Урок закрепления навыков и
умений по теме «Решение тригонометрических
уравнений».
Цель урока:
- Формировать и развивать
навыки решать простейшие тригонометрические уравнения, первые 4 типа и
уравнения, приводимые к ним с помощью преобразований
- Продолжать формирование у учащихся умения
самостоятельно работать. Развивать и совершенствовать знания, умения и навыки
при выполнении различных заданий по теме. Развивать логическое мышление
учащихся, формировать навыки самоорганизации;
- Развивать у ребят умение самостоятельно
выполнять задания, умение работать с учебным материалом, контролировать свою
деятельность, адекватно оценивать результаты своей деятельности
Оборудование :учебник
«Алгебра и начала анализа 10» УМК А.Г.Мордкович; презентации, проектор,
ноутбук, доска
Ход урока
1. Организационный
момент.Приветствие учащихся. Постановка цели урока.
- Добрый день! Ребята мы разобрали простейшие и 4 типа
тригонометрических уравнений. Сегодня нам предстоит повторить и применить
полученные знания и умения при решении различных заданий.
2.Устная работа.
- Повторим формулы корней простейших тригонометрических уравнений.
- а). Установите соответствие между уравнением и его корнями:
|
А. 2 sin x = 1
|
1.
|
|
Б.  sin x = 1
|
2. 
|
|
В. – 2 cos x = 1
|
3.
|
|
Г. cos3x = 
|
4. 
|
|
Д. 2 tg x = 
|
5. 
|
- б).Является ли число 
корнем уравнения:
1) cos x = 
;
2) sin 
; 3) tg x
= 
;
3.Проверка домашнего задания. Сдайте тетради.
4.Указания учителя о ходе работы на уроке.
- Работа состоит из нескольких
этапов, так называемых учебных элементов. Учебные элементы №1-2 соответствуют первому уровню(самый
общий), № 3 - второй уровень( включает всё, что и первый уровень, но в более
сложном виде), № 4- третий уровень (все знания применяются в нестандартных
ситуациях). Проверять выполненные задания будете по эталону, который получите
после завершения работы на этапе. Сравните своё решение, исправьте ошибки (если
они есть) и выставьте количество баллов в оценочный лист.
Оценочный лист
Фамилия,
имя____________________________________________________________
|
Учебные элементы
|
Количество баллов
|
|
№ 1
|
|
|
№ 2
|
|
|
№ 3
|
|
|
№ 4
|
|
5 Самостоятельная
работа.
Учебный элемент № 1
Указания.
Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что,
пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду,
чтобы какую-то функцию (например, sinxили cosx) или комбинацию функций обозначить через другую букву, получив при этом квадратное
уравнение относительно этой переменной.
Пример. Решить
уравнение 4 – cos2x = 4cosx
Решение. Вместо cos2xподставим тождественное ему выражение
1 – sin2x. Тогда исходное уравнение примет вид
4 – (1 - sin2x) = 4sinx
3 + sin2x = 4sinx
sin2x - 4sinx + 3 = 0
Если положить y = sinx, получим квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0 Оно имеет корни 1 и
3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sinx = 1 или sinx = 3
Уравнение sinx = 1 имеет решение х = 
+ 2
n, n
Z
Уравнение sinx = 3решений не имеет.
Ответ: х = + 2n, nZ
Задания самостоятельной работы.
Решите уравнения
1 вариант
1. tg2x - 3 tgx + 2 = 0 (2 балла)
2. 2 cos2x
+ 5 sinx – 4 = 0 (3 балла).
2 вариант
1.
2 + cos2x – 3 cosx
= 0(2 балла)
2.
4- 5 cos x – 2 sin2 x = 0 (3 балла)
Учебный элемент № 2 .
Указания. Метод разложения на множители.Под разложением на множители понимается
представление данного выражения в виде произведениянескольких множителей. Если
в одной части уравнениястоит произведение нескольких множителей, а в другой - 0,то
каждый множитель приравнивается к нулю. Такимобразом, исходное уравнение можно
представить в видесовокупности более простых уравнений. Одними из самых
используемых являются способы вынесения за скобки общегомножителя, группировки, применение формул
сокращённогоумножения.
Пример. Решите
уравнения 2 sin3x – cos 2x – sinx = 0
Решение. Сначала
сгруппируем первый член с третьим, аcos 2x = cos2x–sin2x
Получим (2 sin3x - sinx) – (cos2x–sin2x) = 0
Из выражения, стоящего в первых скобках,
вынесем sinx.
В выражении, стоящем во вторых скобках, вместо cos2xзапишем 1 - sin2x. Уравнение примет sinx (2 sin2x – 1) – (1 - sin2x) = 0
Выполним дальнейшие тождественные преобразования
Sinx (2
sin2x – 1)
+ (2 sin2x – 1)
= 0
(2
sin2x – 1)(sin x
+ 1) = 0
Отсюда2 sin2x
– 1 = 0 илиsinx + 1 = 0
sinx
= 
sinx = - 1
Ответ:
х = 
/4 + n, nZ, x
= - /2 + 2n, n
Z
Задания самостоятельной работы.
Решите уравнение
1 вариант
1. sin2x - sinx
= 0 (2
балла)
2.3cos x + 2 sin2x = 0 (3
балла).
2
вариант
1. tg2x
– 4tgx = 0 (2 балла)
2. 5 sin 2x – 2 sin x = 0 (3 балла).
Учебный элемент № 3
Указания.Вы прошли 1
уровень усвоения материалов. Теперь вам самостоятельно придётся выбрать метод
решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.
Задания самостоятельной работы.
Решите уравнения
1 вариант
Sin 4x – cos 2x = 0(3 балла)
2 вариант
Sin
2x – cos 2x = 0 (3 балла).
Учебный элемент № 4
Указания.Вы освоили 2
уровень сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих
знаний и умений в более сложных ситуациях.
Задания самостоятельной работы.
Решите уравнения
1. Sin 6x + cos 6x = 1 – 2sin 3x (3балла)
2. Sin x (sin x + cos x) = 1 (3балла)
Подсказки.
1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для
2.
Раскройте скобки, примените
основное тригонометрическое тождество.
3. Итог урока.
-
По количеству баллов будут
выставлены оценки:
-
Не менее 11 баллов оценка «5»;
не менее 7 баллов оценка «4»; не менее 4 баллов оценка «3».
Эталон элемента № 1
1
вариант 2 вариант
tg2x - 3 tgx + 2 = 02 cos2x + 5 sinx – 4 = 0
tg x =
t
cos x = t
t2 – 3t + 2 =
0 t2
– 3t + 2 = 0
D = 9 – 4 . 1 . 2 = 1, D 
0
D = 9 – 4 . 1 . 2 = 1, D 0
t = 
,
t1 = 2, t2 =
1 t = ,
t1 = 2, t2 = 1
tgx =
2 cosx
= 2 решений нет
x = arctg 2 + 
n,
n
Z
cos x = 1
tg x = 1 x
= 2n,
nZ
x = /4
+ n,
nZОтвет: x = 2n,
nZ
Ответ: x = arctg 2 + n,
nZ
x = /4
+ n,
nZ
2 cos2
x + 5 sin x – 4 = 04- 5 cos x – 2 sin2
x = 0
cos2
x = 1 - sin2 xsin2 x = 1 - cos2 x
2 -2 sin2
x+ 5 sin x – 4 = 04 - 5 cos x – 2 + 2cos2
x = 0
2 sin2
x - 5 sin x + 2 = 0 2 cos2 x - 5
cos x + 2 = 0
Sin x
= t cos x = t
2t2
– 5t + 2 = 0 2t2
– 5t + 2 = 0
D = 25
– 16 = 9, D 0 D = 25 – 16 = 9, D 0
t = 
,
t1 = 2, t2 =
½ t = ,
t1 = 2, t2 = 1/2
sinx = 2 решений нет cosx = 2 решений нет
sinx =
½ cosx = ½
x = (-
1)n
+ n, nZ
x = 
+
2n,
nZ
Ответ: x = (- 1)n + n, nZОтвет: x = +
2n,
nZ
Эталонэлемента № 2
sin2
x - sin x = 0tg2 x – 4tg x = 0
sinx(sinx
– 1) = 0 tgx(tgx – 4) = 0
sinx =
0 илиsinx – 1tgx = 0 или tgx – 4 = 0
х = 
n, n
Zx = - /2 + 2n, n
Zх = n, nZ
х= arctg 4 + х = n, nZ
Ответ: х = n, nZ
Ответ: х = n, nZ
x = - /2 + 2n, nZ
х= arctg 4 + х = n, nZ
3cos x
+ 2 sin2x = 05 sin 2x
– 2 sin x = 0
3 cos
x + 4 sin xcos x = 0 10 sin x cos x –
2sin x = 0
сos x(3 + 4 sin x) =
0 sin x(10 cos x – 2) = 0
cos x
= 0 или
3 + 4 sin x = 0 sin x = 0 или 10 cos x – 2 = 0
x = - /2 + 2n, n Zsin x = -
¾ х = n, nZcos x = 1/5
x = -arcsin3/4 +n, nZ
x 
arccos
1/5 + 2
n, n
Z
Ответ:x = - /2 + 2n, nZ Ответ:х = n, n
Z
x =
-arcsin3/4 +n, nZx arccos
1/5 + 2n, nZ
Эталонэлемента № 3
Sin 4x
– cos 2x = 0Sin 2x – cos 2x = 0
2 sin
2xcos 2x – cos 2x = 0 cos(/2 – 2x) – cos 2x = 0
Cos 2x
(2sin 2x – 1) = 0 -2sin 
sin 
= 0
Cos2x
= 0 или 2sin2x – 1 = 0 2sin
/4 sin(/4 – 2x) = 0
x =/4 + n/2, nZ;
2x=(-1)n/6 +n, nZ
2.
sin(/4 – 2x) = 0
x=(-1)n/12 +n/2, nZ
sin(/4 – 2x) = n, nZ
x = /8 - n/2, nZ
Ответ:x =/4 + n/2, nZОтвет: x = /8 - n/2, nZ
x=(-1)n/12 +n/2, nZ
Эталон элемента № 4
Sin 6x
+ cos 6x = 1 – 2sin 3x
2sin3xcos3x
+ cos23x – sin23x – sin23x– sin23x
- cos23x+ 2 sin3x = 0
2sin3xcos3x
= 0, Sin6x = 0, 6x = n, nZ ,
x = n/6, nZ
Ответ: x = n/6, nZ
Sin x
(sin x + cos x) = 1
Sin2x + sinx cosx - Sin2x – cos2x
= 0
Sinx cosx - cos2x = 0 (: cos2x 
0)
tg x – 1 = 0
tg x = 1
x =/4 + n, n
Z
Ответ: x =/4 + n, nZ
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.