Конспект урока по теме "Уравнение sin x = a"

Урок 79. Уравнение sin x = a

Цели:

- ввести определение арксинуса, рассмотреть формулу решения уравнения sin x = a, рассмотреть частные случаи решения этого уравнения; учить решать простейшие тригонометрические уравнения;

- продолжить развитие памяти, внимания, логического мышления, математической зоркости;

- воспитывать усидчивость, самостоятельность, аккуратность.

Ход урока

I. ОНУ.

II. Изучение нового.

Из определения синуса следует, что - l < s i n a < l . Поэтому если |а|>1, то уравнение sin х = а не имеет корней. Например, уравнение s in х = 2 не имеет корней.

Задача 1. Решить уравнение sinx= 1/2.

Напомним, что sin х — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1 ; 0) вокруг начала координатна угол х. Ординату, равную ½ имеют две точки окружности М ₁ и М ₂ (рис. 128). Так как ½ = s in, то точка М₁  получается из точки Р (1 ; 0) поворотом на угол х₁ =,  а также на углы х = + 2nk, где k = ± 1, +2, ... .

Точка М₂ получается из точки Р (1 ; 0) поворотом на угол х₂ = , а также на углы х = .+ 2nk, т. е. на углы  х = +2nk, где k = ± 1, + 2 , ... .

И так, все корни уравнения sin х = ½  можно найти по формулам х = + 2nk и х = +2nk,kϵZ.

Эти формулы объединяются в одну: х = .

Рассмотреть решение задачи №2 по учебнику стр. 315.

Итак, каждое из уравнений sinx=1/2  и sinx = -1/2 имеет бесконечное множество корней. На отрезке   каждое из этих уравнении имеет только один корень: х₁ =  — корень уравнения s in x = ½  и х₂ = -  — корень уравнения smx = -1/2.

 Число  называют арксинусом числа 1/2 и записывают arcsin1/2 = , число - — называют арксинусом числа  - 1/2 и пишут arcsin( - l/2 ) = - .

Вообще уравнение sin х = а, где - 1 < а < 1 , на отрезке  имеет только один корень. Если а  0, то корень заключен в промежутке  ; если а < 0, то корень заключен промежутке  

Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsina (рис. 130).

Определение

Арксинусом числа a ϵ [ - 1; 1] называется такое число α ϵ[-], синус которого равен а:

arcsin а = α, если sinα = a и α ϵ[-].

Корни уравнения sinx = a, где |а|<1, выражаются формулой х = (— l ) ⁿ arcsin а + пπп , n € Z .

arcsin (— а ) = — arcsin а.

Корни уравнения sinx = a при а = 0, а = 1, a = —1 можно находить по более простым формулам:

sinx = 0, х = πп, n ϵ Z ,

s i n x = l , х = π/2 + 2 πп, n ϵZ ,

sinx = - l , x = - π/2 + 2 πn, n ϵ Z .

III. Закрепление.

№18(1,3 5)

№19(1,3)

№21(1,3)

№22(1,3)

№23(1,3)

IV. Итог урока.

Д.з.

§2 стр. 314, №18(2), №19(2), №21(2), №22(2)