Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по математике на тему "Методы решения иррациональных уравнений" (11 класс)
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Конспект урока по математике на тему "Методы решения иррациональных уравнений" (11 класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Методы решения иррациональных уравнений.11 класс.

Цели:

  • Образовательная - познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.

  • Развивающая - способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.

  • Воспитательная - содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство ответственности, самоконтроля.

Задачи урока:

  1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;

  2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;

  3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

  4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

  5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.


Тип урока: комбинированный

Методы обучения:

  • Информационно - иллюстративный;

  • репродуктивный;

  • проблемный диалог;

  • частично-поисковый;

  • системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

  • Фронтальная,

  • групповая,

  • самопроверка,

  • взаимопроверка,

  • коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.







План урока:

  1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

  2. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.

  3. Изучение нового материала.

  4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

  5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

  6. Задание на дом.

Конспект урока.

  1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

  2. Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

  • определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

Назовите иррациональные уравнения:

hello_html_697d533a.gif

  • что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

  • Основные методы решения иррациональных уравнений.

  1. Уединение радикала. Возведение в степень.

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

  1. использование равносильных преобразований

для уравнения вида hello_html_2cafd87.gif

hello_html_496e38eb.gif

для уравнения вида hello_html_m5096bba.gif

hello_html_m782587f3.gif

  1. после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1: hello_html_56327a2a.gif

hello_html_2793c108.gif

Ответ: x=1

Пример 2: hello_html_6c0a6539.gif

hello_html_39affe77.gif

Ответ: x=1

Пример 3: hello_html_50773c74.gif

hello_html_74429446.gif Проверка: x=2 hello_html_m3e80e230.gif x=5 hello_html_m6d8a7bb9.gif

hello_html_17f248cf.gif- посторонний корень

Ответ: x=2

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.



Пример 4: hello_html_6d056f83.gif

hello_html_30a46de.gif

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ: hello_html_m3d21f077.gif

  1. Метод введения вспомогательного неизвестного или -метод замены

Пример 5: hello_html_317110a7.gif

hello_html_2aad832a.gif

Сделаем замену hello_html_2b93b974.gif причём hello_html_295a6806.gif тогда hello_html_17c99e36.gif

hello_html_m58dea67c.gifне удовлетворяет условию hello_html_295a6806.gif

Возвращаемся к замене:

hello_html_m63e93751.gif Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:1;2

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6: hello_html_6e12a2e6.gif.

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

hello_html_m7a1a18c4.gif , hello_html_b1b16c5.gif.

Тогда, hello_html_6b151036.gif

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения hello_html_1b1b45f6.gif.

Имеем систему уравнений hello_html_73ad207a.gifhello_html_m622f0146.gifhello_html_m727e67af.gif

Т.к. а + в = 4, то hello_html_73698481.gifhello_html_me013b8c.gif

hello_html_m4dc8d5cd.gifhello_html_208acaf7.gifhello_html_m2d6ffae.gif


Значит: hello_html_m70a8ad39.gifhello_html_2a63c7c1.gif 9 – x = 8 , х = 1.

Ответ : х = 1


          1. Метод разложения на множители или расщепления.

  • Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7: hello_html_39227587.gif

hello_html_4e9f1155.gif

Ответ: -4;3

  1. Изучение нового материала.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

  1. Умножение на сопряжённое выражение.

  2. Переход к модулю.

  3. Использование свойств функции:

      • Область определения функции (ОДЗ)

      • Область значения функции

      • Свойство ограниченности функции (метод оценок)

      • Свойство монотонности

      • Использование суперпозиций функций



  • Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой hello_html_m7b0c9c78.gif

Пример 8: hello_html_66902480.gif

Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение: hello_html_m2457b719.gif

hello_html_m1eca03f0.gif

Проверка показывает, что число является корнем.

Ответ: hello_html_mcbdb3a8.gif

  • Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством: hello_html_m35ccfe74.gif

Пример 9: hello_html_m494ab1c1.gif

hello_html_m13a67f7a.gif

Рассмотрим случаи:

      • Если hello_html_m29a1764b.gif, то hello_html_m40505d31.gif, тогда hello_html_3de7f74c.gif

hello_html_54cc1ced.gifтогда hello_html_710d3ca4.gif

hello_html_20ae7f09.gif

      • Если hello_html_5d1a5766.gif, тогда hello_html_723ad2de.gif hello_html_710d3ca4.gif

hello_html_m13a28ccb.gif

2=6( ложно)

      • Если hello_html_216e23b4.gif, тогда hello_html_723ad2de.gif, а hello_html_m4f8f7ccf.gif

hello_html_m3a95cae8.gif

Ответ: -3;3

  • Использование свойств функции:

      • Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10: hello_html_m699cd834.gif

ОДЗ: hello_html_6fde54b9.gif hello_html_m7497ec61.gifОДЗ: x=0 и x=1

Проверка показывает, что только x=1 является корнем.

Ответ: hello_html_mcbdb3a8.gif

Пример 11: hello_html_m47819cc4.gif

hello_html_m457cfbb4.gif, тогда hello_html_631c403c.gifhello_html_129d416b.gif

Тогда hello_html_m47819cc4.gif невозможно.

Ответ: корней нет.

        • Область значений функции

Пример 12: hello_html_1041ba9.gif

Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция hello_html_7ecb3273.gif может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13: hello_html_37d4cbd8.gif

Учитывая то, что левая часть уравнения – функция hello_html_7aeef351.gif может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство: hello_html_m2455bca0.gif

hello_html_m33f6a58b.gif неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

      • Свойство ограниченности функции (метод оценок)

  • Если hello_html_c2d8236.gif и hello_html_m37bfdb00.gif, то hello_html_m5f002ed9.gif

Пример 14: hello_html_a749678.gif

Заметим, что hello_html_m4e027256.gif, т.е. hello_html_m4da3db45.gif, а hello_html_m5168a750.gif

hello_html_m33c2cf69.gif

hello_html_m17c5c7ec.gifПроверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ: hello_html_m15b222bb.gif

      • Свойство монотонности

  • Пусть hello_html_77fefcea.gif - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение hello_html_m2e70ccd3.gifимеет на промежутке I не более одного корня.

  • Пусть hello_html_77fefcea.gif - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция hello_html_m64b0420c.gif - убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение hello_html_52d54ed7.gif имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15: .hello_html_m750e9ac4.gif

Рассмотрим функции hello_html_m6d1f6714.gif и hello_html_1eb2a96f.gif .

hello_html_m6d1f6714.gif монотонно возрастает, а hello_html_1eb2a96f.gif - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором: hello_html_mcbdb3a8.gif

Ответ: hello_html_mcbdb3a8.gif

Пример 16: hello_html_7ab2f7d0.gif

Функция hello_html_m2886b474.gif возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение hello_html_m4c49c243.gif имеет не более одного корня. Так как hello_html_56fb748d.gif, то hello_html_mcbdb3a8.gif - единственный корень .

Ответ: hello_html_mcbdb3a8.gif

      • Использование суперпозиций функций

  • Если hello_html_m25446ae1.gif - монотонно возрастающая функция, то уравнения hello_html_162d2c2a.gif и hello_html_6392b216.gif равносильны.

Пример 17: hello_html_7f91c1b.gif

Запишем уравнение в виде hello_html_m4f0e4028.gif

Рассмотрим функцию hello_html_6ef766d0.gif - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид hello_html_m7497ec61.gifhello_html_6392b216.gif. Оно равносильно уравнению hello_html_m7c35ed70.gif

Сделаем замену hello_html_m8bbdee5.gif

hello_html_m76f3e8e5.gif не удовлетворяет условию hello_html_40353a65.gif

hello_html_68adb2a7.gif

Ответ: hello_html_m6ff536c4.gif

  1. Закрепление изученного материала

Решение уравнений в группах по 4человека.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.

  1. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

  2. Задание на дом:

Решить уравнения:

  1. hello_html_241b4574.gif

  2. hello_html_m5138d643.gif

  3. hello_html_70bfb005.gif

  4. hello_html_m5e0bfccd.gif

  5. hello_html_m1b807333.gif

  6. hello_html_m6cd8d8e.gif

  7. hello_html_m7d19ed2b.gif

hello_html_m7cb2b891.gif

Задания для работы в группах:



Вариант 1

Решите уравнения,

используя подсказку:

  1. Возведи обе части в квадрат:

hello_html_9038c3d.gif

  1. Выполни замену:

hello_html_102de58a.gif

  1. Найди ОДЗ:

hello_html_5028ab1d.gif

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

hello_html_m7d2bed97.gif

  1. Переходи к модулю:

hello_html_3aa2da42.gif

  1. Используй свойства функций:

hello_html_m7ebb3048.gif

  1. Реши любым способом:

hello_html_12955dd3.gif













Вариант 2

Решите уравнения,

используя подсказку:

  1. Возведи обе части в квадрат:

hello_html_m9db3af.gif

  1. Выполни замену:

hello_html_m439136f.gif

  1. Найди ОДЗ:

hello_html_7345cca2.gif

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

hello_html_55e617a1.gif

  1. Переходи к модулю:

hello_html_561f2389.gif

  1. Используй свойства функций:

hello_html_387ad23c.gif

  1. Реши любым способом:

hello_html_m387314c6.gif

















Вариант 3



Решите уравнения,

используя подсказку:

  1. Возведи обе части в квадрат:

hello_html_m1f54a836.gif

  1. Выполни замену:

hello_html_2aaf0191.gif

  1. Найди ОДЗ:

hello_html_42f931bb.gif

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

hello_html_m466f4158.gif

  1. Переходи к модулю:

hello_html_m71db9d37.gif

  1. Используй свойства функций:

hello_html_m50564748.gif

  1. Реши любым способом:

hello_html_m108fb282.gif













Вариант 4



Решите уравнения,

используя подсказку:

  1. Возведи обе части в квадрат:

hello_html_2d6c82eb.gif

  1. Выполни замену:

hello_html_4a01241e.gif

  1. Найди ОДЗ:

hello_html_m55b64f9b.gif

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

hello_html_1eef7365.gif

  1. Переходи к модулю:

hello_html_2fd9bb0a.gif

  1. Используй свойства функций:

hello_html_4e15b415.gif

  1. Реши любым способом:

hello_html_611f568f.gif




11


Общая информация

Номер материала: ДВ-361561

Похожие материалы