Конспект урока по теме "Последовательности"(9 класс)

• 1 слайд

  Последовательности
  

• 2 слайд

  Положительные чётные числа в порядке возрастания:
  2; 4; 6; 8; … .
  ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
  

• 3 слайд

• 4 слайд

  Последовательность
  Правильные дроби с числителем в порядке убывания:
   
   
  

• 5 слайд

  Числа, образующие последовательность, называются
  ЧЛЕНАМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
  

• 6 слайд

  Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена.
   
  

• 7 слайд

   
   
  Последовательность обозначают:
   
  

• 8 слайд

  Последовательности, содержащие
  бесконечно много членов называются бесконечными.
  Последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае её называют
  конечной.
  

• 9 слайд

  Конечная последовательность:
  20; 21; 22; … ; 88; 89.
  Чтобы задать последовательность, надо указать способ, который позволяет найти член последовательности с любым номером.
  

• 10 слайд

   
  Последовательность положительных чётных чисел можно задать формулой:
   
  Последовательность правильных дробей с числителем, равным 1 можно задать формулой:
   
  

• 11 слайд

  Пример 1
   
  Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, …
  , получаем
   
  Рассматриваемая последовательность равна:
   
  

• 12 слайд

  Пример 2
   
   
   
  Рассматриваемая последовательность:
   
  

• 13 слайд

  Пример 3
   
   
  Рассматриваемая последовательность равна:
   
  

• 14 слайд

  Другой способ задания последовательности:
  указывают первый член или первые несколько членов и формулу, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.
  
  Такая формула называется РЕКУРРЕНТНОЙ,
  а соответствующий способ задания последовательности – РЕКУРРЕНТНЫМ СПОСОБОМ.
  
  

• 15 слайд

  Пример 4
   
   
   
  Выпишем первые несколько её членов:
   
  

• 16 слайд

   
  Эта последовательность
  описана в работах итальянского
  математика Леонардо де Пизы,
  известного под именем Леонардо
  Фибоначчи.
  Члены этой последовательности
  называют ЧИСЛАМИ ФИБОНАЧЧИ.
  
  

Урок алгебры в 9 классе по теме «Числовые последовательности»

Основные цели:

·        формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом;

·        формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность;

·        развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать.

Тип урока: «открытие» новых знаний

1.     Самоопределение к деятельности

«Числа управляют миром»,- говорили древнегреческие ученые.  «Все есть число». Согласно их философскому мировоззрению, числа управляют не только мерой и весом, но также явлениями,  происходящими в природе,  и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса. Так первым четырем числам – 1, 2, 3, 4 – приписывалось: 1 – означает огонь, 2 – землю, 3 – воду, 4 – воздух. Сумма этих чисел – число 10 – изображало весь мир.

Но числа дают возможность самому человеку управлять миром. Сегодня на уроке мы продолжим работать с числами.

2.     Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности

2.1 Прочитав высказывания, выделить главную мысль:

Тот, кто мало знает, малому может и учить.

Кто много говорит, тот мало делает.

Кто много болтает, тот много врет.

Кому многое дано, с того многое и взыщется!   

У кого речь слаще, у того и благожелателей больше.

(Можно наблюдать зависимость между действиями, связь между явлениями. Связь – синоним слову зависимость).

2.2  Найди нарушение закономерности:

А)          (10)

Б)   10;   2;   0,4;   0,08;  0,16;  0,032;                  (0,16)

В)   3;   0,5;   6;   0,8;   12;   1,1;   18;   1,4;          (18)

Г)              

3.      Подготовка обучающихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока (работа в парах, дифференцированный подход)

Ученики получают свое задание. После его выполнения отчитывается каждый учащийся.

Задание 1.

Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких явлений и событий.

Ответы: дни недели, названия месяцев, возраст человека, номер счёта в банке, последовательно происходит смена дня и ночи, последовательно увеличивает скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д.

Задание 2: предлагается найти закономерности и показать их с помощью стрелки.

В порядке возрастания положительные нечетные числа	1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…
В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1	1; 3; 5; 7; 9; …
В порядке возрастания положительные числа, кратные 5	5; 10; 15; 20; 25; …

Ответы:

1. В порядке возрастания положительные нечетные числа (1; 3; 5; 7; 9; …)

2. В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…)

3. В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 (5; 10; 15; 20; 25; …)

Задание 3:  найдите закономерности

1; 4; 7; 10; 13; …	Увеличение на 3
10; 19; 37; 73; 145; …	Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза
6; 8; 16; 18; 36; …	Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1

Ответы:

1.   1; 4; 7; 10; 13; … (Увеличение на 3)

2.     10; 19; 37; 73; 145; … (Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1)

3.        6; 8; 16; 18; 36; … (Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза)

4.     Изучение нового материала  

(С использованием презентации)

Рассмотренные нами числовые ряды и есть примеры числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, и т. д., n-ным членами последовательности.

Обозначают члены последовательности так а₁; а₂; а₃; а₄; … а_n;

Последовательности могут быть конечными и бесконечными, возрастающими и убывающими.

Задания для устной работы:

1.Назовите в последовательности

1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а₁; а₄; а₁₀; а_n;

2.Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной? (да)

3.Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 1000; 9999)

4.Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; …? (нет, так как нельзя по первым шести членам обнаружить какую-нибудь закономерность)

Существуют различные способы, которые позволяют задать последовательность.

Аналитический способ. С помощью формулы n-ого члена последовательности.

Формула общего члена позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером. Например, если х_n=3n+2, то

х₅=3^.5+2=17;

х₄₅=3^.45+2=137.

Рекуррентный способ

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro– возвращаться).

Например, последовательность, заданную правилом

а₁=1; а_n+1= а_n +3

можно записать с многоточием:

1; 4; 7; 10; 13; …

  5.   Первичное закрепление во внешней речи

№ 560

Выпишите первые несколько членов последовательности натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке возрастания. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и    n-й   члены.

Решение:   3;  6;  9;  12;  …        а₁ = 3,   а₅ = 15,  а₁₀ = 30,   а₁₀₀ = 300,      а_n = 3n

№564

Перечислите члены последовательности   (х_n), которые расположены между: а) х₃₁   и   х_35,     б) х_n-2    и   x_n+2.

Решение:    а) х₃₂,  х₃₃,  х₃₄;      б)  x_n-1,  x_n,  x_n+1.

№565 (а)

Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой     n- го члена:  х_n = 2n – 1.

Решение:  х₁ = 1,  х₂ = 3,  х₃ = 5,  х₄ = 7,  х₅ = 9, х₆ = 11.

№569 (а)

Выпишите первые пять членов последовательности  (а_n), если а_{1 =} 1,          а_n+1 = а_n +1.

Решение:   1, 2, 3, 4, 5.

6.     Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

6.1    Последовательность    (b_n)     задана   формулой  b_n = 2n² + 3n.    Найдите: а)  b₅ ,     б) b₁₀ ,     в) b₅₀ .

Решение:         а) b₅ = 25² + 3 5=65;           б)  b₁₀ = 2 10² +3 10 = 230,             в)  b₅₀ =2 50² +350 = 5150.

6.2  Вычислите     b₂ ,   b₃ ,  b₄  ,  b₅   члены последовательности  (b_n ), если известно, что   b₁=10   и   b_n+1 = b_n + 3.

    Решение: b₂ = b₁ + 3=10+3=13,    b₃ = b₂ + 3= 13+3 = 16

                     b₄ = b₃ +3 = 16+3=19,    b₅ = b₄ +3= 19 + 3=22

7.     Рефлексия деятельности

- Что узнали нового?  (последовательности)

- Как можно задать числовые последовательности?     (словесно, формулой   n- го члена, рекуррентным способом)

- Какие бывают последовательности?  (конечные, бесконечные, возрастающие,  убывающие, ограниченные)

-  Проанализируйте свою работу на уроке.

Домашнее задание: п. 24,  № 561,  562,  565 (в, д),  570.