Конспект урока по математике на тему: Решение Треугольников (9 класс)

                       МБОУ «СОШ №31»   

    Открытый урок – проект

                         по геометрии

                                 9 класс

по теме: «Решение треугольников»

учитель Морозова Л. С.                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

                          г. Симферополь 2014

                                     Урок - проект 

   «Решения треугольников»

Практическое применение знаний в нестандартных условиях

Цель:  Формировать умения и навыки решения треугольников по трём его основным элементам; повторить теорему синусов, косинусов и выводы из них; повторить основные типы задач на вычисление элементов произвольных треугольников; усвоить методы решения задач на решение треугольников; показать практическую направленность математических знаний; научить использовать  полученные знания во время решения практических задач; вырабатывать в учениках потребность к усвоению знаний; развивать поисковую познавательную активность учеников, логическое мышление, умение обозначать, анализировать и делать выводы, воображение, связную речь; формировать навыки работы в группе; формировать заинтересованность в результатах совместной работы; воспитывать чувство взаимопомощи, взаимноподдержки; воспитывать упорство, уверенность в себе, любовь и интерес к математике.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний умений и навыков.

Оборудование: карточки, записи на доске, схемы, компьютер.

Эпиграф урока: «Каждая решённая мной задача становилась образцом, который служил толчком для решения других задач» (Р. Декарт).

                                  Работа над проектом

    Работа над проектом занимает два урока без учёта предварительной подготовки учителя и самостоятельной работы учеников над учебным материалом дома.

                                        Подготовка

   Рассмотрев на уроке тему «Решение треугольников», учитель предлагает ученикам исследовать, нужны ли им полученные знания в повседневной жизни. Обговаривают вопросы, которые можно рассмотреть в проекте, определяют тему, цель и задание проекта. Все предложения записывают на доске. Формируют микро-группы (ученики объединяются в группы по интересам), выбирают лидера. Ученики будут работать в команде, но каждый будет иметь свои обязанности. Данный проект складывается из мини-проектов:

1. Исторические сведения о теореме синусов и косинусов.
2. Типы задач на «решение треугольников».
3. Использование «решение треугольников» в геодезии.
4. Использование «решение треугольников» в навигации.
5. Использование «решение треугольников» в астрономии.

                                         Планирование

   Нужно определить источники информации, способ сбора и анализа информации, установит форму отчёта, срок исполнения (например презентация или газета; срок – 1 неделя). Определите порядок выступления.

                                            План урока

1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели урока учениками.
3. Мотивация учебной деятельности.
4. Актуализация опорных знаний.
5. Обобщение и систематизация знаний учащихся. Защита проектов.
6. Решение задач. Закрепление умений и навыков. Защита проектов.
7. Итог урока.
8. Оценивание.
9. Домашнее задание.

                                       Ход урока

I.                  Организационный момент.

II.              Сообщение темы и цели урока учащимися.

·       Слово учителя.

   На предыдущих уроках мы рассмотрели теоремы синусов, косинусов и  следствия из них, ввели понятия решения треугольников, рассмотрели основные типы задач на вычисление элементов произвольных треугольников. Сегодня наша цель – обобщить и систематизировать приобретённые знания из темы «Решение треугольников» и показать практическое их применение.

III.           Мотивация учебной деятельности.

1. Для чего мы изучаем тему «Решение треугольников»?
2. Нужны ли вам эти знания в повседневной жизни? (Обсуждение с учениками).

IV.          Актуализация опорных знаний.

   Прежде чем начать работу, предлагаю повторить немного теории («Незаконченное высказывание»).

Вместо точек вставить пропущенные слова:

1. В треугольнике напротив … лежит больший угол, против большего угла лежит …(большей стороны; большая сторона)
2. Стороны треугольника пропорциональны синусам … углов (противолежащих).
3. Каждое из отношений равняется …(диаметру окружности, описанной около этого треугольника).
4. Квадрат любой стороны треугольника равняется сумме квадратов двух других сторон без …(двойной суммы этих сторон на косинус угла между ними).
5. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» берём тогда, когда противолежащий угол …, а знак « - «, когда …(тупой; острый).
6. Теорему косинусов называют иногда обобщённой теоремой…( Пифагора).
7. Решить треугольник означает: по данным…основным элементами наитии три остальные элементы треугольника. При этом среди заданных основных элементов хотя бы один должен быть… . (трём; стороной)
8.  Какие теоремы необходимо знать, чтобы решить треугольник? (Теорему синусов, теорему косинусов).

V.              Обобщение и систематизация знаний учеников.

Для начала необходимо провести экскурс в историю.

                Представление проекта группой «Историки»

   Теорема косинусов известна ещё древним грекам. В сказаниях 12 и 13 второй книги «Начал» Евклида рассмотрен вопрос о квадрате сторон треугольника, которая лежит против острого и против тупого угла.

   Учёные Индии приводили понятия каких-либо треугольников к решению прямоугольных треугольников и не требовали теорему синусов и не знали её.

   Непосредственно для плоских треугольников теорему косинусов сформулировал арабский астроном и математик Абу-л-Вафа (940 – 998). Немного позже формулирует и использует эту теорему знаменитый среднеазиатский учёный энциклопедист Аль-Беруни (973 – 1048).

    В Европе теорему косинусов по-настоящему оценил и начал систематически использовать знаменитый французский алгебраист Франсуа Виет (1540 – 1603).

   Считается, что теорему синусов впервые сформулировал учитель Ал-Беруни, иранский математик Ибн-Ирак. Доказательство этой теоремы встречается и в работах Ал-Беруни.

   Современный вид теорема косинусов приобрела в 1801 году у французского математика Лазара Карно: теоремы  косинусов и синусов  взаимосвязаны. Из каждой из них можно вывести другую, выполнив соответствующие тригонометрические соотношения.

Ознакомившись с исторической справкой, дайте ответы на вопросы.

1. В каком столетии выдающимся археологом Ал-Беруни была выведена теорема синусов? (В XI).
2. Когда ей начали пользоваться европейские математики? (В XVI веке).
3. Какая теорема была доказана геометрически в «Началах» Евклида? (Теорема косинусов).
4. Кем и когда она была сформулирована словесно? (Французским математиком Франсуа Виетом, XVI век).
5. Кто и когда придал ей современный вид? (Французский математик Лазар Карно в 1801 году).

                Представление проекта группой «Теоретики»

                                     

	Тип задачи	Дано	Найти	Алгоритм решения
1	По стороне и прилежащим углам	АВ, ∟А, ∟В	АС, ВС, ∟С
2	По двум сторонам и углу между ними	АС, АВ, ∟А	ВС, ∟В, ∟С
3	По двум сторонам и углу, противолежащему одной из них	АВ, ВС, ∟А	АС, ∟В, ∟С
4	По трём сторонам	АС, АВ, ВС	∟А, ∟В, ∟С

                                  Вопросы для группы

1. Что означает решить треугольник?
2. Когда можно получить два решения?
3. По каким трём элементам нельзя решить треугольник и почему?

VI.          Решение задач. Закрепление умений и навыков.

   Работая над проектом, творческо-поисковой группы обращали особое внимание на задачи, связанные с практическим применением.

          Представление проекта группой «Исследователи»

                                            Использование в геодезии

   Есть профессии, связанные с частым решением треугольников. Прежде всего этим занимаются геодезисты. Какое бы строительство не начиналось, первыми туда идут геодезисты, что бы снять план местности и охарактеризовать рельеф. Когда же на основе их материалов в проектных организациях обрабатывают проект, геодезисты снова измеряют углы, решают треугольники, забивают колышки – «привязывают» обработанный проект к местности.

   А зачем они решают треугольники? Чтобы определить необходимые расстояния, не измеряя их непосредственно. Есть ещё специалисты, которые решают подобные задачи в шахтах, туннелях, метро и других подземных разработках. Это маркшейдеры. Им также часто приходится решать треугольники.

Задача 1.

   Необходимо построить мост через речку из точки А в точку В. Инженер определил, что расстояние от точки А до точки С в даль от берега составляет 100 м, а в треугольнике АВС угол А равняется 96,5°, а угол В равняется 46,8°. Какой длины будет мост?

                                           

Задача 2.

   Из двух точек А и В, расстояние между которыми 50 м, вершину горы видно под углами 50º и 30º. Найдите высоту горы, если рост человека h = 1,60 м.

                                      

                             Использование в навигации

   Навигация решает вопросы определения направления и пройденного расстояния на море; методы вычисления пути и способы определения положения судна в море по береговым и плавучим ориентирам с помощью штурманских приборов; вопросы управления и безаварийного проведения судна в особых условиях плавания.

   Мореходная астрономия решает вопросы определения места судна в море по положению небесных тел.

   Картография с помощью теории картографических проекций, которые используются в судовождении, решает аналитическим и графическим способами специфические штурманские задачи по проведению судна с учётом действия разных факторов (ветра, течения и т.п.).

   Все эти науки базируются на чёткой математике. А конкретные обстоятельства на море, иногда очень сложные, не всегда позволяют штурману получить нужную информацию с необходимой точностью доже с помощью современных технических средств.

   Поэтому судовождение, что базируется на научно-математической основе, гарантирует безопасность судна во время плавания в любых условиях.

   Умение совершить плавание наиболее удобным из-за данных условий путём, наиболее точно провести судно в порт назначения, с необходимой точностью определить место судна в море практически на любых расстояниях – всё это зависит от судоводителя.

     И все задачи решаются с использованием знаний по тригонометрии.

Задача 3.

   Смотритель маяка, находясь на верхнем этаже маяка, видит лодку, которая терпит крушение, под углом 30°. Высота маяка составляет 100,2 м. Как далеко от маяка находится лодка?

                                            

Задача 4.

  Корабль С находится в 39,9° на северо-восток от корабля А и в 15° на северо-запад от корабля В, который удалён от А в восточном направлении на 500 м. На каком расстоянии один от другого находятся А и С?

                                      

Задача 5.

   Береговые маяки А и В расположены на расстоянии 10 км. От судна С с помощью радиолокационной станции, находящейся на борту, определены расстояния до маяков СА = 11 км и СВ = 9 км. Найдите углы САВ и СВА пеленгов радиомаяков.

                                        

                               Применение в астрономии

   В древности с помощью тригонометрии люди научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звёзды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояния между космическими кораблями.

   Задача 6.

   Астроном выбрал время, когда Планета находилась с его точки зрения на максимальном расстоянии от Солнца. Измерительный угол между Планетой и Солнцем равняется 38,5°. Известно, что Солнце находится на расстоянии 148800000 км от Земли. Какое расстояние от Солнца до Планеты?

                               

Задача 7.

   Астроном измерил угол, образованный Солнцем, Землёй и Звездой. Через шесть месяцев он снова измерил этот самый угол. Расстояние между Солнцем и Землёй составляет 148800000 км, а измеренные углы соответственно равны 87,5° и 88°. На каком расстоянии находилась Земля и Звёзды во время другого измерения?

                                

VII.       Итог урока.

1. Закончите высказывание:

• Сегодня на уроке я повторил …
• Сегодня на уроке я научился …
• Необходимо дополнительно поработать над …
• Наиболее сложным для меня было …

2. Сравни свои знания вначале и в конце урока и дай ответы на вопросы:

• Получил ли ты удовольствие от собственной работы на уроке?
• Какой этап деятельности был наиболее интересным?

Учитель. Подведём итог нашей проектной деятельности. Мы построили проект «Практическое применение «Решение треугольников»». В проекте были использованы разнообразные задачи практического содержания. В процессе работы над проектом вы наблюдали применение ваших знаний для решения проблем прикладного характера. Сегодня мы доказали себе, что без математики невозможна успешная деятельность человека.

VIII.   Оценивание учеников.

IX.          Домашнее задание.

1. Металлический прут длиной 70 см необходимо согнуть под прямым углом так, чтобы расстояние между концами равнялось 50 см. Где должна находится точка сгиба?
2. С вертолёта, который находится над шоссейной дорогой, была замечена колона машин, которая двигалась этой дорогой. Начало колоны видно под углом снижения 75°, а конец – под углом 70°. Найдите длину колоны, если вертолёт находится на высоте 1650 м.
3. Придумать свою задачу практического содержания на применение темы «Решение треугольников».