Конспект урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Урок закрепления навыков и умений по теме «Решение тригонометрических

уравнений».

Цель урока:

- Формировать и развивать навыки решать простейшие тригонометрические уравнения, первые 4 типа и уравнения, приводимые к ним с помощью преобразований

- Продолжать формирование у учащихся умения самостоятельно работать. Развивать и совершенствовать знания, умения и навыки при выполнении различных заданий по теме. Развивать логическое мышление учащихся, формировать навыки самоорганизации;

- Развивать у ребят умение самостоятельно выполнять задания, умение работать с учебным материалом, контролировать свою деятельность, адекватно оценивать результаты своей деятельности

Оборудование :учебник «Алгебра и начала анализа 10» УМК А.Г.Мордкович; презентации, проектор, ноутбук, доска

Ход урока

1. Организационный момент.Приветствие учащихся. Постановка цели урока.

- Добрый день! Ребята мы разобрали простейшие и 4 типа тригонометрических уравнений. Сегодня нам предстоит повторить и применить полученные знания и умения при решении различных заданий.

2.Устная работа.

- Повторим формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

- а). Установите соответствие между уравнением и его корнями:

1.

Б. sin x = 1

2.

В. – 2 cos x = 1

3.

Г. cos3x =

4.

Д. 2 tg x =

5.

Б

В

Г

Д

- б).Является ли число корнем уравнения:

1) cos x = ; 2) sin ; 3) tg x = ;

3.Проверка домашнего задания. Сдайте тетради.

4.Указания учителя о ходе работы на уроке.

- Работа состоит из нескольких этапов, так называемых учебных элементов. Учебные элементы №1-2 соответствуют первому уровню(самый общий), № 3 - второй уровень( включает всё, что и первый уровень, но в более сложном виде), № 4- третий уровень (все знания применяются в нестандартных ситуациях). Проверять выполненные задания будете по эталону, который получите после завершения работы на этапе. Сравните своё решение, исправьте ошибки (если они есть) и выставьте количество баллов в оценочный лист.

Оценочный лист

Фамилия, имя____________________________________________________________

Учебный элемент № 1

Указания.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sinxили cosx) или комбинацию функций обозначить через другую букву, получив при этом квадратное уравнение относительно этой переменной.

Пример. Решить уравнение 4 – cos²x = 4cosx

Решение. Вместо cos²xподставим тождественное ему выражение

1 – sin²x. Тогда исходное уравнение примет вид

4 – (1 - sin²x) = 4sinx

3 + sin²x = 4sinx

sin²x - 4sinx + 3 = 0

Если положить y = sinx, получим квадратное уравнение y² – 4y + 3 = 0 Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sinx = 1 или sinx = 3

Уравнение sinx = 1 имеет решение х = + 2n, nZ

Уравнение sinx = 3решений не имеет.

Ответ: х = + 2n, nZ

Задания самостоятельной работы.

Решите уравнения

1 вариант

1. tg²x - 3 tgx + 2 = 0 (2 балла)

2. 2 cos²x + 5 sinx – 4 = 0 (3 балла).

2 вариант

1. 2 + cos²x – 3 cosx = 0(2 балла)

2. 4- 5 cos x – 2 sin² x = 0 (3 балла)

Учебный элемент № 2 .

Указания. Метод разложения на множители.Под разложением на множители понимается
представление данного выражения в виде произведениянескольких множителей. Если в одной части уравнениястоит произведение нескольких множителей, а в другой - 0,то каждый множитель приравнивается к нулю. Такимобразом, исходное уравнение можно представить в видесовокупности более простых уравнений. Одними из самых используемых являются способы вынесения за скобки общегомножителя, группировки, применение формул сокращённогоумножения.

Пример. Решите уравнения 2 sin³x – cos 2x – sinx = 0

Решение. Сначала сгруппируем первый член с третьим, аcos 2x = cos²x–sin²x
Получим (2 sin³x - sinx) – (cos²x–sin²x) = 0

Из выражения, стоящего в первых скобках, вынесем sinx.
В выражении, стоящем во вторых скобках, вместо cos²xзапишем 1 - sin²x. Уравнение примет sinx (2 sin²x – 1) – (1 - sin²x) = 0

Выполним дальнейшие тождественные преобразования

Sinx (2 sin²x – 1) + (2 sin²x – 1) = 0

(2 sin²x – 1)(sin x + 1) = 0

Отсюда2 sin²x – 1 = 0 илиsinx + 1 = 0

sinx = sinx = - 1

Ответ: х = /4 + n, nZ, x = - /2 + 2n, nZ

Задания самостоятельной работы.

Решите уравнение

1 вариант
1. sin²x - sinx = 0 (2 балла)

2.3cos x + 2 sin2x = 0 (3 балла).

2 вариант

1. tg²x – 4tgx = 0 (2 балла)

2. 5 sin 2x – 2 sin x = 0 (3 балла).

Учебный элемент № 3

Указания.Вы прошли 1 уровень усвоения материалов. Теперь вам самостоятельно придётся выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

Задания самостоятельной работы.

Решите уравнения

1 вариант

Sin 4x – cos 2x = 0(3 балла)

2 вариант

Sin 2x – cos 2x = 0 (3 балла).

Учебный элемент № 4

Указания.Вы освоили 2 уровень сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Задания самостоятельной работы.

Решите уравнения

1. Sin 6x + cos 6x = 1 – 2sin 3x (3балла)

2. Sin x (sin x + cos x) = 1 (3балла)

Подсказки.

1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для

2. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

3. Итог урока.

• По количеству баллов будут выставлены оценки:

• Не менее 11 баллов оценка «5»; не менее 7 баллов оценка «4»; не менее 4 баллов оценка «3».

Эталон элемента № 1

1 вариант 2 вариант

tg²x - 3 tgx + 2 = 02 cos²x + 5 sinx – 4 = 0

tg x = t cos x = t

t² – 3t + 2 = 0 t² – 3t + 2 = 0

D = 9 – 4 ^. 1 ^. 2 = 1, D 0 D = 9 – 4 ^. 1 ^. 2 = 1, D 0

t = , t₁ = 2, t₂ = 1 t = , t₁ = 2, t₂ = 1

tgx = 2 cosx = 2 решений нет

x = arctg 2 + n, nZ cos x = 1

tg x = 1 x = 2n, nZ

x = /4 + n, nZОтвет: x = 2n, nZ

Ответ: x = arctg 2 + n, nZ

x = /4 + n, nZ

2 cos² x + 5 sin x – 4 = 04- 5 cos x – 2 sin² x = 0

cos² x = 1 - sin² xsin² x = 1 - cos² x

2 -2 sin² x+ 5 sin x – 4 = 04 - 5 cos x – 2 + 2cos² x = 0

2 sin² x - 5 sin x + 2 = 0 2 cos² x - 5 cos x + 2 = 0

Sin x = t cos x = t

2t² – 5t + 2 = 0 2t² – 5t + 2 = 0

D = 25 – 16 = 9, D 0 D = 25 – 16 = 9, D 0

t = , t₁ = 2, t₂ = ½ t = , t₁ = 2, t₂ = 1/2

sinx = 2 решений нет cosx = 2 решений нет

sinx = ½ cosx = ½

x = (- 1)ⁿ + n, nZ x = + 2n, nZ

Ответ: x = (- 1)ⁿ + n, nZОтвет: x = + 2n, nZ

Эталонэлемента № 2

sin² x - sin x = 0tg² x – 4tg x = 0

sinx(sinx – 1) = 0 tgx(tgx – 4) = 0

sinx = 0 илиsinx – 1tgx = 0 или tgx – 4 = 0

х = n, nZx = - /2 + 2n, nZх = n, nZ х= arctg 4 + х = n, nZ

Ответ: х = n, nZ Ответ: х = n, nZ

x = - /2 + 2n, nZ х= arctg 4 + х = n, nZ

3cos x + 2 sin2x = 05 sin 2x – 2 sin x = 0

3 cos x + 4 sin xcos x = 0 10 sin x cos x – 2sin x = 0

сos x(3 + 4 sin x) = 0 sin x(10 cos x – 2) = 0

cos x = 0 или 3 + 4 sin x = 0 sin x = 0 или 10 cos x – 2 = 0

x = - /2 + 2n, n Zsin x = - ¾ х = n, nZcos x = 1/5

x = -arcsin3/4 +n, nZ x arccos 1/5 + 2n, nZ

Ответ:x = - /2 + 2n, nZ Ответ:х = n, nZ

x = -arcsin3/4 +n, nZx arccos 1/5 + 2n, nZ

Эталонэлемента № 3

Sin 4x – cos 2x = 0Sin 2x – cos 2x = 0

2 sin 2xcos 2x – cos 2x = 0 cos(/2 – 2x) – cos 2x = 0

Cos 2x (2sin 2x – 1) = 0 -2sin sin = 0

Cos2x = 0 или 2sin2x – 1 = 0 2sin/4 sin(/4 – 2x) = 0

x =/4 + n/2, nZ; 2x=(-1)ⁿ/6 +n, nZ 2^.sin(/4 – 2x) = 0

x=(-1)ⁿ/12 +n/2, nZ sin(/4 – 2x) = n, nZ

x = /8 - n/2, nZ

Ответ:x =/4 + n/2, nZОтвет: x = /8 - n/2, nZ

x=(-1)ⁿ/12 +n/2, nZ

Эталон элемента № 4

Sin 6x + cos 6x = 1 – 2sin 3x

2sin3xcos3x + cos²3x – sin²3x – sin²3x– sin²3x - cos²3x+ 2 sin3x = 0

2sin3xcos3x = 0, Sin6x = 0, 6x = n, nZ , x = n/6, nZ

Ответ: x = n/6, nZ

Sin x (sin x + cos x) = 1

Sin²x + sinx cosx - Sin²x – cos²x = 0

Sinx cosx - cos²x = 0 (: cos²x 0)

tg x – 1 = 0

tg x = 1

x =/4 + n, nZ

Ответ: x =/4 + n, nZ