Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме: "Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы".

Конспект урока по теме: "Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы".

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема занятия: «Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы».

Цели занятия:

  1. отработать навык решения упражнений на отыскание предела функции в точке и на бесконечности с использованием изученных формул. Познакомить с формулами, выражающими первый и второй замечательные пределы, показать алгоритм использования этих формул при решении упражнений.

  2. развивать память, внимание, продолжить развитие математической речи учащихся; способствовать развитию творческой деятельности учащихся и интереса к предмету математика.

  3. воспитывать аккуратность, формировать умение внимательно выслушивать мнение других, воспитание  уверенности в себе, культуры общения, аккуратности при оформлении чертежей и записей в тетради.

Тип занятия: комбинированное.

Ход занятия

I.Организационный этап.

II.Актуализация знаний.

Выписать на доске формулы:

hello_html_78671cd8.gif (1)

hello_html_4bb1868e.gif (2)

hello_html_14fa9b14.gif, если hello_html_m5ad950a9.gif (3)

hello_html_m7612ba79.gif (4);

Если hello_html_71bf4bd3.gif, hello_html_m69b94e9.gif, то

hello_html_3e7fb633.gif;

hello_html_m1c6e25ad.gif;

hello_html_314f3cf2.gif;

hello_html_m18523b8.gif.

hello_html_503a1ff5.gif;


III.Решение упражнений.

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image002.gif

Функции под знаком предела, в данном случае http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image012.gif.

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image024.gif

Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Примеры с бесконечностью:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image026.gif

Итак: если http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image028_0000.gif, то функция http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image039_0000.gif стремится к минус бесконечности:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image047.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image051.gif

Опять начинаем увеличивать http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0001.gif до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image053.gif

Вывод: при http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image028_0001.gif функция http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image056.gif  неограниченно возрастает:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image058.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image060.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image062.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image064.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image066.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image068.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image070.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image072.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image074.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image076.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image078.gif

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image092.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image094.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image096.gif и т.д.

Пределы с неопределенностью вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image098.gif и метод их решения

Пример 1:

Вычислить предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image100.gif

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image098_0000.gif. Сначала мы смотрим на числитель и находим http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0002.gif в старшей степени:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image105.jpg
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0003.gif в старшей степени:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image107.jpg
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image098_0001.gif необходимо разделить числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0004.gif в старшей степени.

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image109.gif
Разделим числитель и знаменатель на
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image111.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image113.gif

В пределе желательно помечать, что и куда стремится.
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image119.jpg

Пример 2

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image121.gif
Снова в числителе и знаменателе находим
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0005.gif в старшей степени:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image124.jpg
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем
наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image126.gif делим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image128.gif.
Полное оформление задания может выглядеть так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image130.gif

Разделим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image128.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image134.gif

Пример 3

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image136.gif
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0006.gif можно записать как http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image139.gif)
Для раскрытия неопределенности
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image126_0000.gif необходимо разделить числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image141.gif. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image143.gif

Разделим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image141_0000.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image146.gif

Под записью http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image148.gif подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image098_0002.gif у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.


Пределы с неопределенностью вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image150.gif и метод их решения

Пример 4

Решить предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image152.gif
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image154.gif 
В данном случае получена так называемая неопределенность
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image156.gif.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image156_0000.gif, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image158.gif

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image160.gif
Сначала находим дискриминант:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image162.gif
И квадратный корень из него:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image164.gif.


http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image166.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image168.gif

Таким образом:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image170.gif

Знаменатель http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image172.gif уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image174.gif

Очевидно, что можно сократить на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image176.gif:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image178.gif

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image180.gif

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image158_0000.gif

Разложим числитель на множители.
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image160_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image162_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image164_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image166_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image168_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image183.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image185.gif

Пример 5

Вычислить предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image187.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image189.gif

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image191.gif
Знаменатель:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image193.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image195.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image197.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image199.gif, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image201.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image203.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image205.gif

! Важно
В ходе решения фрагмент типа http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image207.gif встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image209.gif, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image156_0001.gif

Пример 6

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image212.gif

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image214.gif

Получена неопределенность вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image150_0000.gif, которую нужно устранять.
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image217.gif

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image150_0001.gif используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем формулу разности квадратов: http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image219.gif
И смотрим на наш предел:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image221.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image223.gif у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image225.gif (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image227.gif

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image225_0000.gif мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image225_0001.gif:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image229.gif

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Теперь самое время применить вверху формулу http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image219_0000.gif:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image231.gif

Неопределенность http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image150_0002.gif не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image233.gif

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image235.gif

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image217_0000.gif

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image238.gif

Пример 7

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image240.gif

Окончательное решение примера может выглядеть так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image242.gif

Разложим числитель на множители:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image244.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image246.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image248.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image250.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image252.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image254.gif

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image256.gif

IV.Изучение нового материала.

Первый и второй замечательные пределы.

В курсе математического анализа, доказывается, что:

 http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image006.gif

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image008.gif – тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image010.gif, то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image012.gif может выступать не только переменная http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image014.gif, но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image016.gif, http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image018.gif, http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image020.gif, http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image022.gif

Здесь http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image024.gif, http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image026.gif, http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image028.gif, http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image030.gif, первый замечательный предел применим.

Пример 1

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image042.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image044.gif

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image051.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image057.jpg

Пример 2

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image065.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image067.gif

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image079.jpg

Пример 3

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image081.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image083.gif

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image093.gif

Пример 4

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image095.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image097.gif

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image112.gif

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image118.gif

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка: http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image120.gif – это иррациональное число.

В качестве параметра http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image012_0000.gif может выступать не только переменная http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image014_0000.gif, но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image122.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image134.gif

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image148.jpg


Пример 7

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image150.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image152.gif

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image186.gif

второй замечательный предел выглядит следующим образом: http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image118_0000.gif. Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image189.gif

Пример 8

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image191.gif

http://www.mathprofi.ru/f/zamechatelnye_predely_clip_image211.gif

IV.Итог занятия.

Домашнее задание: конспект, § 26

26.16 (а, б), 26.17 (а, б), 26.18 (а, б), 26.19 (а).








Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 28.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров955
Номер материала ДВ-205165
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх