- Учебник: «Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
- Тема: Введение
- 06.12.2023
- 218
- 1

Конспект урока по геометрии для учащихся 11 класса.
Тема: «Сфера, взаимное расположение сферы и плоскости».
Цели:
- образовательные: повторить изученный материал по данной теме, проверить знания, умения и навыки учащихся при решении задач;
- развивающие: развивать логическое мышление, пространственное воображение, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь;
- воспитательные: развивать личностные качества учащихся, такие как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.
Задачи урока:
- повторить понятия сферы и шара;
- узнать взаимное расположение сферы и плоскости;
- повторить формулу для записи уравнения сферы.
Тип урока: урок освоения новых знаний, применения знания, навыков и умений.
Методы обучения: репродуктивный, индуктивно-эвристический.
Оборудование: учебник, тетрадь, ручка, линейка, циркуль, мультимедийный проектор.
Литература:
1. Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2001.
2. Поурочные разработки по геометрии 10-11 класс по учебнику Л.С. Атанасяна и др. Геометрия 10-11 кл. / Гаврилова Н.Ф. – М.: Просвещение, 2001.
План урока:
1. Организационный момент (1 минута).
2. Актуализация знаний (5 минут).
3. Усвоение нового материала (15 минут)
4. Решение задач (15 минут).
5. Подведение итогов урока (3 минуты).
6. Домашнее задание (1 минута).
Ход урока.
1. Организационный момент.
Организационный момент включает в себя приветствие учеников, проверку отсутствующих, запись учениками числа, классной работы.
2. Актуализация знаний.
Учитель: На прошлом уроке мы с вами изучили понятие сферы. Давайте вспомним, что называется сферой?
Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Учитель: Что называется диаметром сферы?
Ученик: Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.
Учитель: Что называется шаром?
Ученик: Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
3. Усвоение нового материала.
Подведение к теме урока. На прошлом уроке геометрии мы провели аналогию между окружностью и сферой, сказали, что окружность и сфера являются границами круга и шара соответственно, а круг и шар являются частью плоскости и пространства соответственно. Так же мы рассмотрели в декартовой системе координат и прямоугольной системе координат уравнение окружности и уравнение сферы. Ранее, когда мы изучали планиметрию, мы рассматривали 3 случая взаимного расположения прямой и плоскости и говорили, что эти случаи зависят от того на каком расстоянии от центра окружности проходит прямая. Вспомним их. А сейчас мы перешли с вами в пространство и изучаем объемные тела, в частности сферу и плоскость, как вы думаете тут может возникнуть аналогичная ситуация? Давайте сформулируем тему нашего урока: «Взаимное расположение сферы и плоскости».
давайте исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.
Для этого введём следующие обозначения.
Обозначим радиус сферы буквой , центр сферы буквой
,
а расстояние от её центра до некоторой плоскости альфа – буквой
.
Введём систему
координат
. Затем построим плоскость
,
совпадающую с плоскостью
.
Изобразим сферу с центром в точке ,
лежащей на положительной полуоси
.
Обратите внимание,
в этой системе координат точка
, где
– расстояние
(перпендикуляр) от центра сферы до плоскости
.
Отсюда получаем, что сфера имеет
уравнение:
Плоскость же совпадает с
координатной плоскостью
, а значит, её уравнение имеет
вид:
.
Если координаты какой-нибудь
точки удовлетворяют обоим уравнениям, то точка М лежит
как в плоскости
, так и на сфере, т. е. является
общей точкой плоскости и сферы.
Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений:
Подставим
во
второе уравнение. Преобразуем его, тогда получим следующее уравнение:
Следовательно, в зависимости от
соотношения – расстояния от центра сферы
до плоскости
и
–
радиуса сферы возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости в
пространстве.
Рассмотрим первый случай. Если .
Тогда
,
и наше уравнение:
является уравнением окружности
радиуса
с центром в точке
на
плоскости
.
Координаты любой точки этой
окружности удовлетворяют как уравнению плоскости
, так и уравнению
сферы, т. е. все точки этой окружности являются общими точками
плоскости и сферы.
Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.
Сделаем вывод. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.
Понятно, что сечение шара плоскостью есть круг. С приближением секущей плоскости к центру шара радиус сечения (круга) увеличивается.
Тогда расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно нулю, а в сечении получается круг, радиус которого равен радиусу шара.
Определение:
Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной.
А круг, полученный
в результате сечения, называется большим кругом шара.
Если же секущая
плоскость не проходит через центр шара, то расстояние от центра сферы до
секущей плоскости
и
.
Очевидно, что
тогда радиус сечения будет меньше радиуса сферы.
Рассмотрим второй случай. Если .
Тогда
,
и уравнению
удовлетворяют только
числа
и
. Следовательно, только координаты
точки
удовлетворяют обоим уравнениям, значит, О –
единственная общая точка сферы и плоскости.
Сделаем вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
И рассмотрим третий случай. Если .
Тогда
,
и значит, уравнению
не удовлетворяют координаты
никакой точки.
Сделаем вывод, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
4. Решение задач.
Задача: шар пересечён плоскостью. Площадь сечения равна см2.
Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 7 см. Найдите
радиус шара.
Решение: сечение шара плоскостью – круг, центр которого совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость сечения.
Значит,
из центра шара О проведём перпендикуляр . Затем соединим
точки О и М. Получим прямоугольный треугольник
,
у которого гипотенуза
.
По условию задачи см,
см2.
Так как площадь круга
, то получаем, что радиус сечения
равен
(см).
Из прямоугольного
треугольника по теореме Пифагора
находим:
(см).
5. Подведение итогов урока.
Учитель: Итак, на сегодняшнем уроке мы с вами продолжали изучать тему «Сфера». Давайте еще раз повторим, что называется сферой?
Ученик: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Учитель: Какое взаимное расположение имеют сфера и плоскость?
Ученик: Сфера и плоскость могут: 1) иметь одну общую точку; 2)не иметь общих точек; 3) могут пересекаться по окружности, т. е. сечение сферы и будет окружностью.
6. Постановка домашнего задания:
Учитель: Откройте дневники, запишите домашнее задание.
(Запись на доске и в дневниках.)
Повторить п.44 учебника, решить № 373а.
(Учитель выставляет оценки за урок.)
Учитель: Урок окончен!
Настоящий материал опубликован пользователем Баева Наталья Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалФайл будет скачан в формате:
«Инфоурок»
Материал разработан автором:
Старунова Марина Владимировна
учитель
Рабочий лист математике(геометрии) для 10-11 класса. Тема: «Взаимное расположение сферы и плоскости»Работа состоит из 6 заданий на 2 листах, на 3 листе ответы.Задания базового уровня, могут быть применены для проверки знаний по теме «Взаимное расположение сферы и плоскости».
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Еще материалы по этой теме
Смотреть
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
7 026 432 материала в базе
«Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
66. Взаимное расположение сферы и плоскости
Больше материалов по этой темеВам будут доступны для скачивания все 184 009 материалов из нашего маркетплейса.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.