Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме "Производная функции"

Конспект урока по теме "Производная функции"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Конспект урока.


Тема: «Производная функции и её применение».


Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Производная функции

и ее применение».


Задачи: образовательные:

совершенствовать технику дифференцирования; повторить геометрический смысл производной, применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции;

развивающие:

развивать умения наблюдать, классифицировать, анализировать математические ситуации, математическую речь, коммуникативную способность учащихся;

воспитательные:

воспитывать такие качества личности, как познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.


Оборудование: мультимедийный проектор, слайды, созданные в программе Microsoft Power Point, компьютеры, программный продукт «Geogebra».


Структура урока:

  1. Организационный момент (1 мин).

  2. Объявление темы урока, постановка цели и задач (1 мин).

  3. Повторение теоретического материала.

  • Правил дифференцирования (2 мин).

  • Таблицы производных (2 мин).

Разминка – устные упражнения (7 мин).

Видеоролик «Из истории возникновения производной функции» (1 мин).

Найди ошибку (5 мин).

  1. Проверка знаний (построение касательной функции в точке, графика производной функции в программе «Geogebra».) (15 мин).

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции (6 мин).

  1. Итог урока (1 мин). Составление синквейна (4 мин).


















Ход урока.


  1. Организационный момент

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.

Здравствуйте, ребята! На предыдущих занятиях мы познакомились с понятием производной, с ее физическим и механическим смыслом, научились составлять уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х. Хотелось бы научить вас видеть в математической модели – функции – привычность, понятность, красоту.

  1. Объявление темы урока, постановка цели и задач

На экране появляется слайд: «Производная функции».

Сегодня мы проводим повторительно – обобщающий урок по теме «Производная функции и её применение».

В ходе урока нам предстоит выяснить:

  • насколько хорошо вы научились дифференцировать функции

  • вычислять значение производной в точке

  • составлять уравнение касательной функции в точке

Данную тему необходимо знать каждому учащемуся очень хорошо, чтобы в дальнейшем научиться проводить исследование функций с помощью производных и строить графики различных функций. Это основное применение производной.


  1. Повторение теоретического материала.

Начинаем работу с повторения теории.

Дайте определение производной функции.

На доске слайд со стихотворением о производной функции.

В данной функции от икс, наречённой игреком,
Вы фиксируете икс, отмечая индексом,
Придаёте вы ему тотчас приращение,
Тем у функции самой вызвав изменение.
Приращений тех теперь взявши отношение,
Пробуждаете к нулю у дельта икс стремление.
Предел такого отношенья выясняется,

Он производною в науке называется!

стих


Повторение правил дифференцирования.

На экране появляется слайд «Правила вычисления производных».

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m6e676b89.gif


Учащиеся проговаривают каждое правило. Учитель акцентирует внимание учащихся на грамотности математической речи.

Повторение таблицы производных.

На экране появляется слайд «Таблица производных функций».

hello_html_59ff81bf.gif

Учащиеся фронтально повторяют таблицу производных элементарных функций, выходят к интерактивной доске и дописывают продолжение формулы.

На данном этапе учащимся предлагается выполнить задание: для каждой функции из левого столбца найти ее производную из правого столбца.

y = f(x)

y = f ' (x)

1. hello_html_39f1b7ec.gif

Й. http://festival.1september.ru/articles/635144/img2.gif

2. х2 + х + 2

И. 2

3. http://festival.1september.ru/articles/635144/img4.gif

Т. 8

4. sin x/4

Л. 0

5. 4x4

Ь. http://festival.1september.ru/articles/635144/img6.gif

6. 43 + 2х

О. 12x – 1

7. х4 – х2

Е. 2х + 1

8. 2cos 3x

Н. 5 cos5x

9. tg x

Ц. 4х3 – 2х

10. 13x2 – 3x

Н. – 6sin 3x

11. 8x-13

Н. 16x3

12. (2x + 3) (3x – 5)

Ю. 26x – 3

13. sin (5x – π)

Б. 1/4cos x/4

В результате верного выполнения задания мы выясним, с именами каких ученых связан термин «производная». Ответ: Лейбниц, Ньютон.

Критерии оценивания данного задания:

  • Оценка «5» – 13

  • Оценка «4» – 10-12

  • Оценка «3» - 7-10

  • Оценка «?» – 0-6

В конце 17 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией, и техническими науками. В математике производная функции характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции.

Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.
Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.
К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.
Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Жозеф Луи Лагранж в 1797г.

Далее учащимся предложено посмотреть видеоролик «Из истории возникновения производной функции».

Задание: найди ошибку

Очень важно уметь не только правильно выполнять задание, но и находить ошибки. Учащимся предлагается задание: посмотреть на решение и, если смогут найти ошибку, указать ее. На экране появляется слайд «Найдите ошибку». Учащиеся, если находят ошибку, то указывают её и говорят правильное решение.

hello_html_3a0924f2.gifhello_html_m5011be67.gif


hello_html_m68f61333.gifhello_html_m41edef80.gif

hello_html_m223b6112.gifhello_html_4102819c.gif


Вопрос учителя учащимся: в чем заключается геометрический смысл производной?


  1. Контроль за ЗУН учащихся.

Задание: Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = hello_html_m15264eec.gif - 3hello_html_7a2a5240.gif + 5 в точке с абсциссой х = 3. Ответ проверьте в программе Geogebra. Для этого постройте график функции, возьмите точку А на графике и постройте касательную функции в данной точке. Слева на панели вы увидите уравнение касательной, если уравнение правильно составлено, то поднимите руку. Затем постройте график производной функции для данной функции. Ответ: y=9x-22.

Задание. Построить в GeoGebra производную функции hello_html_ff1f847.gif в точке hello_html_m6d04aa01.gif с опорой на ее геометрический смысл, т.е. построить точку Dhello_html_m33eb1942.gif.

Шаг.1. Открыть программу Geogebra 4.0, двойным щелчком мыши по значку программы на рабочем столе.

Шаг 2. С использованием строки ввода построим график функции hello_html_ff1f847.gif. Для этого внизу экрана найти строку ввода, в ней набрать:

Нажать клавишу Enter.

Шаг 3. Отметить произвольную точку А на графике функции с помощью инструмента «Точка на объекте». Будем читать, что точка А, как свободный объект имеет координаты hello_html_4fe0fa59.gif, где hello_html_m192b26d1.gifпроизвольное число.

Шаг 4. Построим касательную к графику функции в точке А. Для этого найти на панели инструментов инструмент hello_html_m61f5f99f.png «Касательная». Нажать на него левой кнопкой мыши. Указать левой кнопкой мыши точку касания, затем график функции. Появится прямая а.

Шаг 5. Отметить начало координат с помощью инструмента hello_html_18473850.png- «Пересечение двух объектов». Укажите на него левой кнопкой мыши, затем укажите на начало координат. Появится точка В(0;0).

Шаг 6. Переименовать точку В в точку О. Для этого подвести указатель мыши к точке В, нажать правую кнопку. В открывшемся диалоговом окне выбрать «Переименовать». Войти во вкладку и заменить В на О. Нажать Оk.

Шаг 7. Перенесем касательную к графику функции в начало координат. Для этого надо воспользоваться инструментом hello_html_5393b698.png - «Параллельная прямая». Указать левой кнопкой мыши на инструмент, затем - на точку О и построенную ранее касательную к графику функции. Появится прямая b, параллельная касательной.

Шаг. 8. Отметим на прямой b точку С с координатами hello_html_m6b07f81.gif.

Для этого с помощью инструмента hello_html_m66679693.png - «Точка» отметить на оси абсцисс точку В (1;0),

затем с помощью инструмента hello_html_m476074d.png - «Перпендикулярная прямая» провести через точку В прямую с, перпендикулярную к оси абсцисс, показав инструментом сначала на точку В, затем на Ох.

Построить точку С как точку пересечения прямых b и c с помощью инструмента hello_html_18473850.png - «Пересечение двух объектов» (для этого сначала указать на инструмент, затем на прямые b и с).

Шаг 9. Используя точку С hello_html_m6b07f81.gif построим искомую точку D с координатами hello_html_732f8f68.gif. Для этого, пользуясь инструментом hello_html_5393b698.png - «Параллельная прямая» провести через точку С прямую, параллельную оси Ох. С помощью того же инструмента через точку А провести прямую, параллельную оси Оу. Найти точку D как точку их пересечения с помощью инструмента hello_html_18473850.png - «Пересечение двух объектов».

Шаг 10. Для повышения наглядности чертежа изменим цвет точка D на красный, стиль отображения вспомогательных прямых на пунктирный, увеличим толщину графика функции. Для этого укажем левой кнопкой мыши на точку D, в открывшемся диалоговом окне выберем вкладку «Свойства». Откроется окно с одноименным названием. Проходя по вкладкам «Цвет», «Стиль» и указывая объекты, расположенные в левой части окна можно изменить настройки изображения.


Задание 2. С помощью точки D построить изображение графика производной функции двумя способами: 1) Точечный график, состоящий из следов точки D при перемещении А по графику функции; 2) Как ГМТ точек D, зависящих от А с помощью инструмента hello_html_m4af93260.png - «Локус (геометрическое место точек)»

Способ 1. (точечный график).

Шаг. 1. Укажите правой кнопкой мыши на точку D, в открывшемся диалоговом окне поставьте флажок перед надписью «Оставлять след».

Шаг. 2. Укажите правой кнопкой мыши на точку А, в открывшемся диалоговом окне поставьте флажок перед надписью «Анимировать».

Шаг 3. После получения точечного графика отмените анимацию точки А, указав на нее на панели объектов правой кнопкой мыши и сняв флажок с надписи «Анимировать». Для возврата к начальному изображению нажмите желтую стрелку в правом верхнем углу экрана.hello_html_535808a3.png


Способ 2 (локус).

Выбрать на панели инструментов инструмент hello_html_m4af93260.png - «Локус», указать левой кнопкой мыши сначала на точку D, затем на точку А. Появится изображение производной функции.


Учитель просматривает у учащихся ход выполнения задания, консультирует по возникающим вопросам, оценивает.


Вопрос учителя учащимся: назовите достаточные признаки возрастания и убывания функции, необходимые условия максимума и минимума функции.


Задание: Используя данные о функции y=f(x), определить промежутки в которых производная f' имеет отрицательные (положительные) значения. Назовите промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), используя данные о её производной f‘. Укажите точки минимума и минимума функции.


x

http://festival.1september.ru/articles/564728/f_clip_image038.gif

0

(0;2)

2

http://festival.1september.ru/articles/564728/f_clip_image042.gif

f `(x)






f (x)







  1. Итог урока.

Учитель задает учащимся вопросы: что удалось сегодня на уроке? Не удалось?

В заключении составим синквейн по теме «Производная функции».

Синквейн (от фр. cinquains, англ. cinquain) – это творческая работа, которая имеет короткую форму стихотворения, состоящего из пяти нерифмованных строк.

Синквейн – это не простое стихотворение, а стихотворение, написанное по следующим правилам:

1 строка – одно существительное, выражающее главную тему cинквейна.

2 строка – два прилагательных, выражающих главную мысль.

3 строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы.

4 строка – фраза, несущая определенный смысл.

5 строка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом).

Я думаю, что вы поняли необходимость изучения темы «Производная функции», увидели, как это может пригодиться на практике, и надеюсь, что знания, полученные в школе, пригодятся вам в жизни.


Спасибо за урок.



















































































Для каждой функции из левого столбца найти ее

производную из правого столбца


y = f(x)

y = f ' (x)

1. hello_html_39f1b7ec.gif

Й. http://festival.1september.ru/articles/635144/img2.gif

2. х2 + х + 2

И. 2

3. http://festival.1september.ru/articles/635144/img4.gif

Т. 8

4. sin x/4

Л. 0

5. 4x4

Ь. http://festival.1september.ru/articles/635144/img6.gif

6. 43 + 2х

О. 12x – 1

7. х4 – х2

Е. 2х + 1

8. 2cos 3x

Н. 5 cos5x

9. tg x

Ц. 4х3 – 2х

10. 13x2 – 3x

Н. – 6sin 3x

11. 8x-13

Н. 16x3

12. (2x + 3) (3x – 5)

Ю. 26x – 3

13. sin (5x – π)

И. 1/4cos x/4





1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13































  • Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6].

  • Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции  по графику производной y = f'(x)

  • Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

hello_html_1fac32ed.png


  • Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6].

  • Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции  по графику производной y = f'(x)

  • Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.


hello_html_1fac32ed.png


  • Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6].

  • Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции  по графику производной y = f'(x)

  • Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил

hello_html_1fac32ed.png


Автор
Дата добавления 13.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров643
Номер материала ДВ-336704
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх