Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме:"Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям."
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока по теме:"Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям."

библиотека
материалов

Тема: Решение тригонометрических уравнений.

Отбор корней по заданным условиям.

Цели урока:

  1. Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы.

  2. Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

  3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, общей культуры.


Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.


План урока.

  1. Оргмомент.

  2. Самостоятельная работа.

  3. Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям.

  1. Выполнение упражнений.

  2. Итоги урока.

  3. Домашнее задание.


  1. Организационный момент

На сегодняшнем уроке мы будем отрабатывать способы отбора корней при заданных условиях используя тригонометрические неравенства.


  1. Самостоятельная работа.

Вариант 1

  1. Найдите все решения уравнения cos 2x + sin2x + hello_html_m235169ca.gifcos x = 0, принадлежащие отрезку [-; ];

  2. Решите уравнение cos2x + 6sin x – 6 = 0

Ответы:

  1. cos 2x + sin2x + hello_html_m235169ca.gifcos x = 0; cos2x – sin2x + sin2x + hello_html_m235169ca.gifcos x = 0;

cos x (cos x + hello_html_m235169ca.gif) = 0; cos x = 0 (поскольку cos x + hello_html_m235169ca.gif 0). Промежутку [-; ] принадлежат два решения два решения этого уравнения: hello_html_m29e79110.gif и hello_html_m29e79110.gif.

Ответ: hello_html_m29e79110.gif ; hello_html_m29e79110.gif.

  1. cos2x + 6sin x – 6 = 0; 1 – sin2x + 6sin x – 6 = 0; sin2x 6sin x + 5 = 0; sin x = t; t2 – 6t + 5 = 0; t1 = 5; t2 = 1.

sin x = 5 корней нет;

sin x = 1; x = hello_html_m29e79110.gif + 2k, kZ.

Ответ: x = hello_html_m29e79110.gif + 2k, kZ.

Вариант 2

  1. Найдите все решения уравнения hello_html_10acf550.gif, принадлежащих промежутку [-; ];

  2. Решите уравнение cos 2x + 8sin x = 3.

Ответы:

  1. hello_html_10acf550.gifhello_html_de2c2d7.gif; 4cos x + 2sin x = cos x + 7sin x

cos x – 7sin x 0

5cos x = 5sin x; cos x = sin x.

Нули косинуса не являются корнями последнего уравнения, значит, его можно разделить на cos x:

tg x = 1; x = hello_html_m2858c189.gif, nZ.

При этих значениях cos x – 7sin x 0.

Промежутку [-; ] принадлежат корни hello_html_m3ce887b3.gif и hello_html_m4cf796b2.gif;

Ответ: hello_html_m3ce887b3.gif ; hello_html_m4cf796b2.gif.


3. Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям.

Сегодня на уроке мы рассмотрим еще несколько решений тригонометрических уравнений с отбором корней по заданным условиям.

Пример №1.

Найти все корни уравнения (1 + tg2x)·sin x – tg 2x + 1 = 0, удовлетворяющее неравенству tg x 0.

Рhello_html_511d6877.gifешение: (1 + hello_html_m7d02aa91.gif) sin x hello_html_m2817aefe.gifhello_html_m7d02aa91.gif +1 = 0

tg x 0



hello_html_m42c605c8.gifhello_html_m6b30dd48.gifhello_html_m6b30dd48.gifsin x tg x

В приведенном решении одним из элементов

обоснования является тригонометрический круг,

на котором изображены множества решений

hello_html_m525029e0.gif0 уравнений и неравенства системы и из которого

сразу видно, как образуется пересечение этих

множеств. Однако в случае необходимости

последнюю систему можно решить и

аналитически следующим образом (заметим, что тригонометрический круг при этом помогает хотя бы выработать гипотезу о принципе отбора корней).

Рhello_html_74f1530.gifассмотрим три случая:

  1. sin x = 1, решений нет, ибо если sin x = 1 то cos2x = 1 – sin2x = 0, и

tg x не существует;

tg x 0


  1. xhello_html_4f731c34.gifhello_html_511d6877.gif = hello_html_m402a132a.gif + 2n, nZ; x = hello_html_m402a132a.gif + 2n, nZ

tg x 0

так как tg hello_html_585c407d.gif=tghello_html_m1adba868.gif 0;

  1. xhello_html_74f1530.gif = hello_html_423b0922.gif + 2m, mZ; решений нет, так как

tg x 0 tghello_html_m511a75d1.gif=tghello_html_m33548f6c.gif 0.

Ответ:hello_html_7181e185.gif.

Пример №2.

Решить уравнение 2sin (3x +hello_html_m4cf796b2.gif) = hello_html_m8eff909.gif.

Рhello_html_74f1530.gifhello_html_742f6e1f.gifешение: 4sin2(3x + hello_html_m4cf796b2.gif) = 1 + 8sin 2x cos22x,

2sin (3x + hello_html_m4cf796b2.gif) 0


hello_html_742f6e1f.gifhello_html_74f1530.gifhello_html_742f6e1f.gif2 – 2cos (6x + hello_html_m29e79110.gif) = 1 + 4sin 4x cos 2x,

sin (3x + hello_html_m4cf796b2.gif) 0


hello_html_742f6e1f.gifhello_html_511d6877.gifhello_html_4f731c34.gifhello_html_511d6877.gif1 + 2sin 6x = 2(sin 6x + sin 2x), sin 2x = hello_html_ma6d604a.gif,

sin(3x + hello_html_m4cf796b2.gif) 0 sin(3x + hello_html_m4cf796b2.gif) 0.

Рассмотрим два случая:

1hello_html_74f1530.gifhello_html_742f6e1f.gif) x = hello_html_m2a27964f.gif + n, nZ; x = hello_html_m2a27964f.gif + n, n =0, 2, 4,…,

sinhello_html_m7b1d00d3.gif 0

так как sin hello_html_m807f5e6.gif = sin hello_html_11c37c9d.gif = (1)n;

  1. hello_html_511d6877.gifhello_html_742f6e1f.gifx = hello_html_36c65cd2.gif + m, mZ; x = hello_html_36c65cd2.gif + m, m = 1, 3, …,

sin hello_html_m34c9a652.gif 0

так как sinhello_html_m650c06ea.gif = sin hello_html_m5bffd6e5.gif = (1)m+1.

Ответ: hello_html_m2a27964f.gif + n, hello_html_36c65cd2.gif + (2m + 1), n,mZ.


  1. Выполнение упражнений

  1. Решите уравнение hello_html_m235169ca.gifsin x = cos x

Решение: hello_html_m235169ca.gifsin x = cos x

hello_html_de2c2d7.gif

3sin2x = cos2x

sin x 0


3sin2x = 1 – sin2x; 4sin2x = 1; учитывая неравенство sin x 0, получаем sin x = hello_html_ma6d604a.gif;

x = (1)n ·hello_html_m402a132a.gif + n, nZ;

Ответ: (1)n ·hello_html_m402a132a.gif + n, nZ;

  1. Найти решение уравнения cos 4x = 2cos2( x), принадлежащее

[ 0; hello_html_m29e79110.gif].

Решение: cos 4x = 2cos2( x);

2cos22x – 1 + 2cos2x = 0;

2cos22x + (2cos2x – 1) = 0;

2cos22x + cos 2x = 0;

cos 2x (2cos 2x + 1) =0;

cos 2x = 0 или 2cos 2x + 1 = 0;

x = hello_html_m4cf796b2.gif + hello_html_2ff60310.gif, nZ; x = hello_html_m38606fbb.gif + k, kZ;

при n = 0; x1 = hello_html_m4cf796b2.gif принадлежит отрезку [0; hello_html_m29e79110.gif].

  1. Итоги урока

Несколько уроков мы с вами повторяли решение тригонометрических уравнений и отрабатывали умение отбирать корни уравнения по заданным условиям. Учились избегать неприятностей в ответах надеюсь нам это удалось.


6. Домашнее задание


Автор
Дата добавления 05.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров121
Номер материала ДБ-068198
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх