Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме: "Арксинус. Решение уравнений sin t=a" (10 класс)

Конспект урока по теме: "Арксинус. Решение уравнений sin t=a" (10 класс)



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Арксинус. Решение уравнения sin t =a

Урок математике в 10 классе

Автор: Шудраков Николай Николаевич

Учитель математики МБОУ СШ №12


Цель урока: сформировать у учащихся понятие арксинуса; вывести общую формулу решения уравнения sin t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;

Оборудование: компьютер, проектор, экран, плакат «Числовая окружность», раздаточный материал, презентация «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

Литература:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. М: Мнемозина, 2013.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник. М: Мнемозина, 2013.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий повышенного и высокого уровней сложности. Решения и комментарии: учебно-методическое пособие / Е.Н.Васильева, Л.С. Ольховая. – Ростов-на-Дону: Легион, 2014.


Ход урока


  1. Организационный этап (1 минута)

Приветствие. Проверка присутствующих в классе.


  1. Краткое повторение изученного материала, актуализация опорных знаний (5 минут)


Повторение способов решения уравнения вида sin t = a, (де а – действительное число), с помощью числовой окружности.

  • Решим уравнения: sin t = hello_html_m210ae2b2.gif . hello_html_m1b710b8e.gif

Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости (рисунок 1), получаем пару решений данного уравнения:

hello_html_m469bdcea.gif




Рисунок 1



Введение проблемной ситуации: Любое ли тригонометрическое уравнение вида sin t = a можно решить с помощью числовой окружности? Как решать уравнение sin t = hello_html_13e088dc.gif.

  1. Оглашение темы урока и постановка целей (1 минута)

Сегодня мы с вами узнаем, как решать подобные уравнения, и как записывать решения подобных уравнений.

Тема сегодняшнего урока: «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

Сегодня на уроке мы введем понятие арксинуса; выведем общую формулу решения уравнения sin t = a; выработаем алгоритм решения данного уравнения.


  1. Изучение нового материала (26 минут)

Давайте попробуем решить уравнение sin t = hello_html_13e088dc.gif.

С помощью числовой окружности (рисунок 2) получим:hello_html_25f03078.gif

t = t1 + hello_html_dba6ba8.gif , t = t2 + hello_html_dba6ba8.gif.

где t1 – длина дуги АМ, а t2 – длина дуги АР (так как АР=АС-РС, АС=π, а РС=АМ, получаем что t2 = π- t1 ).

Рисунок 2

Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arcsin а. Читается: арксинус а («arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t1 и t2 записываются следующим образом:

t1 = arcsinhello_html_13e088dc.gif , t2 = π – arcsin hello_html_13e088dc.gif..

Теперь с помощью этого символа корни уравнения sin t = а можно записать так:

hello_html_m4d9ad326.gif


Давайте попробуем ответить на вопрос: «Что же означает arcsin а

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен hello_html_13e088dc.gif и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.hello_html_m372ea7e6.gif

  • Решим уравнение sin t = – hello_html_13e088dc.gif .

Рисунок 3

С помощью числовой окружности (рисунок 3) и символа arcsin а получим:

hello_html_6f380ee0.gif

Ответим на вопрос: «Что же означает arcsin ( - hello_html_13e088dc.gif)

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен ( - hello_html_13e088dc.gif) и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.

Сформулируем определение арксинуса в общем виде:

Если hello_html_m2df272a4.gif , то arcsin а – это такое число из отрезка hello_html_44c78790.gif , синус которого равен а.

Итак:

hello_html_mb1579d0.gif

hello_html_10a82faa.gif

Заметим два обстоятельства:

  1. Дуги АМ и АL равны по длине и противоположны по направлению, значит (рисунок 4)

hello_html_mc82bf92.gif

  1. АК=АС+СК=АС+ LА=

Рисунок 4

=АС-АL=π- arcsin ( - hello_html_13e088dc.gif)


Обобщим полученные выше решения и запишем:

Если hello_html_m2df272a4.gif , то уравнение sin t =a имеет две серии решений:


hello_html_c732ebb.gif


Существует три частных случая, когда решения записывают более простым соотношением, они записаны на форзаце вашего учебника (рисунок 5).


hello_html_77b16807.gif

Рисунок 5

Рассмотрим примеры на вычисление арксинуса.


Пример 1. Вычислите arcsin hello_html_mc861dbb.gif .

Решение:

Пусть hello_html_m533040be.gif

Значит, hello_html_499c6d48.gifпоскольку hello_html_fbdcf8a.gif и hello_html_4acfaf8f.gif Итак, arcsinhello_html_mc861dbb.gif=hello_html_m2d951b4f.gif

Пример 2. Вычислите arcsin hello_html_m45b16fe1.gif. .

Пример 3. Вычислите arcsin 0.


Отметим, что для любого аhello_html_36dfe658.gif справедлива формула:


hello_html_35ae528e.gif


Две полученные выше формулы для решения уравнения можно объединить в одну общую формулу для решения уравнения sin t =a :


hello_html_51d7259.gif


  1. Обобщение изученного материала

Итак, давайте составим алгоритм решения уравнения вида sin t =a :

  • составить общую формулу;

  • вычислить значение arcsin a;

  • подставить найденное значение в общую формулу


Пример 4. Решите уравнение sin t =hello_html_m2d83a303.gif.

Решение:

Составим общую формулу решения:

hello_html_716f5e3f.gif

Вычислим значение арксинуса:

hello_html_m5d0433b4.gif=hello_html_351c7e71.gif

hello_html_3578f63b.gifhello_html_m263d623c.gif

Подставим найденное значение в формулы решений:

hello_html_m1fdb7688.gif

или

hello_html_1e1ac7bc.gif

Пример 5. Решите уравнение sin t =hello_html_b3b8f36.gif.

Пример 6. Решите уравнение sin t =hello_html_637c5c12.gif.

Пример 7. Решите уравнение sin t = - 1,2.



  1. Домашнее задание

§16, с. 92 – 98. (изучить теоретический материал).

16.2 (в,г),16.5 (в,г), 16.6 (в,г)


  1. Итоги урока

Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арксинуса; вывели общую формулу решения уравнения sin t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.

Спасибо за урок!




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 20.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров291
Номер материала ДВ-358923
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх