Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Инфоурок Алгебра КонспектыКонспект урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Конспект урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов

Урок закрепления навыков и умений по теме «Решение тригонометрических

уравнений».

Цель урока:

- Формировать и развивать навыки решать простейшие тригонометрические уравнения, первые 4 типа и уравнения, приводимые к ним с помощью преобразований

- Продолжать формирование у учащихся умения самостоятельно работать. Развивать и совершенствовать знания, умения и навыки при выполнении различных заданий по теме. Развивать логическое мышление учащихся, формировать навыки самоорганизации;

- Развивать у ребят умение самостоятельно выполнять задания, умение работать с учебным материалом, контролировать свою деятельность, адекватно оценивать результаты своей деятельности

Оборудование :учебник «Алгебра и начала анализа 10» УМК А.Г.Мордкович; презентации, проектор, ноутбук, доска

Ход урока

1. Организационный момент.Приветствие учащихся. Постановка цели урока.

- Добрый день! Ребята мы разобрали простейшие и 4 типа тригонометрических уравнений. Сегодня нам предстоит повторить и применить полученные знания и умения при решении различных заданий.

2.Устная работа.

- Повторим формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

- а). Установите соответствие между уравнением и его корнями:

А. 2 sin x = 1

1.

Б. sin x = 1

2.

В. – 2 cos x = 1

3.

Г. cos3x =

4.

Д. 2 tg x =

5.



А

Б

В

Г

Д








- б).Является ли число корнем уравнения:

1) cos x = ; 2) sin ; 3) tg x = ;

3.Проверка домашнего задания. Сдайте тетради.



4.Указания учителя о ходе работы на уроке.

- Работа состоит из нескольких этапов, так называемых учебных элементов. Учебные элементы №1-2 соответствуют первому уровню(самый общий), № 3 - второй уровень( включает всё, что и первый уровень, но в более сложном виде), № 4- третий уровень (все знания применяются в нестандартных ситуациях). Проверять выполненные задания будете по эталону, который получите после завершения работы на этапе. Сравните своё решение, исправьте ошибки (если они есть) и выставьте количество баллов в оценочный лист.

Оценочный лист

Фамилия, имя____________________________________________________________

5 Самостоятельная работа.

Учебный элемент № 1

Указания.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sinxили cosx) или комбинацию функций обозначить через другую букву, получив при этом квадратное уравнение относительно этой переменной.

Пример. Решить уравнение 4 – cos2x = 4cosx

Решение. Вместо cos2xподставим тождественное ему выражение

1 – sin2x. Тогда исходное уравнение примет вид

4 – (1 - sin2x) = 4sinx

3 + sin2x = 4sinx

sin2x - 4sinx + 3 = 0

Если положить y = sinx, получим квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0 Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sinx = 1 или sinx = 3

Уравнение sinx = 1 имеет решение х = hello_html_569a79be.gifhello_html_569a79be.gif + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gifZ

Уравнение sinx = 3решений не имеет.

Ответ: х = hello_html_569a79be.gifhello_html_569a79be.gif + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gifZ

Задания самостоятельной работы.

Решите уравнения

1 вариант

1. tg2x - 3 tgx + 2 = 0 (2 балла)

2. 2 cos2x + 5 sinx – 4 = 0 (3 балла).

2 вариант

1. 2 + cos2x – 3 cosx = 0(2 балла)

2. 4- 5 cos x – 2 sin2 x = 0 (3 балла)

Учебный элемент № 2 .

Указания. Метод разложения на множители.Под разложением на множители понимается
представление данного выражения в виде произведениянескольких множителей. Если в одной части уравнениястоит произведение нескольких множителей, а в другой - 0,то каждый множитель приравнивается к нулю. Такимобразом, исходное уравнение можно представить в видесовокупности более простых уравнений. Одними из самых используемых являются способы вынесения за скобки общего
множителя, группировки, применение формул сокращённогоумножения.

Пример. Решите уравнения 2 sin3xcos 2xsinx = 0

Решение. Сначала сгруппируем первый член с третьим, аcos 2x = cos2xsin2x
Получим (2
sin3x - sinx) – (cos2xsin2x) = 0

Из выражения, стоящего в первых скобках, вынесем sinx.
В выражении, стоящем во вторых скобках, вместо cos2xзапишем 1 - sin2x. Уравнение примет sinx (2 sin2x – 1) – (1 - sin2x) = 0

Выполним дальнейшие тождественные преобразования

Sinx (2 sin2x – 1) + (2 sin2x – 1) = 0

(2 sin2x – 1)(sin x + 1) = 0

Отсюда2 sin2x – 1 = 0 илиsinx + 1 = 0

sinx = hello_html_2848dce.gifhello_html_2848dce.gifsinx = - 1

Ответ: х = hello_html_m727ec0a1.gifhello_html_m727ec0a1.gif/4 + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gifZ, x = - hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/2 + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gifZ

Задания самостоятельной работы.

Решите уравнение

1 вариант
1. sin2x - sinx = 0 (2 балла)

2.3cos x + 2 sin2x = 0 (3 балла).

2 вариант

  1. tg2x – 4tgx = 0 (2 балла)

  2. 5 sin 2x – 2 sin x = 0 (3 балла).



Учебный элемент № 3

Указания.Вы прошли 1 уровень усвоения материалов. Теперь вам самостоятельно придётся выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

Задания самостоятельной работы.

Решите уравнения

1 вариант

Sin 4xcos 2x = 0(3 балла)

2 вариант

Sin 2xcos 2x = 0 (3 балла).



Учебный элемент № 4

Указания.Вы освоили 2 уровень сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Задания самостоятельной работы.

Решите уравнения

  1. Sin 6x + cos 6x = 1 – 2sin 3x (3балла)

  2. Sin x (sin x + cos x) = 1 (3балла)

Подсказки.

  1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для

  2. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

3. Итог урока.

  • По количеству баллов будут выставлены оценки:

  • Не менее 11 баллов оценка «5»; не менее 7 баллов оценка «4»; не менее 4 баллов оценка «3».

Эталон элемента № 1

1 вариант 2 вариант

tg2x - 3 tgx + 2 = 02 cos2x + 5 sinx – 4 = 0

tg x = t cos x = t

t2 – 3t + 2 = 0 t2 – 3t + 2 = 0

D = 9 – 4 . 1 . 2 = 1, D hello_html_m9a19a56.gifhello_html_m9a19a56.gif 0 D = 9 – 4 . 1 . 2 = 1, D hello_html_m9a19a56.gifhello_html_m9a19a56.gif 0

t = hello_html_1cd5c288.gifhello_html_1cd5c288.gif, t1 = 2, t2 = 1 t = hello_html_1cd5c288.gifhello_html_1cd5c288.gif, t1 = 2, t2 = 1

tgx = 2 cosx = 2 решений нет

x = arctg 2 + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ cos x = 1

tg x = 1 x = 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

x = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/4 + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZОтвет: x = 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

Ответ: x = arctg 2 + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

x = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/4 + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ




2 cos2 x + 5 sin x – 4 = 04- 5 cos x – 2 sin2 x = 0

cos2 x = 1 - sin2 xsin2 x = 1 - cos2 x

2 -2 sin2 x+ 5 sin x – 4 = 04 - 5 cos x – 2 + 2cos2 x = 0

2 sin2 x - 5 sin x + 2 = 0 2 cos2 x - 5 cos x + 2 = 0

Sin x = t cos x = t

2t2 – 5t + 2 = 0 2t2 – 5t + 2 = 0

D = 25 – 16 = 9, D hello_html_m9a19a56.gifhello_html_m9a19a56.gif 0 D = 25 – 16 = 9, D hello_html_m9a19a56.gifhello_html_m9a19a56.gif 0

t = hello_html_12e1a65.gifhello_html_12e1a65.gif, t1 = 2, t2 = ½ t = hello_html_12e1a65.gifhello_html_12e1a65.gif, t1 = 2, t2 = 1/2

sinx = 2 решений нет cosx = 2 решений нет

sinx = ½ cosx = ½

x = (- 1)nhello_html_m5e3cd91a.gifhello_html_m5e3cd91a.gif + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ x = hello_html_m361ce105.gifhello_html_m361ce105.gif + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

Ответ: x = (- 1)nhello_html_m5e3cd91a.gifhello_html_m5e3cd91a.gif + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZОтвет: x = hello_html_m361ce105.gifhello_html_m361ce105.gif + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ


Эталонэлемента № 2

sin2 x - sin x = 0tg2 x – 4tg x = 0

sinx(sinx – 1) = 0 tgx(tgx – 4) = 0

sinx = 0 илиsinx – 1tgx = 0 или tgx – 4 = 0

х = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZx = - hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/2 + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gifZх = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ х= arctg 4 + х = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

Ответ: х = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ Ответ: х = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

x = - hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/2 + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gifZ х= arctg 4 + х = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ


3cos x + 2 sin2x = 05 sin 2x – 2 sin x = 0

3 cos x + 4 sin xcos x = 0 10 sin x cos x – 2sin x = 0

сos x(3 + 4 sin x) = 0 sin x(10 cos x – 2) = 0

cos x = 0 или 3 + 4 sin x = 0 sin x = 0 или 10 cos x – 2 = 0

x = - hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/2 + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, n hello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gif Zsin x = - ¾ х = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZcos x = 1/5

x = -arcsin3/4 +hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ x hello_html_5b58188d.gifhello_html_5b58188d.gifarccos 1/5 + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gifZ

Ответ:x = - hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/2 + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gifZ Ответ:х = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

x = -arcsin3/4 +hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZx hello_html_5b58188d.gifhello_html_5b58188d.gifarccos 1/5 + 2hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_6e0cc5b4.gifhello_html_6e0cc5b4.gifZ


Эталонэлемента № 3

Sin 4x – cos 2x = 0Sin 2x – cos 2x = 0

2 sin 2xcos 2x – cos 2x = 0 cos(hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/2 – 2x) – cos 2x = 0

Cos 2x (2sin 2x – 1) = 0 -2sin hello_html_68e682cc.gifhello_html_68e682cc.gif sin hello_html_m4b610cb.gifhello_html_m4b610cb.gif = 0

Cos2x = 0 или 2sin2x – 1 = 0 2sinhello_html_4a3c2a09.gifhello_html_4a3c2a09.gif/4 sin(hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/4 – 2x) = 0

x =hello_html_4a3c2a09.gifhello_html_4a3c2a09.gif/4 + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn/2, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ; 2x=(-1)nhello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/6 +hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ 2.hello_html_m187c0e50.gifhello_html_m187c0e50.gifsin(hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/4 – 2x) = 0

x=(-1)nhello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/12 +hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn/2, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ sin(hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/4 – 2x) = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

x = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/8 - hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn/2, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

Ответ:x =hello_html_4a3c2a09.gifhello_html_4a3c2a09.gif/4 + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn/2, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZОтвет: x = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/8 - hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn/2, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

x=(-1)nhello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gif/12 +hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn/2, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ


Эталон элемента № 4

Sin 6x + cos 6x = 1 – 2sin 3x

2sin3xcos3x + cos23x – sin23x – sin23x– sin23x - cos23x+ 2 sin3x = 0

2sin3xcos3x = 0, Sin6x = 0, 6x = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ , x = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn/6, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

Ответ: x = hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn/6, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

Sin x (sin x + cos x) = 1

Sin2x + sinx cosx - Sin2x – cos2x = 0

Sinx cosx - cos2x = 0 (: cos2x hello_html_be71f2d.gifhello_html_be71f2d.gif 0)

tg x – 1 = 0

tg x = 1

x =hello_html_4a3c2a09.gifhello_html_4a3c2a09.gif/4 + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ

Ответ: x =hello_html_4a3c2a09.gifhello_html_4a3c2a09.gif/4 + hello_html_208f290.gifhello_html_208f290.gifn, nhello_html_39594408.gifhello_html_39594408.gifZ







Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Цель урока:

- Формировать и развивать навыки решать простейшие тригонометрические уравнения, первые 4 типа и уравнения, приводимые к ним с помощью преобразований

- Продолжать формирование у учащихся умения самостоятельно работать. Развивать и совершенствовать знания, умения и навыки при выполнении различных заданий по теме. Развивать логическое мышление учащихся, формировать навыки самоорганизации;

- Развивать у ребят умение самостоятельно выполнять задания, умение работать с учебным материалом, контролировать свою деятельность, адекватно оценивать результаты своей деятельности

Общая информация
Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Тема: Глава 3. Тригонометрические уравнения

Номер материала: ДБ-921045

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Управление персоналом и оформление трудовых отношений»
Курс профессиональной переподготовки «Экскурсоведение: основы организации экскурсионной деятельности»
Курс повышения квалификации «Экономика: инструменты контроллинга»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Использование активных методов обучения в ВУЗе в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
Курс профессиональной переподготовки «Управление информационной средой на основе инноваций»
Курс повышения квалификации «Информационная этика и право»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.