Конспект урока по теме: "Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы".

Тема занятия: «Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы».

Цели занятия:

1)      отработать навык решения упражнений на отыскание предела функции в точке и на бесконечности с использованием изученных формул. Познакомить с формулами, выражающими первый и второй замечательные пределы, показать алгоритм использования этих формул при решении упражнений.

2)      развивать память, внимание, продолжить развитие математической речи учащихся; способствовать развитию творческой деятельности учащихся и интереса к предмету математика.

3)      воспитывать аккуратность, формировать умение внимательно выслушивать мнение других, воспитание  уверенности в себе, культуры общения, аккуратности при оформлении чертежей и записей в тетради.

Тип занятия: комбинированное.

Ход занятия

I.Организационный этап.

II.Актуализация знаний.

Выписать на доске формулы:

                                                      (1)

                                                    (2)

, если                               (3)

                                                     (4);

Если , , то

;

;

;

.

;

III.Решение упражнений.

 Функции под знаком предела, в данном случае .

Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Примеры с бесконечностью:

Итак: если , то функция  стремится к минус бесконечности:

Опять начинаем увеличивать  до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при  функция   неограниченно возрастает:

, , , , , , , , ,

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , ,  и т.д.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Пример 1:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Сначала мы смотрим на числитель и находим  в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим  в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на  в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

 В пределе желательно помечать, что и куда стремится.

Пример 2

Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим  в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности  необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида  у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Пример 4

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
 
В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

Таким образом:

Знаменатель  уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Пример 5

Вычислить предел

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:



,

! Важно
В ходе решения фрагмент типа  встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Пример 6

Найти предел

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела 

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
  у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать  (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо,  мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Теперь самое время применить вверху формулу :

Неопределенность  не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример 7

Найти предел

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

IV.Изучение нового материала.

Первый и второй замечательные пределы.

В курсе математического анализа, доказывается, что:

 

 – тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра  может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
, , ,

Здесь , , , ,  первый замечательный предел применим.

Пример 1

Найти предел        

     

Пример 2

Найти предел          

Пример 3

Найти предел        

Пример 4

Найти предел       

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка:  – это иррациональное число.

В качестве параметра  может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти предел      

Пример 7

Найти предел       

второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

Пример 8

Найти предел

IV.Итог занятия.

Домашнее задание: конспект, § 26

№ 26.16 (а, б), 26.17 (а, б), 26.18 (а, б), 26.19 (а).