Конспект урока по математике на тему: "Текстовые задачи на работу и производительность"

Тема урока: Текстовые задачи на работу

Цели:

Обучающая:   научить применять полученные на уроках знания по решению текстовых задач из ОГЭ разного вида и разного уровня сложности; создать условия для формирования у обучающихся навыков решения задач на работу и прочно укрепить их; познакомить обучающихся со способами решения задач по данной теме.

Развивающая:  развивать  логическое мышление, познавательный интерес к математике как науке, развивать память; формировать математическую речь, вырабатывать умения сравнивать и анализировать.

Воспитательная: развивать аккуратность, трудолюбие, воспитывать инициативность, добросовестное отношение к учёбе.

Ход урока

Этапы урока:

1 Организационный момент.

2. Введение нового материала.

3. Решение задач.

4. Домашнее задание и итоги урока.

Деятельность учителя:

-Сегодня мы с Вами познакомимся с тем, как решать задачи на работу. Перед тем как мы приступим к решению задач, запишем основные правила и формулы, которые мы должны знать при решении различных задач на работу.

Деятельность учащихся: Слушают учителя, отвечают на вопросы и записывают всё в тетради.

Деятельность учителя:

-Основными компонентами этого типа задач являются:

Работа (1);

Время (t);

Производительность труда (P).

 -Содержание задач данного типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют некоторое количество человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объём всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р ­– производительность труда, то есть объём работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением.

 -Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа:

Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,           у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда – производительность труда первого рабочего,

 – производительность труда второго рабочего.

 – совместная производительность труда.

 – время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

-Решим теперь следующие задачи. Запишем условие первой задачи.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:

-В издательстве двум сотрудникам Оле и Кате поручили отредактировать рукопись объемом 360 страниц. Оля, отдав Кате 40 страниц рукописи, взяла остальные себе. Катя выполнила свою работу за время, в 4 раз меньшее, чем Оля свою. Найдите, сколько страниц рукописи Оля должна была сразу отдать Кате (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?

1 способ решения

-Если Катя выполнила свою работу за x дней, то она редактировала по  страниц в день, а Оля – по  страниц в день. Поэтому Оле нужно было разделить 360 страниц в отношении  и отдать из них одну часть, то есть  страниц Кате.

2 способ решения

-Катя редактировала 40 страниц рукописи за время в четыре раза меньше, чем Оля 320 страниц рукописи. Если бы они работали с одной скоростью, то за время в четыре раза меньше, она должна была бы отредактировать 80 страниц. Значит, она работает со скоростью  скорости первого работника, и для того чтобы они закончили одновременно, работа должны быть разделена между ними в отношении 1:2. Таким образом, Оля должна отдать Кате  страниц.

-Запишем ответ.

Ответ: 120.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Запишем условие второй задачи.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:

-Бассейн наполняют водой с помощью двух труб. Когда первая труба проработала 14 ч, включили вторую трубу. Вместе они проработали 4 ч и заполнили бассейн. Определите, за сколько часов может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно, если первой требуется для этого на 8 ч больше, чем второй?

-Решим задачу алгебраическим способом.

-Примем объём бассейна за 1. Пусть за x ч вторая труба может наполнить бассейн, тогда за (x + 8)ч – первая труба. Первая труба за 1 ч наполняет  часть бассейна, а вторая -  часть. Первая труба была открыта 18 ч и наполнила за это время  часть бассейна, а вторая за 4 ч наполнила  часть бассейна.

-Составим уравнение:

  

 

-Решая квадратное уравнение , мы получаем два корня x₁ = 16, x₂ = -2.

-x₂ = -2 не удовлетворяет условию задачи. Значит, вторая труба наполнит бассейн за 16 ч, а первая – за 16 + 8 = 24 (ч).

- Запишем ответ.

Ответ: 24 часов и 16 часов.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Запишем условие третьей задачи.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:

-На столе одновременно зажжены две свечи разной толщины, но одинаковой длины. Первая сгорает за 8 часов, а вторая – за 6 часов. Определите, через сколько минут были погашены одновременно две свечи, если от первой свечи остался огарок в 7 раз длиннее, чем от второй?

-Решим задачу алгебраическим способом. Пусть t ч – количество минут одновременного горения свечек.

-По условию задачи мы знаем, что две свечи имеют длины, причём их длина не выражена в единицах измерения, значит, примем длину свечей за 1 единицу. Также в условии сказано, что свечи разной толщины и одна из них сгорает за 8 часов, а другая – за 6 часов. Следовательно,  - скорость сгорания первой свечи;  - скорость сгорания второй свечи.

-Выразим длину огарков после горения свечей в течение t часов.

 - длина огарка первой свечи;  - длина огарка второй свечи.

-По условию задачи от первой свечи остался огарок в 7 раз длиннее, чем от второй. Значит, составим уравнение .

 -Раскрыв скобки и проведя алгебраические преобразования, получаем корень уравнения: .

-Мы ответили на главный вопрос задачи: через 5,76 часа огарок первой свечи будет в 7 раз длиннее огарка второй свечи. Выразим результат времени в минутах, для этого 5,76 умножим на 60 минут. Получаем 345 минут 6 секунд.

 -Запишем ответ.

Ответ: 345 минут 6 секунд.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Запишем условие следующей задачи.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:  

-Загружаясь в каждом рейсе полностью, три машины перевозят пшено. За один рейс 1-я и 2-я машины перевозят вместе 9 тонн пшена, а 1-я и 3-я вместе за два рейса перевозят столько же пшена, сколько 2-я за 6 рейсов. Определите, какое количество пшена перевозит за один рейс 2-я машина, если известно, что некоторое количество пшена 2-я и 3-я перевозят вместе, совершая в 2 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы 3-й машине для перевозки того же количества пшена.

-Решим задачу алгебраическим способом. Введём новые переменные. Пусть x тонн – грузоподъёмность 2-ой машины за один рейс. По условию задачи известно, что за один рейс 1-я и 2-я машины перевозят вместе 9 тонн пшена, значит, (9–х) тонн – грузоподъёмность 1-ой машины за один рейс; у тонн – грузоподъёмность 3-й машины. По условию задачи 1-я и 3-я машины вместе за два рейса перевозят столько же пшена, сколько 2-я за 6 рейсов. Тогда можем составить уравнение: 2(9 – х + у) = 6х.

-Также по условию задачи, мы знаем, что некоторое количество пшена 2-я и 3-я машины перевозят вместе, совершая в 2 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы 3-й машине для перевозки того же количества пшена. Тогда можем составить уравнение: x + у = 2у.

-Так как главным вопросом задачи является значение переменной x, то из второго уравнения выразим у через х. Имеем у = х. Подставим полученное выражение в первое уравнение вместо у. Получаем уравнение с одной переменной 2(9 – х + x) = 6х.

-Раскрыв скобки, решим уравнение 18 = 6х. Получим его корень х = 3. Мы ответили на главный вопрос задачи 3 тонны пшена перевозит за один рейс 2-ая машина.

-Запишем ответ.

Ответ: 3 тонны.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Итак, следующая задача.

Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.

Деятельность учителя:

-Две трубы наполняют бассейн за 8 минут. Вторая труба наполняет бассейн на 12 минут дольше, чем первая. Определите, за сколько минут вторая труба наполняет этот бассейн?

-Решим данную задачу алгебраическим способом. Пусть t (мин.)-время, за которое вторая труба заполняет бассейн, тогда (t – 12) (мин) - понадобится  первой трубе на наполнение бассейна. Так как в условии задачи не даны единицы измерения объёма бассейна, то примем этот объём за 1 единицу.

-Мы можем выразить производительность работы первой и второй труб, то есть производительность их совместной работы равна сумме производительностей каждой трубы, значит: .

-Из условия задачи известно, что вместе две трубы наполняют бассейн за 8 минут. Значит, их производительность равна бассейна в минуту. Получим уравнение: .

-Приведём дроби к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть, имеем: .

-Решая квадратное уравнение   –t² + 28t – 96 = 0, умножим обе части уравнения на –1. Получаем: t² – 28t + 96 = 0. Какие числа являются корнями этого уравнения?

Деятельность учащихся:

-t₁ = 4 и t₂ = 24.

Деятельность учителя:

-По смыслу задачи время работы второй трубы должно быть больше 12, так как вторая труба наполняет бассейн на 12 минут дольше, чем вторая.

-Значит, значение t=4 является посторонним решением. Таким образом, вторая труба наполняет бассейн за 24 минуты. Мы ответили на главный вопрос задачи.

- Запишем ответ.

Ответ: 24 минуты.

Деятельность учащихся: Записывают ответ.

Деятельность учителя:

-Сегодня мы с вами вспомнили, как решать задачи на работу, какие нужно знать формулы.

-Что вы узнали нового на сегодняшнем уроке?

-Чему научились?

-Что необычного и интересного было на занятиях?

-В каких задачах вы столкнулись с трудностями?

Деятельность учащихся: Отвечают на вопросы учителя и получают на раздаточном материале домашнее задание.

Деятельность учителя:

-Домашнее задание на раздаточном материале:

Задача 1. Работая вместе, двое рабочих Пётр и Николай могут закончить свою работу за 15 дней. После 10 дней совместной работы Пётр заболел, и Николай закончил работу один, проработав еще 6 дней. Определите, за сколько дней каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту работу?

Решение. Пусть Пётр может выполнить работу за x дней, а Николай за y дней. Каждый из них выполняет в день  и  части работы соответственно, а работая вместе  часть. Получаем уравнение:  

За 6 дней совместной работы Пётр и Николай выполнили:  работы. Николай работал еще 6 дней, выполнив  часть всей работы. Зная, что вся работа была сделана, составим уравнение: .

Получили систему уравнений:

 

  

Получили, что если каждый из них будет работать отдельно друг от друга, то Пётр сможет выполнить работу за 90 дней, а Николай за 18 дней.

Ответ: 90 дней, 18 дней.

Задача 2. Заказ на 160 деталей Вова выполняет на 1 час быстрее, чем Петя. Найдите, сколько деталей в час делает Петя, если известно, что Вова за час делает на 5 деталь больше?

Решение. Пусть x деталей в час делает Петя, тогда Вова делает              (x + 5)деталей в час. Так как ,   время работы Вовы равно  , время работы Пети равно .

	P	t	A
Вова			150
Петя			150

Вова выполнил заказ на 5 часов быстрее. Следовательно, время Вовы на 5 меньше, чем время Пети, то есть: .

Составим уравнение:

 

; ;

Решая квадратное уравнение, мы получим два корня x₁ = -30 и x₂ = 25.

По смыслу задачи значение детали в час x должно быть неотрицательной величиной, значит, корень x₁ = -30 – посторонний корень.

Следовательно, мы получили, что Петя делает 25 деталей в час.

Ответ: 25.

Задача 3. Лена и Света, работая вместе, выполняют работу за 15 дней. Определите, за сколько дней, работая отдельно друг от друга, выполнит эту работу Лена, если она за 4 дня выполняет такую же часть работы, какую Света — за 5 дней?

Решение. Так как в задаче не сказано о том, какая это работа, чему равен её объем, то работу мы примем за единицу.

 Пусть X - производительность Лены, тогда Y -  производительность Светы. Из условия мы знаем, что Лена за 4 дня делает такую же часть работы, какую Света -  за 5 дней. Значит, . Отсюда, следует, что работая вместе, Лена и Света сделали всю работу за 15 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

,

,

,

,

.

Мы получили, что Лена за день выполняет  всей работы. Следовательно, на всю работу Лене понадобится 9 дней.

Ответ: 9.

Задача 4. Первая бригада может убрать поле за 16 дней. Чтобы выполнить эту же работу второй бригаде нужно 50% этого времени. После того как в течение 4 дней работала только первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Определите, сколько дней работали  две бригады вместе?

Решение. Производительность 1-ой бригады . Время работы 1-ой бригады 16 дней, тогда 50% от 16 дней будет 8 дней (0,5016 = 8) – время работы 2-ой бригады. Производительность 2-ой бригады: .

Объём работы 1-ой бригады за 4 дня: .

Всю работу примем за 1 единицу, тогда осталось выполнить: 1 -;

Производительность двух бригад вместе: +. Пусть Х время их совместной работы, тогда получаем уравнение: ()Х= .

; ; ; X=4.

Ответ: вместе две бригады работали 4 дня.

Задача 5. Ученик тратит на изготовление 462 деталей на 22 часа больше, чем мастер на изготовление 924 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Решение. Пусть x деталей в час делает ученик, тогда мастер делает      (x + 4) детали в час. На изготовление 462 деталей ученик потратит  ч, а мастер тратит  ч на изготовление 924 деталей.

Составим уравнение по условию задачи:. 

Решим уравнение:

   84 – 21x – x(x+4) = 0; x² + 25x – 84 = 0. 

Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. По смыслу задачи значение детали в час x должно быть неотрицательной величиной, значит, корень x₁ = -28 – посторонний корень. Следовательно, мы получили, что ученик делает 3 детали в час.

Ответ: 3.