Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме "МОДУЛЬ"

Конспект урока по теме "МОДУЛЬ"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

План-конспект урока

Предмет – Алгебра и начала анализа.

Класс – 10.

Тема: «Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля».

Учебно-методический комплект автора А. Г. Мордковича.


Цель урока:

  • изучить методы решения уравнений и неравенств, содержащие модуль;

  • рассмотреть различные примеры их применения.

Задачи урока:

  • рассмотреть понятие модуля;

  • рассмотреть методы решения уравнений и неравенств данного вида;

  • применить изученные методы к конкретным примерам.


Ход урока:

I. Сообщение темы урока.

II. Содержание учебного материала:

  • модуль числа и его свойства;

  • методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.


План-конспект

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Модулем (абсолютной величиной) числа а называется само число а, если а ≥ 0, и число –а, если а < 0.

Свойства:

10. |а| ≥ 0.hello_html_mc5956c.gif.

20. |а  b| есть расстояние между точками a и b числовой оси; в частности, |а| равен расстоянию от точки а до точки 0 числовой оси (геометрический смысл модуля).

30. |–а| = |а|.

40. |аb| = |а|·|b|; hello_html_dbe5a7.gif (b0).

50. |а|2 = а2 = |а2|.

60. hello_html_m3f10ccc9.gif

70. hello_html_7a12ffdd.gif

80. hello_html_m5ab45920.gif

90. hello_html_2cf0fa76.gif

100. hello_html_m3706795c.gif, причем hello_html_m27674ef6.gif

Из определения и свойств модуля вытекают основные методы решения уравнений и неравенств с модулем:

  1. «раскрытие» модуля (т. е. использование определения);

  2. использование геометрического смысла модуля (свойства 2);

  3. использование равносильных преобразований (свойства 6-10);

  4. замена переменной (при этом используется свойство 5).

Традиционным является «раскрытие» модуля (метод интервалов). Суть метода заключается в том, что числовая ось разбивается на несколько интервалов нулями функций, стоящих под знаком модуля в данном уравнении (неравенстве). На каждом из этих интервалов любая из указанных функций либо положительна, либо отрицательна. Поэтому каждый из модулей раскрывается либо со знаком плюс, либо со знаком минус. Таким образом, остается найти решение уравнения (неравенства) на каждом интервале и объединить эти решения.


Пример 1. Решить неравенство:

hello_html_m6e66fb23.gif

Рhello_html_3a8abd9b.gifешение.






Рассмотрим четыре случая.

1. hello_html_m76eede86.gif

2. hello_html_36fb4a59.gif

3. hello_html_5c6eb176.gif

4. hello_html_3a890aec.gif

Объединим эти решения:

hello_html_m47920760.gif




Ответ: hello_html_m15ecd407.gif.


Пример 2. Решить уравнение:

hello_html_1ec9406f.gif

Решение.

Пусть hello_html_m110e71b5.gif. Тогда уравнение примет вид hello_html_m78f75fba.gif. Воспользуемся геометрическим смыслом модуля: найдем все точки числовой оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек 0 и 4 равна 10.

hello_html_m3693b5c7.gif





Очевидно, искомые точки лежат вне отрезка [0; 4]. Рассмотрим точку, лежащую левее точки 0 на оси. Пусть эта точка – искомая. Тогда сумма расстояний от нее до точек 0 и 4 складывается из длины отрезка [0; 4] и удвоенного расстояния до точки 0. Таким образом, расстояние от искомой точки до точки 0 равно hello_html_6af393cf.gif. Поэтому искомой точкой является -3.

Очевидно, что вторая искомая точка – это точка 7. Итак,

hello_html_880d74b.gif

hello_html_mc0cfca3.gif

Ответ: {–4; –2; 1; 3}.

Решением примера 2 методом интервалов оказалось бы значительно более громоздким. Вообще, использование геометрического смысла модуля является целесообразным при решении уравнений и неравенств, левая часть которых представляет собой сумму вида

hello_html_49e0c3d1.gif

(либо одно из слагаемых), а правая часть равна некоторому положительному числу.

Пример на применение свойства 5.


Пример 3: Решить уравнение:

hello_html_590b973d.gif.

Решение: Уравнение равносильно следующему:

hello_html_m700cf4e4.gif.

Пусть hello_html_m9cc6129.gif, hello_html_m277f51dd.gif. Тогда hello_html_m41115a6f.gif, и уравнение примет вид:

hello_html_m4f00e8a6.gif

Но hello_html_m277f51dd.gif, поэтому hello_html_m573add1e.gif, откуда

hello_html_m4bd08a6c.gif

Ответ: {1; 3}.


Свойство 5 целесообразно использовать при решении уравнений и неравенств вида hello_html_m74390c04.gif.

Второй основной метод решения уравнений и неравенств с модулем заключается в использовании равносильных преобразований (свойства 6-10).


Пример 4. Решить уравнение (неравенство):

а) hello_html_73037b3c.gif

б) hello_html_73a6c2df.gif

в) hello_html_4d57f725.gif

г) hello_html_3a3854c9.gif

д) hello_html_m5fac110e.gif


Решение: а) Так как обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат является равносильным преобразование:

hello_html_m7b3ff557.gif

hello_html_m764bfd9d.gif

hello_html_35895c8f.gif

Решим последнее неравенство методом интервалов:

hello_html_m1dcd096e.gif




Ответ: hello_html_m13deecb6.gif.

Были использованы свойства 5 и 9.

б) hello_html_7ea8d65e.gif

Ответ: {2; 6}.


в) hello_html_3f912ac1.gif

Рhello_html_m421db7dc.gifешим второе неравенство последней совокупности методом интервалов:




Объединяя найденные решения с решением неравенства hello_html_m48e9a780.gif, получим ответ.

Ответ: hello_html_m5cf09bd4.gif.


г

(1)

(2)

) hello_html_52cefaf0.gif


Решим (1) методом интервалов:

hello_html_261a1e5c.gif




Решим (2) методом интервалов:

hello_html_m74034a29.gif




Найдем пересечение решений:

hello_html_afe5fe3.gif





Ответ: hello_html_5c75dc1b.gif.


д) Перепишем уравнение (так как hello_html_m6dd611d0.gif):

hello_html_7e2f9de6.gif.

Из свойства 10:

hello_html_m3db7ce9a.gif.

Тогда уравнение равносильно неравенству:

hello_html_58ca7d0e.gif

hello_html_m253131d1.gif

hello_html_m7987a4d7.gif.

Метод интервалов дает:

hello_html_m30a7d7ae.gif




Ответ: hello_html_1a4719e7.gif.


В примере 4 а-г применение метода интервалов привело бы к существенно сложным и громоздким выкладкам. Какой из двух основных методов предпочтительнее, зависит от вида уравнения (неравенства). Метод интервалов наиболее рационален при решении уравнений и неравенств с модулем, содержащих более одного знака абсолютной величины, если под знаками модуля находятся линейные функции. Если же функция под знаком модуля более сложная (например, квадратный трехчлен), то, скорее всего, более рационально использование равносильных преобразований.


III. Закрепление рассмотренных методов решений уравнений и неравенств.


Упражнения для самостоятельной работы в классе и дома


  1. Решите уравнение (неравенство):

а) hello_html_76608bcb.gif г) hello_html_m8e58adf.gif

б) hello_html_mc0f592e.gif д) hello_html_2404bd61.gif

в) hello_html_m57457965.gif е) hello_html_7a4da5d7.gif

  1. Решите уравнение (неравенство):

а) hello_html_m7ea6b71f.gif

б) hello_html_3600c885.gif

в) hello_html_m68cdc991.gif

г) hello_html_m94e0bcc.gif

  1. Решите уравнение (неравенство), используя геометрический смысл модуля:

а) hello_html_39709e0d.gif к) hello_html_m389f03d9.gif

б) hello_html_7c40353c.gif л) hello_html_m3ec9b2aa.gif

в) hello_html_44e1d7a9.gif м) hello_html_m4d3bebd5.gif

г) hello_html_1c83904b.gif н) hello_html_m2f90a2e3.gif

д) hello_html_2fb645dd.gif о) hello_html_m2bfd6b3c.gif

е) hello_html_m12444eb1.gif п) hello_html_m5dfc08c3.gif

ж) hello_html_m34b90c18.gif р) hello_html_6b898d85.gif

з) hello_html_m69629dbe.gif с) hello_html_m625f758a.gif

и) hello_html_52e47188.gif

  1. Решите уравнение (неравенство) методом интервалов:

а) hello_html_m71e62b76.gif

б) hello_html_m1ec691f1.gif

в) hello_html_346a411f.gif

г) hello_html_m2113bf8f.gif

  1. Решите уравнение (неравенство), используя замену переменной:

а) hello_html_24c7da96.gif в) hello_html_m757a9f07.gif

б) hello_html_m1c2f8500.gif г) hello_html_6c99f9f1.gif

  1. Решите уравнение (неравенство), используя равносильные преобразования:

а) hello_html_m42efed8.gif и) hello_html_m685363e7.gif

б) hello_html_m614f9cad.gif к) hello_html_c6a97a8.gif

в) hello_html_1e6a7c43.gif л) hello_html_4975d486.gif

г) hello_html_3e327d59.gif м) hello_html_1c574eb8.gif

д) hello_html_780477d0.gif н) hello_html_61c70233.gif

е) hello_html_m70445ebd.gif о) hello_html_6b9da893.gif

ж) hello_html_m434ce77c.gif п) hello_html_m25284b30.gif

з) hello_html_m5bd8d727.gif

Ответы для самоконтроля:

1. а) hello_html_91811b1.gif; б) hello_html_6d356074.gif; в) hello_html_m666dc200.gif; г) hello_html_2462978b.gif; д) hello_html_91811b1.gif; е) hello_html_6d356074.gif.

2. а) hello_html_59215ba5.gif; б) hello_html_m58c9a69.gif; в) hello_html_5ec6239f.gif; г) hello_html_79a42df3.gif.

3. а) hello_html_3e20eded.gif; б) hello_html_4c8f81a.gif; в) hello_html_3726d272.gif; г) hello_html_19642718.gif; д) hello_html_7116546f.gif; е) hello_html_m14496b01.gif; ж) hello_html_5bd8c28.gif; з) hello_html_528ecd84.gif; и) hello_html_m25543b20.gif; к) hello_html_4cb4aed0.gif; л) hello_html_m23c85e5b.gif; м) hello_html_m1f81ae38.gif; н) hello_html_716ea5d9.gif; о) hello_html_m76fe422c.gif; п) hello_html_mac8c847.gif; р) hello_html_37d90b6b.gif; с) hello_html_m1ae80442.gif.

4. а) hello_html_mffa58fb.gif; б) hello_html_7d408202.gif; в) hello_html_m4cbf283b.gif; г) hello_html_m5ac7ae3d.gif.

5. а) hello_html_1ebac7a.gif; б) hello_html_1cc934bf.gif; в) hello_html_420bd9c1.gif; г) hello_html_1c21efad.gif.

6. а) hello_html_1ebac7a.gif; б) hello_html_310ef93d.gif; в) hello_html_33e45b4b.gif; г) hello_html_m497bc439.gif; д) hello_html_4544ac24.gif; е) hello_html_m1d63715d.gif; ж) hello_html_62e61447.gif; з) hello_html_d70694.gif; и) hello_html_m25ca4c1a.gif; к) hello_html_m643490f3.gif; л) hello_html_44a901a9.gif; м) hello_html_m552bacb2.gif; н) hello_html_14dff621.gif; о) hello_html_30ebd840.gif; п) hello_html_m5a6709ea.gif.


IV. Домашнее задание.

5.10( в ;г) 5.15 ( б ;г ) 5.17 ( в ; г )


Подведение итогов


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 10.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров229
Номер материала ДВ-047009
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх