Конспект урока по теме «Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница»

ОГБПОУ СОТА

Конспект урока по теме: «Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница»

Разработала:

Осипян К.В., преподаватель ОГБПОУ СОТА

Смоленск

2020 г.

Конспект урока по теме: «Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница»

Цель урока:

Образовательная - сформировать понятие определенного интеграла, отработать навыки вычисления определенного интеграла; ввести формулу Ньютона-Лейбница, рассмотреть свойства определенного интеграла.

Развивающая - создать условия для развития мышления (умения строить аналогии, систематизировать и обобщать), развить познавательный интерес.

Воспитательная - воспитать осознанное отношение к учебной деятельности.

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

Как видно на графиках (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) - F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a). Полученное число и будет определённым интегралом.

При a = b по определению принимается

Свойства определённого интеграла

Свойство 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Свойство 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

Свойство 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

Свойство 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если   то                   

Свойство 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется (т.е. по модулю), а изменяется лишь его знак, т.е.

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Пример 2: 

Пример 3

Вычислить определенный интеграл

Решение:

)

Пример 4

Задание для самостоятельного решения:

1.      Вычислите интеграл   .   

2.      Вычислите интеграл   .                 

3.       Вычислите интеграл   .                

4.      Вычислите интеграл   .                

5.      Вычислите интеграл   .             

6.      Вычислите интеграл   .  

7.      Вычислить интеграл

8.      Вычислить интеграл            

Краткое описание документа:

Цель урока:Образовательная - сформировать понятие определенного интеграла, отработать навыки вычисления определенного интеграла; ввести формулу Ньютона-Лейбница, рассмотреть свойства определенного интеграла. Развивающая - создать условия для развития мышления (умения строить аналогии, систематизировать и обобщать), развить познавательный интерес. Воспитательная - воспитать осознанное отношение к учебной деятельности.