Конспект урока по теме "Понятие производной"

План-конспект урока

Тема урока: «Понятие производной»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели:

ü  Образовательные: изучить задачи, приводящие к понятию производной; определить новую математическую модель; добиться понимания геометрического и физического аспектов вопроса

ü  Воспитательные: продолжить воспитывать познавательную активность, самостоятельность,  диалоговую культуру, интерес к предмету, поисково-познавательную деятельность.

ü   Развивающие: развивать умение интегрировать знания из курсов математики и физики и применять их на практике; продолжить развивать логическое  мышление, коммуникативные навыки, математическую логику и речь, внимание и кругозор учащихся.

Оборудование:  мультимедиа проектор, учебник под редакцией А.Г.Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс (базовый уровень)

Методы обучения:  частично – поисковый, объяснительно – иллюстративный.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.

Структура урока:

I. Организационный момент (1-2 мин.)

II. Актуализация и проверка усвоения изученного материала(5-6 мин.)

III. Устная работа класса (5-7 мин.)

IV. Изучение нового материала  (20-25 мин.)

V. Подведение итогов урока (2-3 мин.)

VI. Домашнее задание (1-2 мин.)

Ход урока:

Деятельность учителя	Деятельность ученика
Организационный момент
Приветствие класса учителем; отмечает с дежурными отсутствующих.	Приветствие классом учителя; подготовка доски; дежурные отмечают отсутствующих, вместе с учителем.
Актуализация и проверка усвоения изученного материала
Проверка домашнего задания.	Решение у доски задач, которые вызвали затруднения при работе дома.
Устная работа класса
1.Дайте определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл. (Графики на  интерактивной доске  Слайд №2) 2.Дайте определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке? 3.Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.	1. Пусть дана функция   , в области определения которой содержится луч [а; ), и пусть прямая у = b является  горизонтальной асимптотой графика функции : . И говорят: предел функции  при стремлении х к плюс  бесконечности равен b) Если же дана функция   , в области определения которой содержится луч (-; а], и прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции , то в этом случае: . И говорят, что предел функции  при стремлении х к минус бесконечности равен b) 2. Число b называют пределом функции  при стремлении х к а,  = b   Функцию   называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение 3.Пусть функция  определена в точках  и . Разность  называют приращением аргумента (при переходе от точки  к ), а разность  называют приращением функции.
Изучение нового материала
Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления. С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю. (Слайд 3) Впервые название этой модели  и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального  исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I   организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница. Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной: Задача о скорости движения. (Слайд 4) Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S(t),  т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t. Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М. Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS. Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS. Что можно найти, зная эти два значения?  , т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени . Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден. В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.(Слайд 5) Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt, т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени: v = S′ (t)   Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции . (Слайд 6) Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику (Слайд 7) Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = kсекх +b, где kсек – угловой коэффициент секущей, kсек =∆y/∆x = tg αсек, где αсек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления  оси Ох против часовой стрелки). Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: = kкас, причем kкас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох. Значит, kкас = tg α =                                  (Слайд 8) Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке:  kкас = tg α  = f ′ (𝑥) Итак, две различные задачи привели к одной и той же  математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики и т. д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить. Итак, введем понятие производной: (Слайд 9) Пусть функция  определена в  некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение  такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции  (при переходе от точки  к точке ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции   в точке  и обозначают (). Итак, . Обозначается   или , где df – дифференциал функции, dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение). Если функция имеет производную в точке хо, то ее называют дифференцируемой в точке хо. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.	Ученики слушают учителя
Подведение итогов
- Урок подходит к концу, давайте повторим, кто является основоположником дифференциального и интегрального  исчисления? - С помощью каких задач мы пришли к понятию производной? - Что называется производной функции? - Что называется дифференцированием функции?		Дети отвечают на вопрос учителя.
6.       Домашнее задание
Запишите домашнее задание и можете быть свободны: §26, № 26.20, 26.21, 26.22.		Дети записывают домашнее задание и прощаются с учителем