Конспект урока по теме: «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам»

Урок №

Тема урока : «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Цель: научить учащихся определять зависимость коллинеарных векторов и неколлинеарных по записи их разложения.

- обучающие: научить выполнять разложение коллинеарных и неколлинеарных векторов ; научить определять по записи разложения векторов их расположение на плоскости ( коллинеарность, неколлинеарность);

-развивающие: активизация мыслительной деятельности учащихся, развитие познавательного интереса к предмету,

-воспитательные: воспитывать аккуратность при работе в тетрадях, формировать навыки самостоятельной деятельности, воспитывать культуру общения, умение работать в коллективе.

Ход урока

1. Организационный момент.

Отметить отсутствующих, подготовить класс для дальнейшей работы.

2. Проверка домашнего задания.

Проверить наличие домашнего задания, ответить на вопросы учащихся, которые возникли в ходе выполнения домашнего задания.

3. Актуализация опорных знаний.

1.      Что называется вектором?

2.      Как обозначаются векторы?

3.      Какой вектор называется нулевым?

4.      Что такое длина или модуль вектора?

5.      Какие векторы называются коллинеарными?

6.      Как сложить векторы?

7.      В чем заключаются правила треугольника и параллелограмма?

8.      Как вычесть два вектора?

4.      Изучение нового материала.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

При решении задач часто возникает необходимость выразить какой-либо вектор через уже заданные векторы. Такая операция называется разложением вектора по неколлинеарным векторам.

2. Лемма о коллинеарных векторах.

Лемма - это вспомогательное утверждение, с помощью которого доказывается следующая теорема или несколько теорем.

Теорема:Если векторы  и  коллинеарны и 0, то существует такое число k, что  = k.

Так как рассматриваемые векторы, по условию коллинеарны, то они могут иметь одинаковые направления. Рассмотрим два случая, когда векторы и  сонаправлены и противоположно направлены.

Доказательство:

1) . Возьмем число . Так как k 0, то векторы k и  сонаправлены (рисунок 1). Кроме того, их длины равны: k= k = =. Поэтому = k

2) . Возьмем число . Так как k<0, то векторы k и  снова сонаправлены (рисунок2). Их длины также равны: k= k = =. Поэтому = k

           рисунок2

3.    Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

 Пусть  и  - данные неколлинеарные векторы, вектор представлен в виде

= х+у, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор  разложен по векторам  и . Числа х и у называются коэффициентами разложения.

Доказательство:

Возможны два случая:

1) Вектор  коллинеарен одному из векторов  и , например, вектору (рисунок1). В этом случае по лемме о неколлинеарных векторах вектор  можно представить в виде = у, где у - некоторое число, и, следовательно, =0+у, т.е. вектор разложении по векторам

 и .

2) Вектор  не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее векторы  = ,  =, = (рисунок2).

Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через А₁ точку пересечения этой прямой с прямой ОА. По правилу треугольника  = + . Но векторы  и  коллинеарны соответственно векторам  и , поэтому существует числа х и у, такие, что  = х, = у. Следовательно, = х+у, т.е. вектор  разложен по векторам  и .

Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением = х+у имеет место другое разложение = х₁+у₁. Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем =(х-х₁) + (у-у₁) . Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты  х-х₁ и у-у₁ равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что х-х₁ 0, то из полученного равенства найдем = -, а значит векторы  и  коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, х-х₁=0 и у-у₁=0, откуда х=х₁ и у=у₁. Это и означает, что коэффициенты вектора  определяются единственным образом. Теорема доказана.

Выводу по теме:

1.Лемма - это вспомогательное утверждение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем.

2. Лемма (о коллинеарных векторах). Если векторы  и  коллинеарны и вектор 0, то существует такое число k, при котором   = k

3. Пусть  и  - данные неколлинеарные векторы, вектор представлен в виде

= х+у, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор  разложен по векторам  и . Числа х и у называются коэффициентами разложения.

3.      Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Учебник п.89, стр 222-224.

5.      Закрепление материала.

Учебник п.89, стр. 227, № 911 (в,г), 912 (а,г), 915, 916 (б).

6.      Итог урока.

1.       Что больше всего тебе запомнилось на уроке?

2.       Что удивило?

3.       Что понравились больше всего?

4.       Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

7.      Домашнее задание.

Учебник п.86 (выучить), стр. 206, № 911 (а,б), 912 (б,в), 916 (а)