Конспект урока по математике по теме "Цилиндр"

24

Пояснительная записка.

Основной упор при изучении материала главы «Тела и поверхности вращения» делается на решение задач. Определения вводимых понятий даются в описательной форме, некоторые формулы площадей поверхности - без вывода.

Так как обучающиеся нередко допускают ошибки в изображении цилиндра, конуса и сферы, учителю следует акцентировать их внимание на правильном изображении фигур.

С целью экономии учебного времени на выполнение чертежей при решении некоторых задач целесообразно изображать не сами тела вращения, а их осевые сечения. Особую роль на уроках имеют задачи по готовому чертежу. Они те только экономят время, но и позволяют концентрировать внимание обучающихся на наиболее существенных моментах текущего материала.

В результате изучения главы «Тела и поверхности вращения» происходит формирование понятий тел вращения, их сечений, вычисление площадей этих геометрических тел, решения задач.

В результате изучения параграфа все обучающиеся должны знать понятия цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов ( боковая поверхность, основания, образующие, ось, высота, радиус), должны знать формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра, решать задачи по данной теме.

Цель главы: обучающиеся должны уметь решать задачи на нахождение элементов тел вращения, на нахождения площадей боковой и полной поверхности тел вращения.

Проведенный урок «Цилиндр» входит в главу «Тела и поверхности вращения» и является 1 по счету.

Цели урока:

1. Образовательная.

Ввести понятие цилиндра, элементов цилиндра, сформулировать навык решения задач на нахождение элементов цилиндра и вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра, закрепить понятия с помощью выполнения заданий.

2. Воспитательная.

Воспитывать у обучающихся самостоятельность, формировать умения работы с формулами, чертежами, учебником.

3. Развивающая.

Развивать интерес к изучаемому предмету, самостоятельность в освоении новых знаний.

При изучении этой темы обучающиеся должны:

Знать:

• • Определения тел вращения;

  • Основные понятия тел вращения;

  • Формулы вычисления площадей тел вращения.

Уметь:

• Находить отдельные элементы тел вращения;

• Вычислять площади тел вращения.

Тип урока: комбинированный.

Тема: Цилиндр.

Содержание урока.

1. Организационный момент – 2 минуты.

2. Устная работа – 3 минуты.

3. Объяснение нового материала-10 минут.

4. Задачи на закрепление- 15 минут

5. Самостоятельная работа – 10 минут.

6. Домашнее задание – 2 минут.

7. Итог урока – 3 минуты.

Ход урока.

1. Здравствуйте! Садитесь. Сегодня мы начинаем с вами новую главу, которая называется «Тела и поверхности вращения».Тема сегодняшнего урока входит в эту главу и называется «Цилиндр» (слайд 1).

Цель урока: сформировать понятие цилиндрической поверхности, определения цилиндра и его элементов, формул для вычисления площадей поверхностей цилиндра и рассмотреть задачи по этой теме.

2. Рассмотрим различные предметы окружающей обстановки, дающие представления о цилиндре – карандаш, цветочный горшок, макет цилиндра (представленные цилиндры имеют разные соотношения между высотой и диаметром).

Ответы на вопросы (приложение 1).

Подумайте и ответьте, почему цилиндр называют телом вращения?

Что из себя представляет основание цилиндра?

В курсе черчения вы изучали сечения, подумайте, какое сечение будет у цилиндра, если его разрезать пополам (перпендикулярно оси)?

По какой формуле вычисляется площадь круга?

3. Объяснение нового материала (происходит по презентации приложение 2).

(слайд 2) Рассмотрим произвольную плоскость α и окружность L с центром О радиуса r₁ лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности L проведем прямую перпендикулярную к плоскости α. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые – образующими цилиндрической поверхности. Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно плоскости α, называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости α, то они параллельны друг другу. Такие цилиндры называют прямыми круговыми цилиндрами.

(слайд 3) запишите определение цилиндра: тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами - основаниями, называется цилиндром.

(слайд 4) сделайте рисунок цилиндра и запишите его составляющие.

(слайд 5) на рисунке вы видите - цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны СD, а основания – вращением сторон ВС и АD.

(слайд 6) рассмотрим развертку цилиндра. Боковая часть представляет из себя прямоугольник, а основания- два круга.

Так как основания круги, то их площадь будет вычисляться по формуле S = πr². Площадь боковой поверхности будет вычисляться по формуле S = 2 πrh. А площадь полной поверхности цилиндра сложится из площади боковой поверхности и двух площадей оснований. Запишите формулы и сделайте рисунок развертки.

(слайд 7) теперь рассмотрим сечение цилиндра плоскостями. Сечение цилиндра плоскостью параллельной его оси или проходящей через ось - является прямоугольник. Сечение цилиндра плоскостью перпендикулярной его оси представляет собой круг. Сделайте рисунки.

(слайд 8) цилиндры так же бывают и наклонными круговыми.

(слайд 9) посмотрите на различные виды цилиндров. Цилиндры бывают прямыми и наклонными в зависимости от того перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим. В основаниях могут лежать различные фигуры.

(слайд 10, 11, 12) примеры цилиндров, встречающихся в нашей жизни.

(слайд 13) а теперь рассмотрим устные задачи.

1 задача. Вспомните формулу нахождения площади круга и найдите площадь основания цилиндра, радиус которого равен 2 ( ответ 4π).

(слайд 14)

2 задача. Найдите площадь осевого сечения цилиндра , если известны его радиус основания и высота (ответ 20).

(слайд 15)

Задача 3. Пусть цилиндр пересекли плоскостью, перпендикулярной оси и получили круг площадью 3π. Чему равен радиус цилиндра? (ответ ).

4. А теперь задачи из учебника ( приложение 3 сделать рисунок и записать решение в тетрадь).

(слайд 16) Задача № 523.

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) S_о цилиндра.

(слайд 17) Задача № 525.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м², а площадь основания – 5 м². Найдите высоту цилиндра.

(слайд 18-19) Задача № 527.

Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен 10, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно 8, АВ = 13.Найдите высоту цилиндра.

5. Самостоятельная работа ( приложение 4).

Решить задачи на закрепление - задачи по « примеру», которые только что рассмотрели.

1 вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 40 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 м², а площадь основания – 10 м². Найдите высоту цилиндра.

3. Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 10, d = 6, AB = 25.

_______________________________________________________________

2 вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 60 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 40 м², а площадь основания – 20 м². Найдите высоту цилиндра.

3. Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 12, d = 6, AB = 30.

__________________________________________________________

3 вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 80 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 60 м², а площадь основания – 30 м². Найдите высоту цилиндра.

3. Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 15, d = 10, AB = 40.

__________________________________________________________

4 вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 100 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 80 м², а площадь основания – 40 м². Найдите высоту цилиндра.

3. Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 5, d = 4, AB = 10.

__________________________________________________________

6. Домашнее задание (приложение 5).

1)выучить формулы;

2) №531;

3) №540 (кто сможет решить).

7. Итак, подведем итог урока:

Какое геометрическое тело мы сегодня рассмотрели? (цилиндр)

Почему цилиндр называют телом вращения? (его можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон)

Какое сечение называется осевым? Что оно из себя представляет? (сечение, проходящее через ось цилиндра или параллельно оси цилиндра. представляет из себя прямоугольник или квадрат)

Что представляет из себя круговое сечение? (круг)

Скажите формулу площади круга? (S = πr²)

Урок закончен. Спасибо за урок.

Литература.

1. Методические рекомендации к курсу геометрии 10-11 класс, по учебнику авторов Л.А. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.Издательство Москва «Просвещение», 2004 год. Составитель Саакян С.М.

2. Поурочные планы по геометрии 11 класс по учебнику авторов Л.А. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.Издательство Волгоград «Учитель», 2006 год. Составитель Г.И. Ковалева.

3. Учебник «Геометрия 10-11» Л.А. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселев, Э.Г.Позняк, издательство Москва «Просвещение» , 2007 год.

Приложение 1.

Устная работа.

Подумайте и ответьте на вопросы:

Почему цилиндр называют телом вращения?

( потому что он может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон)

Что из себя представляет основание цилиндра?

(круг)

В курсе черчения вы изучали сечения, подумайте, какое сечение будет у цилиндра, если его разрезать пополам (перпендикулярно оси)?

(круг)

По какой формуле вычисляется площадь круга?

(S = πr²)

Приложение 2.

Презентация к уроку.

Приложение 3.

Закрепление материала (задачи).

Приложение 4.

Самостоятельная работа.

1 вариант.

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 40 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

Решение:

Так как основание квадрат, то h=2r , h=40* /2 = 20 см

r= = = 10 см, S_О = πr² = π(10)²=200π см²

ответ: h=20 см

S_О=200π см²

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 м², а площадь основания – 10 м². Найдите высоту цилиндра.

Решение:

S_О.сеч.= h*2r, S_О = πr², r² = осн, r = м

h = = 20 : 2 = 10 = м

ответ: h= м

3. Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 10, d = 6, AB = 25.

Решение:

КА = = = = = 8 см

АС = 8+8 = 16 см

h = = = =19, 2 см

ответ: h =19, 2 см

2 вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 60 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

Решение:

Так как основание квадрат, то h=2r , h=60* /2 = 30 см

r= = = 15 см, S_О = πr² = π(15)²=450π см²

ответ: h=30 см

S_О=450π см²

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 40 м², а площадь основания – 20 м². Найдите высоту цилиндра.

Решение:

S_О.сеч.= h*2r, S_О = πr², r² = осн, r = м

h = = 40 : 2 =20 = м

ответ: h= м

2. Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 12, d = 6, AB = 30.

Решение:

КА = = = = = 10,3 см

АС = 10,3+10,3 = 20,6 см

h = = = =21, 8 см

ответ: h =21, 8 см

3 вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 80 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

Решение:

Так как основание квадрат, то h=2r , h=80* /2 = 40 см

r= = = 20 см, S_О = πr² = π(20)²=800π см²

ответ: h=40 см

S_О=800π см²

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 60 м², а площадь основания – 30 м². Найдите высоту цилиндра.

Решение:

S_О.сеч.= h*2r, S_О = πr², r² = осн, r = м

h = = 60 : 2 =30 = м

ответ: h= м

3. Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 15, d = 10, AB = 40.

КА = = = = = 11,1 см

АС = 11,1+11,1 = 22,2 см

h = = = =33, 2 см

ответ: h =33, 2 см

4 вариант

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 100 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

Решение:

Так как основание квадрат, то h=2r , h=100* /2 = 50 см

r= = = 25 см, S_О = πr² = π(25)²=1250π см²

ответ: h=50 см

S_О=1250π см²

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 80 м², а площадь основания – 40 м². Найдите высоту цилиндра.

Решение:

S_О.сеч.= h*2r, S_О = πr², r² = осн, r = м

h = = 80 : 2 =40 = м

ответ: h= м

3. Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота – h, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: a) высоту, если r = 5, d = 4, AB = 10.

КА = = = = = 3 см

АС = 3+3 = 6 см

h = = = =8 см

ответ: h =8 см

Приложение 5.

Домашняя работа.

№ 531.

Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм² . найдите радиус цилиндра.

Решение:

АС = = 24 дм, КА = = 12 дм, r = = = = 15 дм

Ответ: r= 15 дм

№540.

Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см² . Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Решение:

h = r + 12

S_п = 288π см²

S_п = S_б + 2 S_осн

288π = 2πrh + 2πr²

288π = 2πr(r + 12) + 2πr²

288π = 2πr² + 24 πr + 2πr²

288π = 4πr² + 24 πr

4πr² + 24 πr - 288π = 0

r² + 6r - 72 = 0

r = = = 6 см

h = 6 + 12= 18 см

ответ: r = 6 см, h = 6 + 12= 18 см

Краткое описание документа:

Конспект урока по математике по теме "Цилиндр".

 В результате изучения главы «Тела и поверхности  вращения» происходит формирование понятий  тел вращения, их сечений, вычисление площадей этих геометрических тел, решения  задач.

В результате изучения параграфа все обучающиеся должны знать понятия цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов ( боковая поверхность, основания, образующие, ось, высота, радиус), должны  знать  формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра, решать задачи по данной теме.

Цель главы: обучающиеся должны уметь решать задачи на нахождение элементов тел вращения, на нахождения площадей боковой и полной поверхности тел вращения.

Проведенный урок «Цилиндр» входит в главу «Тела  и поверхности  вращения» и является 1 по счету.