства функций:

7.      Реши любым способом:

    

Вариант 4

Решите уравнения,

используя подсказку:

1.      Возведи обе части в квадрат:

    

2.      Выполни замену:

  

3.      Найди ОДЗ:

    

4.      Умножай на сопряжённое выражение:

    

5.      Переходи к модулю:

6.      Используй свойства функций:

7.      Реши любым способом: