345981
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыКонспект урока по теме:"Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям."

Конспект урока по теме:"Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям."

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Тема: Решение тригонометрических уравнений.

Отбор корней по заданным условиям.

Цели урока:

  1. Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы.

  2. Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

  3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, общей культуры.


Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.


План урока.

  1. Оргмомент.

  2. Самостоятельная работа.

  3. Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям.

  1. Выполнение упражнений.

  2. Итоги урока.

  3. Домашнее задание.


  1. Организационный момент

На сегодняшнем уроке мы будем отрабатывать способы отбора корней при заданных условиях используя тригонометрические неравенства.


  1. Самостоятельная работа.

Вариант 1

  1. Найдите все решения уравнения cos 2x + sin2x + hello_html_m235169ca.gifcos x = 0, принадлежащие отрезку [-; ];

  2. Решите уравнение cos2x + 6sin x – 6 = 0

Ответы:

  1. cos 2x + sin2x + hello_html_m235169ca.gifcos x = 0; cos2x – sin2x + sin2x + hello_html_m235169ca.gifcos x = 0;

cos x (cos x + hello_html_m235169ca.gif) = 0; cos x = 0 (поскольку cos x + hello_html_m235169ca.gif 0). Промежутку [-; ] принадлежат два решения два решения этого уравнения: hello_html_m29e79110.gif и hello_html_m29e79110.gif.

Ответ: hello_html_m29e79110.gif ; hello_html_m29e79110.gif.

  1. cos2x + 6sin x – 6 = 0; 1 – sin2x + 6sin x – 6 = 0; sin2x 6sin x + 5 = 0; sin x = t; t2 – 6t + 5 = 0; t1 = 5; t2 = 1.

sin x = 5 корней нет;

sin x = 1; x = hello_html_m29e79110.gif + 2k, kZ.

Ответ: x = hello_html_m29e79110.gif + 2k, kZ.

Вариант 2

  1. Найдите все решения уравнения hello_html_10acf550.gif, принадлежащих промежутку [-; ];

  2. Решите уравнение cos 2x + 8sin x = 3.

Ответы:

  1. hello_html_10acf550.gifhello_html_de2c2d7.gif; 4cos x + 2sin x = cos x + 7sin x

cos x – 7sin x 0

5cos x = 5sin x; cos x = sin x.

Нули косинуса не являются корнями последнего уравнения, значит, его можно разделить на cos x:

tg x = 1; x = hello_html_m2858c189.gif, nZ.

При этих значениях cos x – 7sin x 0.

Промежутку [-; ] принадлежат корни hello_html_m3ce887b3.gif и hello_html_m4cf796b2.gif;

Ответ: hello_html_m3ce887b3.gif ; hello_html_m4cf796b2.gif.


3. Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям.

Сегодня на уроке мы рассмотрим еще несколько решений тригонометрических уравнений с отбором корней по заданным условиям.

Пример №1.

Найти все корни уравнения (1 + tg2x)·sin x – tg 2x + 1 = 0, удовлетворяющее неравенству tg x 0.

Рhello_html_511d6877.gifешение: (1 + hello_html_m7d02aa91.gif) sin x hello_html_m2817aefe.gifhello_html_m7d02aa91.gif +1 = 0

tg x 0



hello_html_m42c605c8.gifhello_html_m6b30dd48.gifhello_html_m6b30dd48.gifsin x tg x

В приведенном решении одним из элементов

обоснования является тригонометрический круг,

на котором изображены множества решений

hello_html_m525029e0.gif0 уравнений и неравенства системы и из которого

сразу видно, как образуется пересечение этих

множеств. Однако в случае необходимости

последнюю систему можно решить и

аналитически следующим образом (заметим, что тригонометрический круг при этом помогает хотя бы выработать гипотезу о принципе отбора корней).

Рhello_html_74f1530.gifассмотрим три случая:

  1. sin x = 1, решений нет, ибо если sin x = 1 то cos2x = 1 – sin2x = 0, и

tg x не существует;

tg x 0


  1. xhello_html_4f731c34.gifhello_html_511d6877.gif = hello_html_m402a132a.gif + 2n, nZ; x = hello_html_m402a132a.gif + 2n, nZ

tg x 0

так как tg hello_html_585c407d.gif=tghello_html_m1adba868.gif 0;

  1. xhello_html_74f1530.gif = hello_html_423b0922.gif + 2m, mZ; решений нет, так как

tg x 0 tghello_html_m511a75d1.gif=tghello_html_m33548f6c.gif 0.

Ответ:hello_html_7181e185.gif.

Пример №2.

Решить уравнение 2sin (3x +hello_html_m4cf796b2.gif) = hello_html_m8eff909.gif.

Рhello_html_74f1530.gifhello_html_742f6e1f.gifешение: 4sin2(3x + hello_html_m4cf796b2.gif) = 1 + 8sin 2x cos22x,

2sin (3x + hello_html_m4cf796b2.gif) 0


hello_html_742f6e1f.gifhello_html_74f1530.gifhello_html_742f6e1f.gif2 – 2cos (6x + hello_html_m29e79110.gif) = 1 + 4sin 4x cos 2x,

sin (3x + hello_html_m4cf796b2.gif) 0


hello_html_742f6e1f.gifhello_html_511d6877.gifhello_html_4f731c34.gifhello_html_511d6877.gif1 + 2sin 6x = 2(sin 6x + sin 2x), sin 2x = hello_html_ma6d604a.gif,

sin(3x + hello_html_m4cf796b2.gif) 0 sin(3x + hello_html_m4cf796b2.gif) 0.

Рассмотрим два случая:

1hello_html_74f1530.gifhello_html_742f6e1f.gif) x = hello_html_m2a27964f.gif + n, nZ; x = hello_html_m2a27964f.gif + n, n =0, 2, 4,…,

sinhello_html_m7b1d00d3.gif 0

так как sin hello_html_m807f5e6.gif = sin hello_html_11c37c9d.gif = (1)n;

  1. hello_html_511d6877.gifhello_html_742f6e1f.gifx = hello_html_36c65cd2.gif + m, mZ; x = hello_html_36c65cd2.gif + m, m = 1, 3, …,

sin hello_html_m34c9a652.gif 0

так как sinhello_html_m650c06ea.gif = sin hello_html_m5bffd6e5.gif = (1)m+1.

Ответ: hello_html_m2a27964f.gif + n, hello_html_36c65cd2.gif + (2m + 1), n,mZ.


  1. Выполнение упражнений

  1. Решите уравнение hello_html_m235169ca.gifsin x = cos x

Решение: hello_html_m235169ca.gifsin x = cos x

hello_html_de2c2d7.gif

3sin2x = cos2x

sin x 0


3sin2x = 1 – sin2x; 4sin2x = 1; учитывая неравенство sin x 0, получаем sin x = hello_html_ma6d604a.gif;

x = (1)n ·hello_html_m402a132a.gif + n, nZ;

Ответ: (1)n ·hello_html_m402a132a.gif + n, nZ;

  1. Найти решение уравнения cos 4x = 2cos2( x), принадлежащее

[ 0; hello_html_m29e79110.gif].

Решение: cos 4x = 2cos2( x);

2cos22x – 1 + 2cos2x = 0;

2cos22x + (2cos2x – 1) = 0;

2cos22x + cos 2x = 0;

cos 2x (2cos 2x + 1) =0;

cos 2x = 0 или 2cos 2x + 1 = 0;

x = hello_html_m4cf796b2.gif + hello_html_2ff60310.gif, nZ; x = hello_html_m38606fbb.gif + k, kZ;

при n = 0; x1 = hello_html_m4cf796b2.gif принадлежит отрезку [0; hello_html_m29e79110.gif].

  1. Итоги урока

Несколько уроков мы с вами повторяли решение тригонометрических уравнений и отрабатывали умение отбирать корни уравнения по заданным условиям. Учились избегать неприятностей в ответах надеюсь нам это удалось.


6. Домашнее задание


Общая информация

Номер материала: ДБ-068198

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.