Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по математике на тему "Тригонометрические уравнения"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Конспект урока по математике на тему "Тригонометрические уравнения"

библиотека
материалов


Урок алгебры в 10 классе

Тема урока:

« Тригонометрические уравнения»


(урок одного уравнения)


Урок 4.

Цели:


образовательная – систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений;

развивающая – содействовать развитию математического мышления учащихся;

воспитательная – воспитывать познавательную активность, самостоятельность, побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.


Тип урока: урок одного уравнения.


Оборудование: компьютер, проектор.


План урока


I. Организационный момент.

II. Устная работа. Работа в парах.

III. Метод использования свойства ограниченности функции.

IV. Различные способы решения одного уравнения.

V. Самостоятельная работа.

VI. Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.


Ход урока

Слайд 1.

I. Организационный момент (проверяется готовность к уроку, объявляется тема, цель урока, этапы урока).

Слайд 2.

Эпиграф к уроку: Три пути ведут к знанию:

путь размышления –

это путь самый благородный,

путь подражания –

это путь самый легкий

и путь опыта –

это путь самый горький.


Конфуций.

- Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.

Слайд 3.

II. Устная работа (по презентации к уроку). Работа в парах.

На каждой парте лист с уравнениями. (Приложение 1)

Учащимся предлагается провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решений. Рядом с каждым уравнением 1 – 7 указать номер метода, которым можно решить данное уравнение.


Уравнения

метода

Методы


1


sin hello_html_m495b4df4.gifcos 6х = 2


6

1. Разложение на множители.


2. Введение новой переменной:

а) сведение к квадратному;

б) универсальная подстановка;

в) введение вспомогательного аргумента.


3. Сведение к однородному уравнению.


4. Графический.


5. Использование условия равенства одноименных тригонометрических функций.


6. Использование свойства ограниченности функции.


2


1 – sin 2х = cos х – sin х


1,

3, 2(б,в)


3


sin 3х – sin 5х = 0


1,

5


4


4 – cos2 х = 4 sin х


2(а)


5


cos (2hello_html_1bfc1af9.gifx) = xhello_html_4fbf37b8.gif – 8x + 17


6


6


5 sin х – 2cos х = 1


2(б,в), 3


7


cos х =| х | – hello_html_m77fdfc92.gif


4




8



sin х + cos х = 1





Обсуждение проводится в быстром темпе и выясняется, что наибольшее количество методов можно применить при решении последнего уравнения. Отмечается, что первые пять методов являются традиционными для решения тригонометрических уравнений. Последний метод стал часто встречаться в ЕГЭ. Поэтому предлагается остановиться на этом методе особо.

Слайд 4.

III. Метод использования свойства ограниченности функции.

Учащиеся вспоминают суть этого метода.

Суть этого метода заключается в следующем:

если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций у = f(x), у = g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений

hello_html_m275587c2.gif


На доске ученик решает уравнение 5 из таблицы.

(Слайд 5.)

5) cos(2hello_html_1bfc1af9.gifx) = xhello_html_4fbf37b8.gif- 8x + 17.

Решение.

cos(2hello_html_1bfc1af9.gifx) = (x - 4)hello_html_4fbf37b8.gif+ 1

ОДЗ: hello_html_15e215ad.gif.

-1 hello_html_m7ceebba.gif cos(2hello_html_1bfc1af9.gifx) hello_html_m7ceebba.gif 1; (x - 4)hello_html_4fbf37b8.gif + 1 hello_html_m78774d40.gif 1

Рhello_html_785e2b12.gifавенство достигается, если cos(hello_html_6c10aabd.gif) = 1,

(x - 4)hello_html_4fbf37b8.gif + 1 = 1,

х = 4

Ответ: 4.

На доске ученик решает уравнение 1 из таблицы.

1) sin hello_html_m495b4df4.gifcos 6х = 2

Решение.

sin hello_html_m495b4df4.gifcos 6х = 2.

ОДЗ: hello_html_15e215ad.gif.

Поскольку | sin hello_html_m495b4df4.gif| ≤ 1 и | cos 6х | ≤ 1, имеем систему:

hello_html_m6f395e87.gifhello_html_m6b7fc6df.gifhello_html_4415457e.gif

Общее решение показать на тригонометрической окружности.

hello_html_m2c9179cc.gif

Ответ: hello_html_m3cd43e65.gif


IV. На доске учащиеся показывают различные способы решения уравнения sin х + cos х = 1.

ОДЗ: hello_html_15e215ad.gif.

Способ 1.

sin х + cos х = 1.

Применим формулы половинного аргумента, получим:

2 sinhello_html_m2472cb1c.gifcoshello_html_m2472cb1c.gif + cos 2 hello_html_m2472cb1c.gif – sin 2 hello_html_m2472cb1c.gif = sin 2 hello_html_m2472cb1c.gif + cos 2 hello_html_m2472cb1c.gif ,

2 sinhello_html_m2472cb1c.gifcoshello_html_m2472cb1c.gif – 2sin 2 hello_html_m2472cb1c.gif = 0 ,

2 sinhello_html_m2472cb1c.gif·(coshello_html_m2472cb1c.gif – sinhello_html_m2472cb1c.gif)=0,

sinhello_html_m2472cb1c.gif=0, или coshello_html_m2472cb1c.gif – sinhello_html_m2472cb1c.gif=0,

х = 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif х = hello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif

Ответ: 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gifhello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif

Способ 2.

sin х + cos х = 1.

sin х + sin (hello_html_50e23565.gif) = 1,

Применим формулы преобразования суммы в произведение.

hello_html_5c2cae30.gif

hello_html_3aa16383.gif,

hello_html_2e7d04a5.gif

hello_html_231f0193.gif

х = hello_html_m12edfb30.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_m12edfb30.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif

х = 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif х = hello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif

Ответ: 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gifhello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif

Способ 3.

sin х + cos х = 1.

Введение вспомогательного угла.

А sin х + В cos х = hello_html_m4505ced6.gifcos (х - t), где sin t = hello_html_614fa5e9.gif, cos t = hello_html_7829f115.gif.

hello_html_m4505ced6.gif=hello_html_m80272fb.gif=hello_html_1caef8ee.gif,

hello_html_524a495f.gif, t = hello_html_m12edfb30.gif.

hello_html_1caef8ee.gifcos (х - hello_html_m12edfb30.gif) = 1,

hello_html_231f0193.gif

х = hello_html_m12edfb30.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_m12edfb30.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif

х = 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif х = hello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif

Ответ: 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gifhello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif

Способ 4.

sin х + cos х = 1.

Разделим обе части уравнения на hello_html_1caef8ee.gif.

hello_html_755ba318.gifsin х +hello_html_755ba318.gifcos х =hello_html_755ba318.gif,

coshello_html_m12edfb30.gif sin х + sinhello_html_m12edfb30.gif cos х =hello_html_755ba318.gif,

sin ( х + hello_html_m12edfb30.gif)=hello_html_755ba318.gif,

х + hello_html_m12edfb30.gif = (-1)narcsin hello_html_755ba318.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif

х = (-1)n ·hello_html_m12edfb30.gifhello_html_m12edfb30.gif+ hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif hello_html_m6fbac778.gif

х = hello_html_m12edfb30.gifhello_html_m12edfb30.gif+ 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif х = π - hello_html_m12edfb30.gifhello_html_m12edfb30.gif+ 2hello_html_1bfc1af9.gifk, khello_html_m3b44a4f9.gif

х = 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif х = hello_html_m77fdfc92.gif+ 2hello_html_1bfc1af9.gifk, khello_html_m3b44a4f9.gif

Ответ: 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gifhello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif

Способ 5.

sin х + cos х = 1.

Применим универсальную подстановку:

hello_html_m54468084.gif; hello_html_46f8f739.gif; х + 2 n; nhello_html_2bc867a7.gif

Исходное уравнение примет вид:

hello_html_m1b83816c.gif+ hello_html_m94107c8.gif=1,

2tghello_html_m2472cb1c.gif+ 1 – tg2 hello_html_m2472cb1c.gif= 1 + tg2 hello_html_m2472cb1c.gif,

2tghello_html_m2472cb1c.gif – 2 tg2 hello_html_m2472cb1c.gif=0,

tghello_html_m2472cb1c.gif(1 – tghello_html_m2472cb1c.gif)=0,

tghello_html_m2472cb1c.gif = 0 или 1 – tg hello_html_m2472cb1c.gif=0,

х = 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif х = hello_html_m77fdfc92.gif+ 2hello_html_1bfc1af9.gifk, khello_html_m3b44a4f9.gif

Ответ: 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gifhello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif

Способ 6.

sin х + cos х = 1.

Заменим cos х выражением hello_html_m741fe96b.gif

sin х hello_html_m741fe96b.gif = 1,

hello_html_m741fe96b.gif= 1 – sin х,

1 – sin2 х = (1 – sin х)2 ,

(1 – sin х) (1 + sin х) - (1 – sin х)2 = 0,

(1 – sin х) (1 + sin х – 1 + sin х) = 0,

(1 – sin х) 2sin х = 0,

1 – sin х = 0 или sin х = 0,

sin х = 1

х = hello_html_m77fdfc92.gif+ 2hello_html_1bfc1af9.gifk, khello_html_m3b44a4f9.gif х = hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_2bc867a7.gif

Проверка показывает, что из серии х = hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gif решением является х = 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_2bc867a7.gif

Ответ: 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gifhello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif

Способ 7. Графический.


Слайд 6.

hello_html_7a296d11.gif

Ответ: 2hello_html_1bfc1af9.gifn, nhello_html_m3b44a4f9.gifhello_html_m77fdfc92.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifк, кhello_html_2bc867a7.gif


V. Самостоятельная работа. Учащимся предлагается решить уравнение 1 – sin 2х = cos х – sin х различными способами.

VI. Рефлексия.

Учитель отмечает работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

Учитель подводит итоги урока; сообщает, дает пояснения к домашнему заданию.

Домашнее задание: решить уравнения из таблицы

3, № 6 (различными способами), № 4, № 7.

Дополнительно:

hello_html_784b03d4.gif.


Общая информация

Номер материала: ДВ-295898

Похожие материалы