Практикум по теме

«Условная вероятность, дерево случайного опыта,

формула полной вероятности и независимость событий»

1. Условная вероятность

1. Правильную игральную кость бросают дважды. Найдите вероятности событий:

а)  в первый раз выпало менее шести очков и сумма очков равна 8;

б) в первый раз выпало менее шести очков, если известно, что сумма выпавших очков равна 8.

2. При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9. Найдите условную вероятность следующих событий:

а) в первый раз выпало 5 очков;

б) при одном из бросков выпало 4 очка;

в) в первый раз выпало меньше очков, чем во второй;

г) во второй раз выпало меньше чем 3 очка.

3. В некотором опыте произошло событие B. Может ли это:

а) увеличить вероятность другого события;

б) уменьшить вероятность другого события?

Приведите примеры, когда условная вероятность события больше и когда она меньше исходной вероятности этого события.

4. Игральную кость бросают дважды. Событие А заключается в том, что при втором броске выпало не больше 3 очков. Приведите пример события, наступление которого:

а) не меняет вероятность события А;

б) уменьшает вероятность события А;

в) увеличивает вероятность события А.

2. Умножение вероятностей

1. В парке установлены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в каждом отдельном автомате, равна 0,3. В обоих автоматах кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. Вечером пришел мастер, чтобы обслужить автоматы, и обнаружил, что в первом кофе закончился. Какова теперь вероятность того, что во втором автомате кофе тоже закончился?

2. Предположим, что в некотором городе 48% населения — мужчины, а среди мужчин 15%  — пенсионеры. Какова вероятность того, что случайно выбранный житель города окажется мужчиной на пенсии?

3. В некотором случайном опыте могут наблюдаться события A и B, причем P(A) = 0,75, P(B) = 0,8, а вероятность совместного наступления этих событий P(A ∩ B) = 0,5. Найдите: а) вероятность события A при условии, что наступило событие B; б) вероятность события B при условии, что наступило событие A.

4. Тест по истории сдали 85% учащихся школы, а тест по английскому языку — 70% учащихся. Известно, что тест по английскому языку сдали 77% тех, кто сдал тест по истории. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик из тех, кто сдал тест по английскому, также сдал тест по истории.

5. Тест по обществознанию сдали 90% учащихся школы, а тест по химии сдали 75% учащихся. При этом известно, что тест по химии сдали 63% тех, кто сдал тест по обществознанию. Найдите вероятность того, что ученик, случайно выбранный из тех, кто сдал тест по химии, также сдал тест по обществознанию.

6. . Рассеянный ученый проводил исследование и в некотором случайном эксперименте у него получились следующие вероятности: P(N) = 0,44, P(M) = 0,8, P(N|M) = 0,65. Не ошибся ли он?

7. В некотором случайном опыте наступление события B увеличивает вероятность события A. Докажите, что в этом случае наступление события A увеличивает вероятность события B.

3. Дерево случайного эксперимента.  Формула полной вероятности

1. На рисунке 15 изображено дерево опыта. Найдите: а) P(K); б) P(b|K); в) P(A|K); г) P(b); д) P(A).

2. Автоматическая линия изготавливает зарядные устройства для телефонов. Известно, что 3% готовых устройств неисправны. Из этих неисправных устройств 98% обнаруживаются при контроле качества продукции. Однако система контроля ошибочно бракует 1% исправных устройств. Устройства, которые не забракованы, упаковываются и поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранное сошедшее с автоматической линии зарядное устройство поступит в продажу.

3. Агрофирма закупает куриные яйца в двух фермерских хозяйствах. 95% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получают 80% яиц. Найдите вероятность того, что случайное яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

4. Игральную кость последовательно бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не станет больше или равна 4. Найдите вероятность, что будет сделано ровно два броска.

5. Экзаменационный билет состоит из трех вопросов. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9, на второй — 0,8, на третий — 0,7. Найдите вероятность того, что студент, выбрав случайный билет, ответит по крайней мере на два вопроса.

6. На столе было десять монет: две по 10 рублей, а остальные по 5 рублей. Антон, не глядя, кладет в один карман три случайные монеты, а все остальные — в другой карман. Найдите вероятность того, что обе десятирублевые монеты оказались в одном кармане.

7. Всем пациентам с подозрением на одну из тропических лихорадок делают анализ крови. Если анализ выявляет возбудителя лихорадки, то результат анализа называется положительным. У больных лихорадкой анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если лихорадки нет, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что у пациентов, поступающих с подозрением на лихорадку, анализ оказывается положительным в 19,6% случаев. Найдите вероятность того, что поступивший с подозрением пациент действительно болен этой лихорадкой.

8. Чтобы поступить на специальность «Международные отношения», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и иностранному языку. Чтобы поступить на специальность «Таможенное дело», нужно набрать не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и обществознанию. Вероятность того, что абитуриент Р получит не менее 68 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,5 и по обществознанию — 0,7. Найдите вероятность того, что Р сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

9. Известно, что в некоторой школе ЕГЭ по обществознанию планируют сдавать 57% выпускников, а ЕГЭ по физике – 39%. Известно, что ЕГЭ по физике сдаёт 65% тех, кто сдает ЕГЭ по обществознанию. Найдите вероятность того, что случайно выбранный выпускник из числа тех, кто сдает ЕГЭ по физике, также сдает и ЕГЭ по обществознанию.

10. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая  — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая  — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

11. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

12. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

4.Независимые события

1. В шахматной коробке лежат 16 белых и 16 черных фигур. Из коробки не глядя достают по очереди две фигуры. Найдите вероятность события «обе фигуры чёрные», если а) перед тем, как достать вторую фигуру, первую не кладут в коробку; б) перед тем, как достать вторую фигуру, первую снова кладут в коробку.

2. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

3. Экзаменационный билет состоит из трёх вопросов. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9; на второй — 0,8; на третий — 0,7. Найдите вероятность того, что студент, выбрав билет, ответит а) на все вопросы; б) по крайней мере на два вопроса.

4. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

5. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

6. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.