Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме "Возвратные уравнения" (8 класс)

Конспект урока по теме "Возвратные уравнения" (8 класс)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Организационная информация

Тема урока

Возвратные уравнения

Предмет

Математика

Класс

8

Автор урока

Елисеенков Денис Викторович

Методическая информация

Тип урока:

Комбинированный

Цели урока


Образовательные:

  • познакомиться с понятием «возвратное уравнение»;

  • формирование навыка решения возвратных уравнений..

Развивающие:

  • развивать у учащихся логическое мышление, внимание;

  • формирование навыка сравнения, обобщения и анализа творческих способностей;

  • формировать потребность в приобретении знаний.

Воспитательные:

  • воспитывать навыки самоконтроля, привычки к рефлексии;

  • воспитать внимательность, аккуратность и взаимопомощь.

Задачи урока


  • рассмотреть возвратные уравнения 3-й степени;

  • рассмотреть возвратные уравнения 4-й степени;

  • сделать выводы по решению возвратных степеней любой степени

ЗУН, которые приобре-тут ученики в ходе урока

  • умение видеть возвратные уравнения в примерах;

  • умение решать возвратные уравнения 3-й степени;

  • умение решать возвратные уравнения 4-й степени.

Необходимое оборудо-вание и материалы

  • опорный конспект.

План урока

(45 мин)

1. Организационный момент (2 мин).

2. Изучение нового (40 мин).

3. Подведение итогов урока (2 мин).

4. Запись домашней работы (для желающих) (1 мин).

Подробный конспект урока

Ход и содержание урока


1. Организационный момент.

Учитель сообщает тему и цели урока.

2. Изучение нового материала.

Определение. Алгебраическое уравнение вида a0xn + a1xn-1 +…+ an = 0 называют возвратным уравнением, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны между собой (ak = an-k, где k = 0, 1, …, n).

Примерами таких уравнений являются:

1) x3 – 2x2 – 2x + 1 = 0, a0 = a2 = 1, a1 = a2 = – 2;

2) 2x4 – 3x3 + 5x2 – 3x +2 = 0, a0 = a4 = 2, a1 = a3 = – 3, a2 = 5.

Рассмотрим решение возвратных уравнений 3-й и 4-й степеней.

I) Возвратное уравнение 3-й степени имеет вид:

ax3 + bx2 + bx + a = 0 (1).

Разложим на множители левую часть уравнения:

ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1)(x2x + 1) + bx(x + + 1) = (x + 1)(ax2ax + a + bx) = (x + 1)(ax2 + (b – a)x + a).

Уравнение (1) приняло вид:

(x + 1)(ax2 + (ba)x + a) = 0.

Решением уравнения (1) будут корни: x = – 1, а другие корни получаются путем решения квадратного уравнения ax2 + (ba)x + + a = 0.

Пример 1. Решим уравнение 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0.

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения:

2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 2(x3 + 1) + 7x(x + 1) = 2(x + 1)(x2x + 1) + 7x(x + + 1) = (x + 1)(2x2 – 2x + 2 + 7x) = (x + 1)(2x2 + 5x + 2).

x = – 1 или 2x2 + 5x + 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D = 25 – 16 = 9

D > 0, 2 корня, hello_html_3d0480a4.gif= 3.

x1 = hello_html_m5464ba88.gif= – 2 или x2 = hello_html_380b3d27.gif.

Ответ: {– 2; – 1; hello_html_1883277e.gif}.

II) Возвратное уравнение 3-й степени имеет вид:

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (2).

Так как a ≠ 0, то x = 0 не является корнем.

Разделим обе части уравнения (2) на x2 и сгруппируем отдельно слагаемые с a, с b:

ahello_html_m55508b9b.gif + bhello_html_5714f28c.gif + с = 0.

Пусть hello_html_7e51a7bb.gif (3).

Возведем в квадрат обе части уравнения (3):

hello_html_cb3b626.gif. Значит, hello_html_m52c1f300.gif.

Получим квадратное уравнение относительно t:

a(t2 – 2) + bt + c = 0;

at2 + bt + (c – 2a) = 0 (4).

Решая уравнение (4), найдем его корни t1 и t2.

Чтобы найти x, необходимо решить следующие уравнения:

hello_html_m1f3b69b0.gif; x2t1x + 1 = 0 и hello_html_m1f3b69b0.gif; x2t2x + 1 = 0.

Решения данных уравнения и будут являться решением уравнения (2).

Пример 2. Решим уравнение 6x4 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0.

Решение:

Разделим обе части уравнения на x2 и сгруппируем слагаемые:

6hello_html_m55508b9b.gif – 35hello_html_5714f28c.gif + 62 = 0.

Пусть hello_html_7e51a7bb.gif, тогда hello_html_m52c1f300.gif.

6(t2 – 2) – 35t + 62 = 0;

6t2 35t + 50 = 0

D = 1225 – 1200 = 25

D > 0, 2 корня, hello_html_3d0480a4.gif= 5.

t1 = hello_html_m63f72158.gif или t2 =hello_html_64b226c5.gif.

Вернемся к замене:

hello_html_me931972.gif; 2x25x + 2=0

D = 25 – 16 = 9

D > 0, 2 корня, hello_html_3d0480a4.gif= 3.

x1 = hello_html_1ee1bf49.gif или x2 = hello_html_7798f48e.gif= 2.

и

hello_html_m28d9d522.gif; 3x210x + 3=0

D1 = 25 – 9 = 16

D1 > 0, 2 корня, hello_html_69dade3a.gif= 4.

x3 = hello_html_m55d1996b.gif или x4 = hello_html_m3d0ec3db.gif= 3.

Ответ: {hello_html_m19e8bb17.gif; hello_html_m3d4efe4.gif; 2; 3}.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:

1) Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой hello_html_7e51a7bb.gif.

2) Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x = −1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

3. Резерв:

№1. Решите уравнение 3x3 – 7x2 – 7x + 3 = 0.

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения:

3x3 – 7x2 – 7x + 3 = 3(x3 + 1) – 7x(x + 1) = 3(x + 1)(x2x + 1) – 7x(x + + 1) = (x + 1)(3x2 – 3x + 3 – 7x) = (x + 1)(3x210x + 3).

x = – 1 или 3x210x + 3 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D1 = 25 – 9 = 16

D > 0, 2 корня, hello_html_3d0480a4.gif= 4.

x1 = hello_html_m21fbfc9e.gif или x2 = hello_html_7e63f15c.gif= 3.

Ответ: {– 1; hello_html_m19e8bb17.gif; 3}.

5. Итог урока.

Проговаривается все, что успели сделать на уроке.

Домашнее задание

(для желающих)


Решить нерешенные примеры:

1) x3 – 2x2 – 2x + 1 = 0.

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения:

x3 – 2x2 – 2x + 1 = (x3 + 1) – 2x(x + 1) = (x + 1)(x2x + 1) – 2x(x + 1) = = (x + 1)(x2x + 1 – 2x) = (x + 1)(x23x + 1).

x = – 1 или x23x + 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D1 = 9 – 4 = 5

D > 0, 2 корня, hello_html_3d0480a4.gif= hello_html_m59c8c0fc.gif.

x1 = hello_html_4e550eb3.gif или x2 = hello_html_m1863e0f2.gif.

Ответ: {– 1; hello_html_4e550eb3.gif; hello_html_m1863e0f2.gif}.

2) 2x4 – 3x3 + 5x2 – 3x +2 = 0.

Решение:

Разделим обе части уравнения на x2 и сгруппируем слагаемые:

2hello_html_m55508b9b.gif – 3hello_html_5714f28c.gif + 5 = 0.

Пусть hello_html_7e51a7bb.gif, тогда hello_html_m52c1f300.gif.

2(t2 – 2) – 3t + 5 = 0;

2t2 – 3t + 1 = 0

D = 9 – 8 = 1

D > 0, 2 корня, hello_html_3d0480a4.gif= 1.

t1 = hello_html_m60c18f99.gif или t2 =hello_html_5017d124.gif= 1.

Вернемся к замене:

hello_html_2367fd65.gif; 2x2x + 2=0

D = 1 – 16 = – 15

D < 0, корней нет.

и

hello_html_1b9dc017.gif= 1; x2x + 1=0

D = 1 – 4 = – 3

D < 0, корней нет.

Ответ: hello_html_3b84ffe0.png.

В помощь учителю

Использованные источники и литература

  • Под редакцией Н. Я. Виленкина. Алгебра. 8 класс.

Учебник для учащихся с углубленным изучением математики..


~ 5 ~


Краткое описание документа:

Данный урок проводится в классах с углублённым изучением математики или на факультативных занятиях. Учащиеся познакомятся с новым для себя понятием "возвратные уравнения", научаться решать новый тип уравнений. В данном конспекте рассматриваются только возвратные уравнения 3-й и 4-й степени. Более сильные учащиеся могут самостоятельно попытаться разобраться с возвратными уравнения старших степеней.

Автор
Дата добавления 01.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров497
Номер материала 260898
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх