Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме "Понятие производной"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока по теме "Понятие производной"

библиотека
материалов

План-конспект урока

Тема урока: «Понятие производной»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели:

  • Образовательные: изучить задачи, приводящие к понятию производной; определить новую математическую модель; добиться понимания геометрического и физического аспектов вопроса

  • Воспитательные: продолжить воспитывать познавательную активность, самостоятельность, диалоговую культуру, интерес к предмету, поисково-познавательную деятельность.

  • Развивающие: развивать умение интегрировать знания из курсов математики и физики и применять их на практике; продолжить развивать логическое  мышление, коммуникативные навыки, математическую логику и речь, внимание и кругозор учащихся.

Оборудование:  мультимедиа проектор, учебник под редакцией А.Г.Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс (базовый уровень)

Методы обучения: частично – поисковый, объяснительно – иллюстративный.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.

Структура урока:

I. Организационный момент (1-2 мин.)

II. Актуализация и проверка усвоения изученного материала(5-6 мин.)

III. Устная работа класса (5-7 мин.)

IV. Изучение нового материала (20-25 мин.)

V. Подведение итогов урока (2-3 мин.)

VI. Домашнее задание (1-2 мин.)

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность ученика

  1. Организационный момент

Приветствие класса учителем;

отмечает с дежурными отсутствующих.

Приветствие классом учителя;
подготовка доски;
дежурные отмечают отсутствующих, вместе с учителем.

  1. Актуализация и проверка усвоения изученного материала

Проверка домашнего задания.

Решение у доски задач, которые вызвали затруднения при работе дома.

  1. Устная работа класса

1.Дайте определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл. (Графики на интерактивной доске Слайд №2)

hello_html_27ce3cfc.png

2.Дайте определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?

3.Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.


1. Пусть дана функция hello_html_m6ebf54ee.gif , в области определения которой содержится луч [а; hello_html_730cadda.gif), и пусть прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции hello_html_m6ebf54ee.gif: hello_html_be32601.gif. И говорят: предел функции hello_html_m6ebf54ee.gif при стремлении х к плюс бесконечности равен b) Если же дана функция hello_html_m6ebf54ee.gif , в области определения которой содержится луч (-hello_html_m190a6000.gif; а], и прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции hello_html_m6ebf54ee.gif, то в этом случае: hello_html_m5bf2954a.gif. И говорят, что предел функции hello_html_m6ebf54ee.gif при стремлении х к минус бесконечности равен b)

2. Число b называют пределом функции hello_html_m6ebf54ee.gif при стремлении х к а, hello_html_m7cd0eb12.gif = b hello_html_590ee4d7.gif

Функцию hello_html_m6ebf54ee.gif называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение hello_html_m52072b12.gif

3.Пусть функция hello_html_mb93dfec.gif определена в точках hello_html_69b83015.gif и hello_html_570f113e.gif. Разность hello_html_m3b28a94a.gif называют приращением аргумента (при переходе от точки hello_html_69b83015.gif к hello_html_570f113e.gif), а разность hello_html_607d4498.gif называют приращением функции.

  1. Изучение нового материала

Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления.

С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю.

(Слайд 3) Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной:

Задача о скорости движения. (Слайд 4)

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S(t), C:\Users\Толя\Desktop\Сохраненное изображение 2015-11-1_19-3-5.523.jpg т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t.

Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М.

Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.

Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.

Что можно найти, зная эти два значения?

hello_html_5bd4091a.gif, т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени hello_html_m3b620ebf.gif.

Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.

В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.(Слайд 5)

Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δthello_html_m4c3f5c1c.gif, т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е. hello_html_6f5ae3cd.gif

Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени: v = S(t)

Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции hello_html_m6ebf54ee.gif.

(Слайд 6)

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику

C:\Documents and Settings\USER32\Desktop\итоговая работа\KOMPAS -- касательная.tif

(Слайд 7)

Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = kсекх +b, где kсек – угловой коэффициент секущей,

kсек =∆y/∆x = tg αсек, где αсек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: hello_html_1fe19d2.gif= kкас, причем kкас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Значит, kкас = tg α = hello_html_m37e86dda.gif

(Слайд 8)

Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой равен производной функции в этой точке: kкас = tg α = f ()

Итак, две различные задачи привели к одной и той же математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики

и т. д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить.

Итак, введем понятие производной: (Слайд 9)

Пусть функция hello_html_m6ebf54ee.gif определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку hello_html_69b83015.gif. Дадим аргументу приращение hello_html_423d231e.gif такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции hello_html_3c37d85b.gif (при переходе от точки hello_html_69b83015.gif к точке hello_html_5e9f46b5.gif) и составим отношение hello_html_m458c6133.gif. Если существует предел этого отношения при hello_html_27e2e86c.gif, то указанный предел называют производной функции hello_html_m6ebf54ee.gif в точке hello_html_69b83015.gif и обозначаютhello_html_m261c8cc.gif (hello_html_69b83015.gif). Итак, hello_html_64181fa8.gif.

Обозначается hello_html_m5bb298b0.gif или hello_html_m1c9b9dd3.gif, где df – дифференциал функции, dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).

Если функция имеет производную в точке хо, то ее называют дифференцируемой в точке хо. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.

Ученики слушают учителя

  1. Подведение итогов

- Урок подходит к концу, давайте повторим, кто является основоположником дифференциального и интегрального исчисления?

- С помощью каких задач мы пришли к понятию производной?

- Что называется производной функции?

- Что называется дифференцированием функции?

Дети отвечают на вопрос учителя.

  1. Домашнее задание

Запишите домашнее задание и можете быть свободны:

§26, № 26.20, 26.21, 26.22.

C:\Users\Толя\Desktop\Сохраненное изображение 2015-11-1_20-59-19.54.jpg

C:\Users\Толя\Desktop\Сохраненное изображение 2015-11-1_20-59-11.65.jpg

C:\Users\Толя\Desktop\Сохраненное изображение 2015-11-1_20-59-36.365.jpg

C:\Users\Толя\Desktop\Сохраненное изображение 2015-11-1_20-59-41.957.jpg

C:\Users\Толя\Desktop\Сохраненное изображение 2015-11-1_21-0-4.156.jpg

C:\Users\Толя\Desktop\Сохраненное изображение 2015-11-1_21-0-11.436.jpg

Дети записывают домашнее задание и прощаются с учителем






















Автор
Дата добавления 19.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1513
Номер материала ДВ-171294
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх