Конспект урока по теме "Производная"

Урок по алгебре и началам анализа

Тема: "Производная функции"

Преподаватель С.Б. Баранова,

ГАПОУ ПО «Пензенский многопрофильный колледж»,

отделение КХ и УЗР

Девиз урока:                Скажи мне, и я забуду

                                               покажи мне ,и я запомню

                                               Дай действовать самому

                                               И я научусь.

                                                                      Конфуций

Цели урока:

•         Обучающие:  систематизировать знания и умения по теме «Производная»: формулы и правила дифференцирования, геометрический и физический смысл производной, вычисление площади криволинейной трапеции

•         Развивающие:  развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способность к «видению» проблемы, формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.

•         Воспитательные: воспитывать умение работать с имеющейся информацией, слушать товарищей, точно, однозначно и лаконично формулировать свои ответы.

• Оборудование: раздаточный материал с тестовыми заданиями,

 компьютерная презентация (PowerPoint).

Тип урока: урок повторения и обобщения знаний

         Ход урока:

     1) Организационный момент (1 мин)

    a) Объявление девиза урока

         б) Постановка целей и задач урока

 На экране появляется слайд: «Производная функции».

Сегодня мы проводим повторительно – обобщающий урок по теме «Производная функции».

В ходе урока нам предстоит выяснить:

·        Насколько хорошо вы научились дифференцировать функции

·        Вычислять значение производной в точке

·        Находить те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю

·        Применять производную в геометрическом и физическом смысле

Преподаватель сообщает тему урока, цель  и поясняет, что во время урока будет использоваться раздаточный материал, который лежит на партах.  (открыть тетради записать число и тему урока)

2) Повторение (5 мин)

Начинаем работу с повторения теории.

Преподаватель приглашает к доске ученика написать таблицу производных элементарных функций (записана на доске –заполнен левый столбец)

Функция y=f (x)	Производная y′= f′(x)
C	0
x, гдеЄR	x-1
ax	ax lnx
ex	ex
log x
lnx
sinx	cosx
cosx	- sinx
tg x
ctgx	-

Фронтальная работа с группой (5 мин.)

Вопросы к остальным учащимся:

1.Дайте определение производной функции.

2.Повторим правила вычисления производных. Сформулируйте правило дифференцирования суммы, произведения, частного.

3.Каков физический смысл производной? ( Производная от функции f (х) в точке х_о  численно равна скорости изменения функции  f (х) в момент х = х_о )

4.Каков геометрический смысл производной? (Производная от функции f (х) в точке х_о   равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции  f (х) в точке с абсциссой х_о)

Преподаватель: Первое систематическое изучение производной появилось в работах Лейбница и Ньютона. Чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. Он, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач.

Метод флюксий, т.е. производных. В книге Ньютона «МЕТОД
ФЛЮКСИЙ» (1670-1671) были заложены основы математического анализа. Сам термин «производная» впервые встречается у француза Луи Арбогаста в 1800 году в его книге «Вычисление производных».

3) Практическая часть (сопровождается презентацией) (12 мин)

а)Установите соответствие между функцией и графиком её производной. (5 мин.)

(На экран проецируем графики функций и  формулы, задающие функции)

а)                                                        б)                                            в)

При выполнении домашнего задания к этому уроку вам необходимо было повторить способы нахождения производных.  Сейчас каждый из вас выполнит задания, аналогичные домашнему заданию.  

a.      Все учащиеся выполняют работу на карточках с устными упражнениями по нахождению производных по основным формулам. (карточка «устные упражнения»).(7 мин)

b.      Проверка устных упражнений: Правильные ответы записаны и проецируются на экран. Проверяют самостоятельно, отмечая «+» верные ответы, карточки сдают.(2 мин.)

4)  Тестовая работа (письменно) с выбором верного ответа (7 мин)

(используется раздаточный материал)

ТЕСТ

Производная.

1 вариант.

А1.Найти производную функции .

1)                      2)                      3)

А2. Найти производную функции .

1)                   2)                3)

А3. Найти производную функции .

1)                         2)                      3)

А4. Найти производную функции .

1)               2)             3)

А5. Найти производную функции.

1)                      2)                       3)

ТЕСТ

Производная.

2 вариант.

А1.Найти производную функции .

1)                      2)                         3)

А2. Найти производную функции .

1)                  2)               3)

А3. Найти производную функции .

1)                        2)                      3)

А4. Найти производную функции .

1)               2)               3)

А5. Найти производную функции.

1)                        2)                      3)

Подведение итогов.

5) Работа у доски (заранее на доске выполнены чертежи) (15 мин)

Устно: 1. Какое значение принимает производная функций в точке А?                                     

          y                        

y=f(x)                            а) f’ (x) > 0

б) f’ (x) < 0

в) f’ (x) = 0 

                         А    •    

           0        1                                                x

Устно: 2.Какое значение принимает производная функции в точке В?

               y                                                                          a) f’ (x) = 0

                                       б) f’ (x) < 0                                                     

                                       в) f’ (x) > 0

                     B      •   

                0                                                                       x

                                    1            y=f(x)

Преподаватель: « Был этот мир глубокой тьмой окутан.

                           Да будет свет! И вот явился Ньютон».

Построенная Ньютоном модель механического движения остается самым важным и простым источником механического анализа, изучающую производную и её свойства.

 Расскажите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений                    непрерывной функции у = f( x) на отрезке: [ а; b ] 1)    Найти производную f '(х). 2)    Найти критические точки функции, лежащие внутри отрезка [ а; b ] 3)    Вычислить значения функции у = f( x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и b и выбрать среди этих значений наименьшее ( это будет унаим) и наибольшее ( это будет унаиб).

Письменно (у доски работает учащийся):

1) Найти  наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции у = f( x) на отрезке: [ а; b ]

№235(а) стр. 309

f(x)=18х+8x-3x,  [1;3]

2) Определите угловую скорость вращения тела в момент времени t=20с, если угол поворота изменяется по закону   (t) =0,1t-0,5t+0,2

№255(а) стр. 310

3)Написать уравнение касательной к графику функции у = tgх в точке с абсциссой х=.

5) Индивидуальная работа (тест с последующей взаимопроверкой в парах во время фронтальной работы)

1. Если k – угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке ( х_о; f (х_о) ) и - угол между касательной и осью Ох, то геометрический смысл производной состоит в том , что

А)  k = f  ′ (x)

Б) k = f  ′ (х_о;)

В) k =

Г) tg  = f  (х;)

2.  угол между касательной к графику функции у = cos x в точке ( 0; 1 ) и осью Ох равен:

А)   ;

Б) 

В)  

Г)   0.

3. Если у = kx + b  и  k = tg, то   - это угол:

А)   между прямой  у = kx + b и осью Ох;

Б)   между прямой  у = kx + b и осью Оу;

В)   между осями Ох и Оу;

Г)   между прямой  у = kx + b  и  прямой  у = kx .

4. Угловой коэффициент касательной к графику функции   f(x) = lnx в точке с абсциссой х_о = 2 равен

А)   1;

     Б)   2;

В)   

 Г)   .

5. Угол между прямой и осью Ох отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки к прямой. Если угловой коэффициент касательной k < 0, то угол между касательной и осью Ох :

А)   прямой;

     Б)   развернутый;

В)    острый;

Г)   тупой.

6. Если графики функций  у = k₁ x + b₁  и  у = k₂ x + b₂  параллельны, то

А)  k₁ = k₂   ;

     Б)    k₁ > k₂  ;

В)   b₁ =  b₂

     Г)    k₁ < k₂  ;       ( Ответы к тесту: Б Г А В Г А)

Подведение итогов выполнения теста

6)Историческая справка о создании теории интегральных и дифференциальных исчислений  (4 мин)(сообщение читает обучающийся)

Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла.

В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений.

В 1736 году Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований.

Современник Ньютона немецкий математик Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. К основным законам математического анализа Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной точке кривой. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата.

7) Подведение итогов урока(1 мин)

Преподаватель: Мы обобщили знания по теме «Производная», убедились в ее необходимости, т.к. она находит широкое применение при решении математических, физических и практических задач.

Закончите фразу:

l  «Сегодня на уроке я повторил …»

l  «Сегодня на уроке я научился…»

(Выставляются за урок оценки).

8. Домашняя контрольная работа (приложение 2 ) раздаётся на карточках 

Спасибо за работу на уроке!

Приложение 2  

Вариант  1

_________________________

________________                 

1. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t        (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.
2. Найти производную сложной функции  f(x)= (3 – 2х)3
3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции   у= 3х3 – 2х + 1   в его точке с абсциссой х0 = 1

Вариант  2

_______________

_______________

________________                 

1. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t        (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t= 2с.
2. Найти производную сложной функции  f(x)= (4х – 9)7
3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции   у= 3х2 – 2х + 1   в его точке с абсциссой х0 = 1

Вариант  3

_______________

_______________

________________                 

1. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= t5 – t4 + 6 (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=2с.
2. Найти производную сложной функции  f(x)= (5 + 2х)3
3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции   у= 3х2 – 5х + 1   в его точке с абсциссой х0 = 2

Вариант  4

_______________

_______________

________________                 

1. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t        (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.
2. Найти производную сложной функции  f(x)= (3х – 7)5
3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции   у= 3х2 – 7х + 12   в его точке с абсциссой х0 = 1

Вариант  5

_______________

_______________

________________                 

1. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t5 – 0,5t4 + 3t        (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.
2. Найти производную сложной функции  f(x)= (31 – 2х)7
3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции   у= -2х2 + 3х + 5   в его точке с абсциссой х0 = -1