Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме: «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам»

Конспект урока по теме: «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам»

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

Урок №

Тема урока : «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Цель: научить учащихся определять зависимость коллинеарных векторов и неколлинеарных по записи их разложения.

- обучающие: научить выполнять разложение коллинеарных и неколлинеарных векторов ; научить определять по записи разложения векторов их расположение на плоскости ( коллинеарность, неколлинеарность);

-развивающие: активизация мыслительной деятельности учащихся, развитие познавательного интереса к предмету,

-воспитательные: воспитывать аккуратность при работе в тетрадях, формировать навыки самостоятельной деятельности, воспитывать культуру общения, умение работать в коллективе.

Ход урока

  1. Организационный момент.

Отметить отсутствующих, подготовить класс для дальнейшей работы.



  1. Проверка домашнего задания.

Проверить наличие домашнего задания, ответить на вопросы учащихся, которые возникли в ходе выполнения домашнего задания.



  1. Актуализация опорных знаний.

  1. Что называется вектором?

  2. Как обозначаются векторы?

  3. Какой вектор называется нулевым?

  4. Что такое длина или модуль вектора?

  5. Какие векторы называются коллинеарными?

  6. Как сложить векторы?

  7. В чем заключаются правила треугольника и параллелограмма?

  8. Как вычесть два вектора?

  1. Изучение нового материала.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

При решении задач часто возникает необходимость выразить какой-либо вектор через уже заданные векторы. Такая операция называется разложением вектора по неколлинеарным векторам. hello_html_m1b88a83f.png

2. Лемма о коллинеарных векторах.



Лемма - это вспомогательное утверждение, с помощью которого доказывается следующая теорема или несколько теорем.

Теорема:Если векторы hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif коллинеарны и hello_html_m6f97df0a.gif0, то существует такое число k, что hello_html_m7178447b.gif = khello_html_m6f97df0a.gif.



Так как рассматриваемые векторы, по условию коллинеарны, то они могут иметь одинаковые направления. Рассмотрим два случая, когда векторыhello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif сонаправлены и противоположно направлены.

Доказательство:hello_html_m7c2b05c0.png

1) hello_html_m6f97df0a.gifhello_html_4bf9ddb1.gifhello_html_m7178447b.gif. Возьмем число hello_html_m2558b564.gif. Так как k 0, то векторы khello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif сонаправлены (рисунок 1). Кроме того, их длины равны: khello_html_m6f97df0a.gif= khello_html_m6f97df0a.gif = hello_html_m3d832fc0.gifhello_html_m6f97df0a.gif=hello_html_m7178447b.gif. Поэтому hello_html_m7178447b.gif= khello_html_m6f97df0a.gif

2) hello_html_m6f97df0a.gifhello_html_52c3dc2e.gifhello_html_17f65ce0.gif. Возьмем число hello_html_m5f7713c1.gif. Так как k<0, то векторы khello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif снова сонаправлены (рисунок2). Их длины также равны: khello_html_m6f97df0a.gif= khello_html_m6f97df0a.gif = hello_html_m3d832fc0.gifhello_html_m6f97df0a.gif=hello_html_m7178447b.gif. Поэтому hello_html_m7178447b.gif= khello_html_m6f97df0a.gifhello_html_m7c2b05c0.png



рисунок2

3. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.hello_html_m1f21a042.png

Пусть hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif - данные неколлинеарные векторы, вектор hello_html_48a2df8.gifпредставлен в виде

hello_html_48a2df8.gif= хhello_html_m6f97df0a.gif+уhello_html_m7178447b.gif, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор hello_html_48a2df8.gif разложен по векторам hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif. Числа х и у называются коэффициентами разложения.

Доказательство:

Возможны два случая:

1) Вектор hello_html_48a2df8.gif коллинеарен одному из векторов hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif, например, вектору hello_html_m7178447b.gif(рисунок1). В этом случае по лемме о неколлинеарных векторах вектор hello_html_48a2df8.gif можно представить в виде hello_html_48a2df8.gif= уhello_html_m7178447b.gif, где у - некоторое число, и, следовательно, hello_html_48a2df8.gif=0hello_html_m6f97df0a.gif+уhello_html_m7178447b.gif, т.е. векторhello_html_48a2df8.gif разложении по векторам hello_html_5295c410.png

hello_html_m6f97df0a.gifи hello_html_m7178447b.gif.

2) Вектор hello_html_48a2df8.gif не коллинеарен ни вектору hello_html_m6f97df0a.gif, ни вектору hello_html_m7178447b.gif. Отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее векторы hello_html_18620231.gif = hello_html_m6f97df0a.gif, hello_html_m2c9e1e18.gif =hello_html_m7178447b.gif, hello_html_m33673b64.gif=hello_html_48a2df8.gif (рисунок2).

Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через А1 точку пересечения этой прямой с прямой ОА. По правилу треугольника hello_html_48a2df8.gif=hello_html_32274dca.gif + hello_html_46561170.gif. Но векторы hello_html_32274dca.gif и hello_html_46561170.gif коллинеарны соответственно векторам hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif, поэтому существует числа х и у, такие, что hello_html_32274dca.gif = хhello_html_m6f97df0a.gif, hello_html_46561170.gif= уhello_html_m7178447b.gif. Следовательно, hello_html_48a2df8.gif= хhello_html_m6f97df0a.gif+уhello_html_m7178447b.gif, т.е. вектор hello_html_48a2df8.gif разложен по векторам hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif.hello_html_5295c410.png

Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением hello_html_48a2df8.gif= хhello_html_m6f97df0a.gif+уhello_html_m7178447b.gif имеет место другое разложение hello_html_48a2df8.gif= х1hello_html_m6f97df0a.gif+у1hello_html_m7178447b.gif. Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем hello_html_m6f9514a7.gif=(х-х1) hello_html_m6f97df0a.gif+ (у-у1) hello_html_m7178447b.gif. Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты х-х1 и у-у1 равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что х-х1 0, то из полученного равенства найдем hello_html_m6f97df0a.gif= -hello_html_394a4310.gif, а значит векторы hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, х-х1=0 и у-у1=0, откуда х=х1 и у=у1. Это и означает, что коэффициенты вектора hello_html_48a2df8.gif определяются единственным образом. Теорема доказана.

Выводу по теме:

1.Лемма - это вспомогательное утверждение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем.

2. Лемма (о коллинеарных векторах). Если векторы hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif коллинеарны и вектор hello_html_m6f97df0a.gif0, то существует такое число k, при котором hello_html_m7178447b.gif = khello_html_m6f97df0a.gif

3. Пусть hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif - данные неколлинеарные векторы, вектор hello_html_48a2df8.gifпредставлен в виде

hello_html_48a2df8.gif= хhello_html_m6f97df0a.gifhello_html_m7178447b.gif, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор hello_html_48a2df8.gif разложен по векторам hello_html_m6f97df0a.gif и hello_html_m7178447b.gif. Числа х и у называются коэффициентами разложения.

  1. Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Учебник п.89, стр 222-224.



  1. Закрепление материала.

Учебник п.89, стр. 227, № 911 (в,г), 912 (а,г), 915, 916 (б).


  1. Итог урока.

  1. Что больше всего тебе запомнилось на уроке?

  2. Что удивило?

  3. Что понравились больше всего?

  4. Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

  1. Домашнее задание.

Учебник п.86 (выучить), стр. 206, № 911 (а,б), 912 (б,в), 916 (а)

Общая информация

Номер материала: ДВ-313229

Похожие материалы