Инфоурок / Алгебра / Конспекты / Конспект урока по математике на тему: "Текстовые задачи на работу и производительность"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Конспект урока по математике на тему: "Текстовые задачи на работу и производительность"

библиотека
материалов

Тема урока: Текстовые задачи на работу

Цели:

Обучающая: научить применять полученные на уроках знания по решению текстовых задач из ОГЭ разного вида и разного уровня сложности; создать условия для формирования у обучающихся навыков решения задач на работу и прочно укрепить их; познакомить обучающихся со способами решения задач по данной теме.

Развивающая: развивать логическое мышление, познавательный интерес к математике как науке, развивать память; формировать математическую речь, вырабатывать умения сравнивать и анализировать.

Воспитательная: развивать аккуратность, трудолюбие, воспитывать инициативность, добросовестное отношение к учёбе.


Ход урока

Этапы урока:

1 Организационный момент.

2. Введение нового материала.

3. Решение задач.

4. Домашнее задание и итоги урока.


Деятельность учителя:

-Сегодня мы с Вами познакомимся с тем, как решать задачи на работу. Перед тем как мы приступим к решению задач, запишем основные правила и формулы, которые мы должны знать при решении различных задач на работу.

Деятельность учащихся: Слушают учителя, отвечают на вопросы и записывают всё в тетради.

Деятельность учителя:

-Основными компонентами этого типа задач являются:

Работа (1);

Время (t);

Производительность труда (P).

-Содержание задач данного типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют некоторое количество человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объём всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р ­– производительность труда, то есть объём работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношениемhello_html_m753878fd.gif.

-Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа:

Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим, у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогдаhello_html_6b63b803.gif – производительность труда первого рабочего,

hello_html_46c0fc5c.gifпроизводительность труда второго рабочего.

hello_html_6725a07a.gifсовместная производительность труда.

hello_html_7432ba2d.gifвремя, за которое они выполнят задание, работая вместе.

-Решим теперь следующие задачи. Запишем условие первой задачи.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:

-В издательстве двум сотрудникам Оле и Кате поручили отредактировать рукопись объемом 360 страниц. Оля, отдав Кате 40 страниц рукописи, взяла остальные себе. Катя выполнила свою работу за время, в 4 раз меньшее, чем Оля свою. Найдите, сколько страниц рукописи Оля должна была сразу отдать Кате (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?

1 способ решения

-Если Катя выполнила свою работу за x дней, то она редактировала по hello_html_m7eff21a3.gif страниц в день, а Оля – по hello_html_m6dc8e746.gif страниц в день. Поэтому Оле нужно было разделить 360 страниц в отношении hello_html_6e87185a.gif и отдать из них одну часть, то есть hello_html_m7788b256.gif страниц Кате.

2 способ решения

-Катя редактировала 40 страниц рукописи за время в четыре раза меньше, чем Оля 320 страниц рукописи. Если бы они работали с одной скоростью, то за время в четыре раза меньше, она должна была бы отредактировать 80 страниц. Значит, она работает со скоростью hello_html_242284e5.gif скорости первого работника, и для того чтобы они закончили одновременно, работа должны быть разделена между ними в отношении 1:2. Таким образом, Оля должна отдать Кате hello_html_m1dd31c02.gif страниц.

-Запишем ответ.

Ответ: 120.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Запишем условие второй задачи.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:

-Бассейн наполняют водой с помощью двух труб. Когда первая труба проработала 14 ч, включили вторую трубу. Вместе они проработали 4 ч и заполнили бассейн. Определите, за сколько часов может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно, если первой требуется для этого на 8 ч больше, чем второй?

-Решим задачу алгебраическим способом.

-Примем объём бассейна за 1. Пусть за x ч вторая труба может наполнить бассейн, тогда за (x + 8)ч – первая труба. Первая труба за 1 ч наполняет hello_html_789d7861.gif часть бассейна, а вторая - hello_html_m63cc8149.gif часть. Первая труба была открыта 18 ч и наполнила за это время hello_html_71c46d7f.gif часть бассейна, а вторая за 4 ч наполнила hello_html_372b6aa2.gif часть бассейна.

-Составим уравнение:

hello_html_2a596df1.gifhello_html_22c9e26.gifhello_html_353f0b1.gif

hello_html_76bfae6f.gifhello_html_m5f6ddf7b.gif

-Решая квадратное уравнение hello_html_43912b9.gif, мы получаем два корня x1 = 16, x2 = -2.

-x2 = -2 не удовлетворяет условию задачи. Значит, вторая труба наполнит бассейн за 16 ч, а первая – за 16 + 8 = 24 (ч).

- Запишем ответ.

Ответ: 24 часов и 16 часов.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Запишем условие третьей задачи.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:

-На столе одновременно зажжены две свечи разной толщины, но одинаковой длины. Первая сгорает за 8 часов, а вторая – за 6 часов. Определите, через сколько минут были погашены одновременно две свечи, если от первой свечи остался огарок в 7 раз длиннее, чем от второй?

-Решим задачу алгебраическим способом. Пусть t ч – количество минут одновременного горения свечек.

-По условию задачи мы знаем, что две свечи имеют длины, причём их длина не выражена в единицах измерения, значит, примем длину свечей за 1 единицу. Также в условии сказано, что свечи разной толщины и одна из них сгорает за 8 часов, а другая – за 6 часов. Следовательно, hello_html_m16ae55d9.gif - скорость сгорания первой свечи; hello_html_m56842a97.gif - скорость сгорания второй свечи.

-Выразим длину огарков после горения свечей в течение t часов.

hello_html_10e2f4a1.gif- длина огарка первой свечи; hello_html_m500d5d7a.gif - длина огарка второй свечи.

-По условию задачи от первой свечи остался огарок в 7 раз длиннее, чем от второй. Значит, составим уравнение hello_html_m38432fee.gif.

-Раскрыв скобки и проведя алгебраические преобразования, получаем корень уравнения: hello_html_63e71553.gif.

-Мы ответили на главный вопрос задачи: через 5,76 часа огарок первой свечи будет в 7 раз длиннее огарка второй свечи. Выразим результат времени в минутах, для этого 5,76 умножим на 60 минут. Получаем 345 минут 6 секунд.

-Запишем ответ.

Ответ: 345 минут 6 секунд.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Запишем условие следующей задачи.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:

-Загружаясь в каждом рейсе полностью, три машины перевозят пшено. За один рейс 1-я и 2-я машины перевозят вместе 9 тонн пшена, а 1-я и 3-я вместе за два рейса перевозят столько же пшена, сколько 2-я за 6 рейсов. Определите, какое количество пшена перевозит за один рейс 2-я машина, если известно, что некоторое количество пшена 2-я и 3-я перевозят вместе, совершая в 2 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы 3-й машине для перевозки того же количества пшена.

-Решим задачу алгебраическим способом. Введём новые переменные. Пусть x тонн – грузоподъёмность 2-ой машины за один рейс. По условию задачи известно, что за один рейс 1-я и 2-я машины перевозят вместе 9 тонн пшена, значит, (9–х) тонн – грузоподъёмность 1-ой машины за один рейс; у тонн – грузоподъёмность 3-й машины. По условию задачи 1-я и 3-я машины вместе за два рейса перевозят столько же пшена, сколько 2-я за 6 рейсов. Тогда можем составить уравнение: 2(9 – х + у) = 6х.

-Также по условию задачи, мы знаем, что некоторое количество пшена 2-я и 3-я машины перевозят вместе, совершая в 2 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы 3-й машине для перевозки того же количества пшена. Тогда можем составить уравнение: x + у = 2у.

-Так как главным вопросом задачи является значение переменной x, то из второго уравнения выразим у через х. Имеем у = х. Подставим полученное выражение в первое уравнение вместо у. Получаем уравнение с одной переменной 2(9 – х + x) = 6х.

-Раскрыв скобки, решим уравнение 18 = 6х. Получим его корень х = 3. Мы ответили на главный вопрос задачи 3 тонны пшена перевозит за один рейс 2-ая машина.

-Запишем ответ.

Ответ: 3 тонны.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Итак, следующая задача.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:

-Две трубы наполняют бассейн за 8 минут. Вторая труба наполняет бассейн на 12 минут дольше, чем первая. Определите, за сколько минут вторая труба наполняет этот бассейн?

-Решим данную задачу алгебраическим способом. Пусть t (мин.)-время, за которое вторая труба заполняет бассейн, тогда (t – 12) (мин) - понадобится  первой трубе на наполнение бассейна. Так как в условии задачи не даны единицы измерения объёма бассейна, то примем этот объём за 1 единицу.

-Мы можем выразить производительность работы первой и второй труб, то есть производительность их совместной работы равна сумме производительностей каждой трубы, значит: hello_html_m40a10b78.gif.

-Из условия задачи известно, что вместе две трубы наполняют бассейн за 8 минут. Значит, их производительность равна hello_html_m709693d9.gifбассейна в минуту. Получим уравнение: hello_html_m449cd047.gif.

-Приведём дроби к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть, имеем: hello_html_m65ff708a.gif.

-Решая квадратное уравнение   –t2 + 28t – 96 = 0, умножим обе части уравнения на –1. Получаем: t2 – 28t + 96 = 0. Какие числа являются корнями этого уравнения?

Деятельность учащихся:

-t1 = 4 и t2 = 24.

Деятельность учителя:

-По смыслу задачи время работы второй трубы должно быть больше 12, так как вторая труба наполняет бассейн на 12 минут дольше, чем вторая.

-Значит, значение t=4 является посторонним решением. Таким образом, вторая труба наполняет бассейн за 24 минуты. Мы ответили на главный вопрос задачи.

- Запишем ответ.

Ответ: 24 минуты.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Сегодня мы с вами вспомнили, как решать задачи на работу, какие нужно знать формулы.

-Что вы узнали нового на сегодняшнем уроке?

-Чему научились?

-Что необычного и интересного было на занятиях?

-В каких задачах вы столкнулись с трудностями?

Деятельность учащихся: Отвечают на вопросы учителя и получают на раздаточном материале домашнее задание.

Деятельность учителя:

-Домашнее задание на раздаточном материале:

Задача 1. Работая вместе, двое рабочих Пётр и Николай могут закончить свою работу за 15 дней. После 10 дней совместной работы Пётр заболел, и Николай закончил работу один, проработав еще 6 дней. Определите, за сколько дней каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту работу?

Решение. Пусть Пётр может выполнить работу за x дней, а Николай за y дней. Каждый из них выполняет в день hello_html_m63cc8149.gif и hello_html_58d4e1c6.gif части работы соответственно, а работая вместе hello_html_m5fb55e37.gif часть. Получаем уравнение: hello_html_m208d9443.gif

За 6 дней совместной работы Пётр и Николай выполнили: hello_html_70806481.gif работы. Николай работал еще 6 дней, выполнив hello_html_m3e0c57fe.gif часть всей работы. Зная, что вся работа была сделана, составим уравнение: hello_html_m336e08dc.gif.

Получили систему уравнений:

hello_html_m40c81343.gifhello_html_m4acb8638.gif

hello_html_m621aace2.gifhello_html_31beefb1.gifhello_html_14ff354.gif

Получили, что если каждый из них будет работать отдельно друг от друга, то Пётр сможет выполнить работу за 90 дней, а Николай за 18 дней.

Ответ: 90 дней, 18 дней.

Задача 2. Заказ на 160 деталей Вова выполняет на 1 час быстрее, чем Петя. Найдите, сколько деталей в час делает Петя, если известно, что Вова за час делает на 5 деталь больше?

Решение. Пусть x деталей в час делает Петя, тогда Вова делает (x + 5)деталей в час. Так как hello_html_m74689ddc.gif, время работы Вовы равно hello_html_51959718.gif , время работы Пети равно hello_html_715ab2b0.gif.

P

t

A

Вова

hello_html_3af29ed1.gif

hello_html_779d92f4.gif

150

Петя

hello_html_401c866c.gif

hello_html_m112ce198.gif

150

Вова выполнил заказ на 5 часов быстрее. Следовательно, время Вовы на 5 меньше, чем время Пети, то есть: hello_html_m1c6f34ce.gif.

Составим уравнение:

hello_html_71db2c2.gif

hello_html_642dcd83.gif; hello_html_m6fc1c551.gif;

Решая квадратное уравнение, мы получим два корня x1 = -30 и x2 = 25.

По смыслу задачи значение детали в час x должно быть неотрицательной величиной, значит, корень x1 = -30 – посторонний корень.

Следовательно, мы получили, что Петя делает 25 деталей в час.

Ответ: 25.

Задача 3. Лена и Света, работая вместе, выполняют работу за 15 дней. Определите, за сколько дней, работая отдельно друг от друга, выполнит эту работу Лена, если она за 4 дня выполняет такую же часть работы, какую Света — за 5 дней?

Решение. Так как в задаче не сказано о том, какая это работа, чему равен её объем, то работу мы примем за единицу.

Пусть X - производительность Лены, тогда Y - производительность Светы. Из условия мы знаем, что Лена за 4 дня делает такую же часть работы, какую Света - hello_html_155432cd.gif за 5 дней. Значит, hello_html_m57e8488e.gif. Отсюда, следует, что работая вместе, Лена и Света сделали всю работу за 15 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

hello_html_m76d34969.gif,

hello_html_mace721c.gif,

hello_html_m5fd03ad.gif,

hello_html_m34acd802.gif,

hello_html_2ce6b0ec.gif.

Мы получили, что Лена за день выполняет hello_html_m68e889dc.gif всей работы. Следовательно, на всю работу Лене понадобится 9 дней.

Ответ: 9.

Задача 4. Первая бригада может убрать поле за 16 дней. Чтобы выполнить эту же работу второй бригаде нужно 50% этого времени. После того как в течение 4 дней работала только первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Определите, сколько дней работали две бригады вместе?

Решение. Производительность 1-ой бригады hello_html_m548172a9.gif. Время работы 1-ой бригады 16 дней, тогда 50% от 16 дней будет 8 дней (0,50hello_html_43e38190.gif16 = 8) – время работы 2-ой бригады. Производительность 2-ой бригады: hello_html_m16ae55d9.gif.

Объём работы 1-ой бригады за 4 дня: hello_html_37b9d501.gif.

Всю работу примем за 1 единицу, тогда осталось выполнить: 1 -hello_html_61d94d6.gif;

Производительность двух бригад вместе: hello_html_m548172a9.gif+hello_html_m16ae55d9.gif. Пусть Х время их совместной работы, тогда получаем уравнение: (hello_html_76fbd86b.gif)Х=hello_html_m100df049.gif .

hello_html_m531436ed.gif; hello_html_m4060c508.gif; hello_html_m7154a0b5.gif; X=4.

Ответ: вместе две бригады работали 4 дня.

Задача 5. Ученик тратит на изготовление 462 деталей на 22 часа больше, чем мастер на изготовление 924 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Решение. Пусть x деталей в час делает ученик, тогда мастер делает (x + 4) детали в час. На изготовление 462 деталей ученик потратит hello_html_m7520a9f8.gif ч, а мастер тратит hello_html_7d9c11d8.gif ч на изготовление 924 деталей.

Составим уравнение по условию задачи:hello_html_m693ba26d.gif

Решим уравнение:

hello_html_m7cce06c1.gifhello_html_m159d8839.gif84 – 21xx(x+4) = 0; x2 + 25x – 84 = 0. 

Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. По смыслу задачи значение детали в час x должно быть неотрицательной величиной, значит, корень x1 = -28 – посторонний корень. Следовательно, мы получили, что ученик делает 3 детали в час.

Ответ: 3.



Общая информация

К учебнику: Алгебра. 9 класс. Учебник. Мордкович А.Г., Николаев Н.П. 3-е изд., перераб. - М.: 2008. - 255 с.

К уроку: § 14. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Показать все
Номер материала: ДБ-303103

Похожие материалы