1179061
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 3540 руб.

268 курсов повышения квалификации от 840 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Инфоурок Алгебра КонспектыКонспект урока по теме «Методы решения уравнений" (11 класс)

Конспект урока по теме «Методы решения уравнений" (11 класс)

библиотека
материалов

Разработчик: Рабцун Лидия Васильевна, учитель математики

Урок повторения в XI классе по теме «Методы решения уравнений»


Разработка урока

  • Предмет: алгебра

  • Класс: 10

  • Тема: Методы решения уравнений

  • Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Методы решения уравнений»

  • Цель урока: закрепление основных приёмов и методов решения уравнений.

  • Задачи:

  • Образовательная:

  • 1. Проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Методы решения уравнений»

  • 2. Проверить умение выполнять арифметические действия с целыми и дробными числами, проверить умение выполнять преобразование тригонометрических выражений, выражений, содержащих модуль и корни.

  • Развивающая:
    1. Развивать логическое мышление.

  • 2. Активизировать мыслительную деятельность, познавательную активность.

  • 3.Формировать навыки самоконтроля, адекватной самооценки и саморегуляции собственной деятельности.

  • Воспитательная:
    1. Воспитывать аккуратность, трудолюбие.

  • 2. Развивать общую культуру личности.

  • 3. Способствовать толерантному воспитанию учащихся.


  • Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, парная.

  • Средства: компьютер, интерактивная доска, набор индивидуальных карточек, презентация к уроку, наглядные пособия,




Ход урока:


  1. Организационный момент.

Сегодня мы поговорим об общих целях, общих методах, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по XI класс. При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания (вопрос о проверке корней следует рассмотреть отдельно, на других уроках).

Мы рассмотрим два метода: метод разложения на множители и метод введения новых переменных.


Метод разложения на множители


Суть этого метода заключается в следующем: пусть надо решить уравнение hello_html_mbc071d9.gif и пусть hello_html_m5b6ef556.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Тогда уравнение hello_html_mbc071d9.gif можно заменить совокупностью более простых уравнений:hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m4bcce1ca.gif

Найдя корни уравнений этой совокупности и отобрав из них те корни, которые принадлежат области определения уравнения hello_html_mbc071d9.gif, мы получим корни исходного уравнения.


  1. Актуализация знаний учащихся


Решить уравнение:

1. hello_html_m738790dc.gif

Решение.

hello_html_2d2aec1.gif

hello_html_72818fcf.gif

hello_html_m42e4d30c.gifили hello_html_m3c4e6581.gif

hello_html_m8f00a6.gif hello_html_m6341bba6.gif

Ответ: -3; hello_html_399f0b4c.gif; hello_html_1caef8ee.gif


2. hello_html_m449fd347.gif

Решение:

hello_html_m46847a87.gif

hello_html_662af800.gifили hello_html_3c45769b.gif

D=25

hello_html_m292e7e14.gif

Ответ: -1; hello_html_m3d4efe4.gif; hello_html_42567408.gif.

3. hello_html_m1d41761b.gif

Решение:

hello_html_59771d38.gif

hello_html_m3647674c.gif

hello_html_maad7b0b.gif

hello_html_m69e487f3.gif или hello_html_m5ea780c8.gif

hello_html_36c3a5d6.gif hello_html_m3418af75.gif

hello_html_194c1c57.gif hello_html_43db3ab5.gif

Ответ: hello_html_m57bcb875.gif; hello_html_m3a1f2431.gif; 1; 3.

4. hello_html_55208c05.gif

Решение:

hello_html_dba67e4.gif

hello_html_m5904b298.gif или hello_html_3fa3f8f3.gif

hello_html_m5a93e4e3.gif

hello_html_mc0beeb6.gif

hello_html_m52630b19.gif

hello_html_m74aeb89.gif

а) hello_html_6534ff5c.gif б) hello_html_34d4ddc9.gif

hello_html_3263c342.gif hello_html_m273eb668.gif

Ответ: -2; hello_html_m270d28b7.gif; 0; hello_html_m980c3de.gif; 2.

5. hello_html_m132101d7.gifО.Д.З. hello_html_m9bb7129.gif

Решение:

hello_html_1d02742.gifили hello_html_m731c59d4.gif или hello_html_m5904b298.gif

hello_html_cede255.gif hello_html_ae7f5ee.gif

hello_html_m27353acd.gif

Ответ: 0; 1; 7.

6. hello_html_m11d5567c.gif

Решение:

hello_html_m7fc2b645.gif

hello_html_m7f3675d1.gif

hello_html_4e8fe023.gif

hello_html_7d372349.gifили hello_html_7fb87648.gif

hello_html_m27353acd.gif hello_html_29708a2a.gif

Ответ: -3; 1; 2.

7. hello_html_224a8fd7.gif

Решение:

Прибавим и отнимем hello_html_m2e6cc3b4.gif. Число 63 представим как 63=64-1.

hello_html_13f387ad.gif

hello_html_m4fa371db.gif

hello_html_277bc79.gif

hello_html_5a87cb1d.gif

hello_html_m67829403.gif

hello_html_17fef2b2.gifили hello_html_215cfd66.gif

D<0. D<0

Ответ: нет действительных корней.

8. hello_html_1a6abee3.gif

Решение:

hello_html_m73dc7df8.gif

hello_html_m305dc0aa.gif

hello_html_7035811c.gif

hello_html_m40f5aca4.gif

hello_html_m8f00a6.gifили hello_html_m42ddbf50.gif

D=121, hello_html_m57a2bcb3.gif

9. hello_html_4a4b92e9.gif

Решение:

hello_html_m27353acd.gif- корень уравнения hello_html_m7c1f2286.gif : hello_html_m2594aa4b.gif

hello_html_3f2601bd.gif

hello_html_m27353acd.gif или hello_html_1b145716.gif

hello_html_26576e67.gif

hello_html_373bf642.gif

Ответ: hello_html_m517b2f35.gif.

10. hello_html_mcd3243a.gif

Решение:

hello_html_m17f01a6d.gif

hello_html_m4cc32ef9.gif

hello_html_227cb1af.gif

hello_html_558c3e55.gif

hello_html_5dc0bdde.gif

hello_html_m6583b27c.gif или hello_html_3b1b3511.gif

hello_html_83a24f1.gif hello_html_533add11.gif

hello_html_5ab530c4.gif или hello_html_m62fa88e8.gif

hello_html_m42b2fb16.gifhello_html_m55b21a2f.gif

hello_html_madb38ea.gifhello_html_m3c0ce2c0.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: hello_html_m143f8a8d.gif

hello_html_m4f7a0b76.gif.

11. hello_html_5d9d5aa8.gif

Решение:

hello_html_m56e4767b.gif

hello_html_1e85665.gif

hello_html_m5b0afff7.gif

hello_html_m5d60b1a4.gif

hello_html_m62fa88e8.gif или hello_html_m7a81662a.gif

hello_html_m787981fc.gif hello_html_m2166f8.gif

hello_html_38a09a31.gif hello_html_225ea612.gif

Ответ: hello_html_m1d6741e2.gif

12. hello_html_587073f5.gifhello_html_m44a6c48b.gif

Решение:

hello_html_m2cb00e2d.gif

hello_html_73e7fd19.gif

hello_html_m274bfefc.gif или hello_html_m1bb9647.gif

hello_html_6626a840.gif hello_html_62628567.gif

hello_html_7e50a8fa.gif hello_html_m2b752bd2.gif

Ответ: -4 и 4.

13. Решить систему уравнений hello_html_m38309eac.gif

Решение:

hello_html_28c15f8d.gif

Пусть hello_html_m3b787fd5.gif и учитывая, что

hello_html_a7bf1c8.gif запишем исходную систему иначе:

hello_html_57b70998.gif

Отсюда hello_html_mb19ecbb.gif и тогда hello_html_m7ec93abd.gif

Таким образом, исходная система равносильна системе hello_html_m13353211.gif

Эта система распадается на две:

hello_html_m779fd94e.gif и hello_html_m6aac78e0.gif

Ответ: (4;3); (3;4).


Метод введения новых переменных


Суть метода очень проста: если уравнение hello_html_mbc071d9.gif удалось преобразовать к виду hello_html_177489a0.gif, то нужно ввести новую переменную hello_html_me5c08c0.gif, решить уравнение hello_html_2ba825db.gif, а затем рассмотреть совокупность уравнений:

hello_html_1f03a1fc.gif , где hello_html_4869191d.gif - корни уравнения hello_html_2ba825db.gif

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких-либо преобразований.

Бывает полезно так же ввести не одну, а две переменные.

Решить уравнение:

1. hello_html_m4ca353f.gif

Решение:

hello_html_738b770c.gif при hello_html_m3742561f.gif

Ответ: нет корней.

2. hello_html_m2fa9a928.gif

Решение:

hello_html_m5a93e4e3.gif hello_html_me8f0751.gif

hello_html_m2d7b1fe2.gif

1) hello_html_m3d59f967.gif 2) hello_html_793128ae.gif

hello_html_m6ddfe467.gif hello_html_m7abf63f5.gif

Ответ: -4;-1;1;4.

3. hello_html_7081c6ec.gif

Решение::

Пусть hello_html_1717be80.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_7229feee.gif

hello_html_7cd48c35.gif

4. hello_html_m2225068d.gif

Решение:

hello_html_m5a73bb68.gif

hello_html_m1a65afd5.gif

Пусть hello_html_621e6967.gif

hello_html_181f424b.gif

D=9, hello_html_3b5433e3.gif - посторонний корень

1) hello_html_m548eee5b.gif,

hello_html_m1c3fccd8.gif

Ответ: hello_html_m70bd62bf.gif

5. hello_html_aeca66f.gif

Решение:

Пусть hello_html_1846feda.gif, тогда уравнение примет вид: hello_html_m150b281d.gif

hello_html_13899008.gif

hello_html_679fe92a.gif

hello_html_171c6368.gif

hello_html_m1d5e3dfc.gif

hello_html_5150f000.gif -9 – посторонний корень

1) hello_html_m5a549a53.gif

hello_html_1490658a.gif

hello_html_49ae62d3.gif

Ответ: -1 и 2.


Рассмотрим несколько уравнений, где применение метода введения новых переменных не так очевидна.

6. hello_html_74c3a15f.gif

Решение:

Данное уравнение – симметричное, оно является уравнением четвертой степени. Разделим обе части уравнения на hello_html_25a0bda3.gif. Получим

hello_html_m7846c0cf.gif

hello_html_m2c117504.gif

hello_html_m6f7aed02.gif

Пусть hello_html_4bd00c3a.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_75da4643.gif

hello_html_m5927739a.gif

1) hello_html_m1c798e47.gifhello_html_14ae0821.gif 2) hello_html_m11ba7552.gif

hello_html_m1648dc0c.gif hello_html_m7a2e91f.gif

D=5 D<0

hello_html_10138621.gif

Ответ: hello_html_m2ce324f2.gif

7. hello_html_m6b7ac0c0.gif

Решение:

Пусть hello_html_2d795f22.gif

Уравнение примет вид: hello_html_5b327da1.gif

Значит, hello_html_m4c1e88e7.gif

hello_html_m2730e30e.gif

hello_html_m6c68c292.gif

hello_html_6ec28905.gif

Ответ: hello_html_479179f1.gif

8. hello_html_77ddf9f6.gif

hello_html_78cd765c.gif

hello_html_3afae353.gif

Пусть hello_html_m6688d259.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_2805cf14.gif

hello_html_m4f765d53.gif

1) hello_html_m33f65bd6.gif 2) hello_html_m52aceecd.gif

hello_html_m69370ebe.gif hello_html_6e8cb520.gif

D<0 hello_html_mbd9ddec.gif

hello_html_m5904b298.gif или hello_html_m6d656e30.gif

Ответ: -5;0

9. hello_html_1bd1ae17.gif

Решение:

hello_html_13dd827d.gif : hello_html_25a0bda3.gif

hello_html_23847617.gif

hello_html_m5f29c0b1.gif

Пусть hello_html_5da18830.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m410d68d8.gif

hello_html_m50d2315c.gif

hello_html_m64d2b8a2.gif

1) hello_html_m686551a8.gif 2) hello_html_679d6c10.gif

hello_html_m21399faf.gif hello_html_4502ee7d.gif

hello_html_m1c31f1a6.gif hello_html_54bca310.gif

Ответ: hello_html_587673d9.gif

10. hello_html_m148e3a86.gif

Решение:

hello_html_m587f3c20.gif

hello_html_m66498a28.gif

hello_html_61a34fc3.gif

hello_html_m444058d0.gif

hello_html_m19aa4ce4.gif

hello_html_7bfe91c.gif

hello_html_54b8088c.gif

hello_html_77227926.gif

hello_html_1a5ca500.gif

hello_html_mc30e41.gif- посторонний корень

hello_html_35410830.gif

1) hello_html_m44f791a.gif

hello_html_44cd2df0.gif

hello_html_m42cddbb9.gif или hello_html_mbbfc8bf.gif

hello_html_m334ce1bf.gif hello_html_ede5c7c.gif

Ответ: 6; 8.

11. Решить уравнение

hello_html_1199d9b1.gif : hello_html_25a0bda3.gif

hello_html_m97aa7c5.gif

hello_html_54be231e.gif

Пусть hello_html_68edeef9.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_342b9aba.gif

hello_html_a67fc74.gif

hello_html_3dd4fcc5.gif 1) hello_html_m21e9bff7.gif. 2) hello_html_816e9ef.gif

hello_html_2f83afd8.gif hello_html_1939add5.gifhello_html_7509ff72.gif

D=9

hello_html_58c698c6.gif hello_html_m40b739c7.gifhello_html_195c9973.gif

hello_html_m55a6acf3.gif

Ответ: 0,5; 2.

12. hello_html_m6361414.gifhello_html_7d9cb5e.gifhello_html_154b2e69.gif

Решение:

hello_html_m592be4b4.gif

hello_html_78729bf9.gif

hello_html_m20850307.gif

Пусть hello_html_f177a0d.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m24b9d3f3.gif

hello_html_2b0c2a04.gif

hello_html_m290ad5d4.gif

1) hello_html_13642b4b.gif

hello_html_1c9f03c9.gif

D=76

hello_html_m3234c90d.gif

2) hello_html_6b8cde27.gif

hello_html_37663292.gif

D=400-720<0

Ответ: hello_html_3c0b96fc.gif

13. hello_html_m45c96245.gif

Решение:

Пусть hello_html_1284d04b.gif

hello_html_m30854dbd.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m20bc7c38.gif

hello_html_m3bf2c987.gif (разложим на множители)

hello_html_2a2b2bb5.gif

hello_html_507956e7.gif

hello_html_m2a479b50.gif

hello_html_fed8fe2.gif

hello_html_m18849d5f.gif или hello_html_mdecec89.gif

1) hello_html_3117b43a.gif 2) hello_html_m56d9c730.gif

hello_html_623128a0.gif hello_html_m3e53cb11.gif

hello_html_m243c3222.gif hello_html_4afe5689.gif

D=1 hello_html_m4de6f6d2.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_6644cc5.gif hello_html_m413d78f9.gif

hello_html_m4e077405.gif

Ответ: -1; 0,5; 2; 4.


Можно решить иначе: разделить обе части уравнения на hello_html_m43fd296d.gif

Получим: hello_html_7135f094.gif

Пусть hello_html_m46341ca5.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m33104da1.gif

hello_html_773511e1.gif

hello_html_m136584a.gif и т.д. (дальнейшее очевидно)

14. hello_html_m504d99a8.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m789c1a10.gif

hello_html_67565fcb.gif

Решение:

Заметим, что hello_html_66a2c9e7.gif

Пусть hello_html_4a7ebc96.gif

hello_html_m553e3c54.gif

Тогда hello_html_6a1fc34b.gif

hello_html_m33d3be3e.gif и

hello_html_534a12a6.gif

hello_html_3774bd52.gif, но hello_html_m7e9b128f.gif

hello_html_5f9630da.gif

hello_html_m4117ebd8.gif

hello_html_2247e244.gif

hello_html_m1b931e71.gif

hello_html_28c94f0d.gif

hello_html_28c94f0d.gif

hello_html_b6f3a03.gif

hello_html_m4a603dc4.gif, hello_html_m1ee175cd.gif

hello_html_m4deb529d.gif

hello_html_243cd858.gif

hello_html_5c622938.gif hello_html_5247fadf.gif

hello_html_m302bd0f1.gif

Уравнение не имеет корней

hello_html_4b0dda8e.gif

hello_html_9006e1f.gif

hello_html_14081375.gif

hello_html_m5d11b8b5.gif

hello_html_1e84d053.gif

hello_html_m759acf2.gif

hello_html_m5e81519.gif

D/4=hello_html_m2d76c846.gif

hello_html_43076730.gif

Ответ: 3; 143.

15. hello_html_491f6a81.gif

Решение:

hello_html_2e7ed724.gif. Тогда уравнение примет вид:

hello_html_mb3b0c8.gif hello_html_262a84ff.gif

hello_html_5025337c.gif

hello_html_d1b48eb.gif

hello_html_783ea2bb.gif

Итак, исходное равенство будет верным, если выполняется система

hello_html_m6ca80050.gif

hello_html_42d197a9.gif

hello_html_2abfdaad.gif

1) hello_html_m255aa90f.gif

2) hello_html_6e34aaed.gif

hello_html_d18710.gif

hello_html_m1235e003.gif

D=4

hello_html_m4d2ffd3a.gif

Если hello_html_m6ec5be7.gif, то hello_html_6cd23248.gif

Если hello_html_m111b27a2.gif, то hello_html_m1c42ac94.gif

1) hello_html_6cb21236.gif; hello_html_m62a72231.gif

2) hello_html_3a14d2f4.gif и hello_html_714f1db0.gif

Ответ: 2; 28.

Решение иррациональных уравнений также можно упростить с помощью удачно выбранной тригонометрической подстановки, т.е. переменные уравнения заменяются на значения каких-либо тригонометрических функций.

16. hello_html_51cec799.gif

Решение:

Пусть hello_html_577d66bf.gif. Замена возможна, т.к. hello_html_1a7013f.gif. Тогда hello_html_me55e827.gif

hello_html_m544f8543.gif

hello_html_7df7a9ea.gif hello_html_7800892a.gif

Значит, hello_html_22c469aa.gif

hello_html_m5da0a110.gif

hello_html_m1e480e4a.gif

hello_html_m1b85a71c.gif

1) hello_html_4ab5c002.gif 2) hello_html_12921a16.gif

hello_html_m7c6cd2ce.gif hello_html_m2fa7f32e.gif

hello_html_7237cdbf.gif hello_html_m5be63b9.gifhello_html_2a4f9bfb.gif

Тогда корни: hello_html_39a0fb34.gif

Откуда имеем: hello_html_m451de5bc.gif

hello_html_m1d1d8ab.gif

hello_html_m78d68964.gif

Ответ: hello_html_m2588499e.gif

17. hello_html_m344d09d7.gif(1)

Решение:

Полагая hello_html_m1e4dce16.gif, преобразуем систему (1) к виду

hello_html_m4e6f6e0c.gif (2)

hello_html_m11b0454c.gif

hello_html_m2a02d1e7.gif

hello_html_m70a15edb.gif

1) hello_html_m232f9830.gif

hello_html_m6954b80f.gif, тогда

hello_html_39ec3cf.gif

Значит, hello_html_4fcb7c4d.gifhello_html_m6d893361.gif

И hello_html_m16d16804.gifhello_html_55b86619.gif

Ответ: (2;3), (3;2).


Задания для самостоятельной работы. Домашнее задание


Решить уравнение:

1. hello_html_3517633.gif

2. hello_html_mde955e8.gif

3. hello_html_m118a75e8.gif

4. hello_html_40bbf0ed.gif

5. hello_html_m38e0b24.gif

6. hello_html_61d9239b.gif

7. hello_html_125ecae.gif

8. hello_html_m2a201ac2.gif

9. hello_html_528c1428.gif

10. hello_html_7ddbb579.gif

11. hello_html_m69ee0e60.gif

12. hello_html_3be4cfa2.gif

13. hello_html_m7e83f83c.gif

14. hello_html_m3ce03f52.gif

15. hello_html_65d1f7bb.gif

16. hello_html_53ba3249.gif

17. hello_html_m660e548b.gif


III. Итог урока




За два часа работы учащиеся углубили свои знания и умения по решению уравнений двумя способами: способом разложения на множители и способом замены переменных, что способствует формированию умений решать уравнения различного типа высокого уровня сложности.

Предложенные задания как устные, так и письменные способствовали развитию логического мышления и познавательной деятельности.

Выполнение заданий формировали ответственность, глубину мысли, самостоятельность, аккуратность, требовательность в работе.



hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gif




hello_html_m53d4ecad.gif



hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gif





hello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_m53d4ecad.gif


Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Данная разработка включает общие цели, общие методы, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по XI класс. При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания. Мы рассмотрим два метода: метод разложения на множители и метод введения новых переменных.

Метод разложения на множители

Суть этого метода заключается в следующем: пусть надо решить уравнение и пусть

Тогда уравнение можно заменить совокупностью более простых уравнений:

Найдя корни уравнений этой совокупности и отобрав из них те корни, которые принадлежат области определения уравнения , мы получим корни исходного уравнения.

Общая информация
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.