Конспект урока "Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда"

Тема урока: Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Форма урока урок- Обобщающее повторение

Цели урока:

Образовательная: повторить основные принципы построения сечения и свойства правильного построенного сечения, формировать у учащихся умение строить сечения по заданным элементам.

Воспитательная: воспитывать самостоятельность и творчество, а так же прививать интерес к исследовательской деятельности.

Развивающая: развивать пространственное воображение учащихся, способствовать развитию умения делать выводы и обобщения, а так же развивать навык самопроверки.

Тип урока: нестандартный урок

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Оборудование: интерактивная доска, сканер, раздаточный материал (см. Приложение 1)

Урок подготовлен в виде презентации, выполненной в Роwer Point, с использованием программы «Живая геометрия».

Литература:

1.        А. С. Атанасян. Геометрия для 10-11 кл./ А. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

2.        Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту

Л.С. Атанасяна и др. для 10 кл. 2010. – 304 с. 

3.         Ю. М. Колягин. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики.  Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.

4.        Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. для учителя /Н. Е. Федорова, М. В. Ткачева. – М. Просвещение,2003, – 205с.

5.         Кева Т.В. «Прямоугольный параллелепипед и тетраэдр. Построение сечений» / Математика в школе, №6, 2010.

План урока:

1. Организационный момент, вводная беседа (3 мин)

2. Проверка домашнего задания (7 мин)

3. Устная работа (12 мин)

4. Построение сечений (20 мин)

5. Подведение итогов урока (3 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент, вводная беседа (3 мин)

Включает в себя приветствие учителем класса, проверку готовности кабинета к проведению урока, проверку отсутствующих

Учитель: Тема сегодняшнего урока «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда». (слайд 1)

На предыдущих уроках мы с вами рассмотрели взаимное расположение плоскости и многогранника, ввели определение сечения, изучили три основных принципа построения сечений и начали решать простейшие задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Кроме того, мы сформулировали свойства правильно построенного сечения. Сегодня мы продолжим строить сечения указанных фигур, повторим основные этапы построения, рассмотрим, как меняется вид сечения в зависимости от того, какие элементы сечения заданы и каково их взаимное расположение. Часть задач на построение сечений мы с вами выполним в классе, часть задач разберем устно, а дома вы построите рассмотренные сечения на листах-заготовках и сдадите на следующем уроке. Это и будет ваше домашнее задание. Начнем урок с проверки задач, заданных вам на дом.

2. Проверка домашнего задания (7 мин)

(На доске появляется слайд с текстом задач и чертежами к ним). (слайд 3)

Учитель: Проверим задачу 1. (Включается чертеж из «Живой геометрии»). Расскажите, как вы строили сечение и какие принципы при этом использовали.

Ученик:  Используя первый принцип построения сечения, попарно соединяем точки К, L и М, так как каждые две из них лежат в одной плоскости.

(Учитель иллюстрирует решение задачи на чертеже). (См. Приложение «Живая геометрия». Чертеж 1.)

Учитель: Проверим задачу 2 Какие плоскости называются параллельными? Как было построено сечение?

Ученик: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Через точку М провели прямую QP параллельную прямой АВ. Через точку Q провели прямую QR параллельную BC.Соединили точки R и P. Получили сечение RPQ.

(Учитель иллюстрирует решение задачи на чертеже. Ученики отвечают на вопросы и комментируют построение чертежа). (См. Приложение «Живая геометрия» Чертеж 2)

3. Устная работа (12 мин.)

(Включается следующий чертеж из «Живой геометрии». Чертеж 3)

Учитель: Ученик нарисовал сечения тетраэдра плоскостью. Есть ли в этих рисунках ошибки? Какими свойствами обладает правильно построенное сечение?

Ученик: Правильное сечение многогранника – это многоугольник, вершины которого лежат на ребрах, а стороны пересекают каждую грань многогранника не более 1 раза.

 На рис.1 не все вершины сечения лежат на ребрах  (учитель нажимает кнопку 1, затем точка Q передвигается по появившейся линии).

 Ученик: На рис. 2 соединены точки К и L, лежащие в разных плоскостях. Сторона   KL  не принадлежит какой-либо грани тетраэдра (учитель нажимает кнопку 2 и точка К передвигается на ребро АР).

Ученик: На рис.3  плоскость сечения имеет 2 линии пересечения с гранью (АРС). Построенное сечение противоречит аксиоме 3: если 2 плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Т.о. точки D, E и С должны лежать на одной прямой (учитель нажимает кнопку «Сечение 1» и убирает неверно построенное сечение, при нажатии кнопки «Сечение 2» восстанавливается правильно построенное сечение).

Ученик: На рис. 4 сечение выполнено правильно. Все вершины четырехугольника, являющегося сечением тетраэдра, лежат на ребрах, все стороны  принадлежат граням тетраэдра, каждая грань пересекается не более 1 раза.

(Включается следующий чертеж из «Живой геометрии». Чертеж 4)

Учитель.       Ученик нарисовал сечения прямоугольного параллелепипеда плоскостью. Есть ли в рисунках ошибки? Если да, то какие принципы построения сечений здесь нарушены?

Ученик:  На рис 1) нарушен 3 принцип построения сечения: параллельные плоскости пересечены не по параллельным прямым.

На рис. 2) сечение параллелепипеда выполнено правильно.

На рис. 3) грань СС’B’B пересечена дважды

На рис.4) сторона сечения RS не принадлежит какой-либо грани параллелепипеда.

4. Построение сечений (20 мин)

(Включается следующий чертеж из «Живой геометрии». Чертеж 5)

Учитель: Решим несколько задач на построение сечений:

Задача1. На ребрах AA', A'D' и D'C' параллелепипеда даны три точки K, L, M. Построить сечение параллелепипеда плоскостью KLM.

Выясним, зависит ли вид сечения от положения точек на ребрах параллелепипеда. Работа выполняется по вариантам на доске

Вариант 1. Учащиеся выполняют сечение параллелепипеда, если точки M, L и К расположены следующим образом: (открывается слайд, представленный слева)

Вариант 2. Учащиеся выполняют сечение параллелепипеда, если точки M, L и К расположены так:

(открывается слайд, представленный слева)

Вариант 3. Учащиеся

выполняют сечение параллелепипеда, если точки M, L и К расположены так:

(открывается слайд, представленный слева)

Учитель: Каков ваш первый шаг при выполнении сечения? 

Ученик: Соединяем точки K и L, L и M (используем 1 принцип построения сечения). Затем находим точку пересечения прямой KL со стороной AD (используем 2 принцип). 

В плоскости грани (АВСD) проводим через полученную точку прямую а параллельную прямой LM. (3 принцип построения сечений).

Находим точку пересечения прямой а с ребром ВС (2 принцип). Затем через полученную точку проводим прямую b параллельно KL, находим точки пересечения этой прямой с ребрами грани В’BCC’ и соединяем полученные точки Р, К, L, M, N. Заштриховываем сечение РКLMN. Проверьте построенные сечения. (В процессе построения учитель показывает, что должно получиться у каждого варианта и какое сечение получается в каждом из случаев).

Учитель: Итак, мы пришли к выводу, что вид сечения зависит от расположения заданных точек.

Задача 2. (устно)

(Включается следующий чертеж из «Живой геометрии». Чертеж 6).

Учащиеся рассказывают решение задачи, а учитель сопровождает этот рассказ демонстрацией.

(Включается следующий чертеж из «Живой геометрии». Чертеж 7).

Задача 3. На ребрах AB, BD  и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M , N  и P . Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

(Решаем задачу устно. Рассматриваем сначала 1 случай, а затем 2 случай).

1 случай: РN пересекает AC.

2 случай: РN параллельна AC.

Учитель: Дома оформить построения на листах-заготовках (см. Приложение 1).

1 вариант

Построение сечений

Задание 1. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Р, N, M.

Задание 2. Построить сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки L, M, K.

2 вариант

                                                                         Построение сечений

Задание1. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Р, N, M.

Задание 2. Построить сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки L, M, K.

Учитель: А теперь выполните самостоятельную работу. (Раздаются карточки с самостоятельной работой)

Лист 1.

Лист 2.

   

Ответы к листу № 1

Ответы к листу № 2

5. Подведение итогов урока (3 мин)

Учитель: Что мы повторили сегодня на уроке?

Ученики: Мы повторили принципы построения сечения. Соединяются только те точки которые лежат в одной плоскости; если секущая плоскость пересекает противоположные грани  параллелепипеда, то линии пересечения параллельны. Свойства правильно построенного сечения и основные этапы построения. Учитель: Что нового мы узнали на уроке?

Ученики: Что вид сечения зависит от взаимного положения заданных элементов сечения

Учитель: Домашнее задание: 1)Повторить теорию. 2) Выполнить на листах – заготовках задачу №2 и оформить решение задачи №3.

Учитель: Объявление отметок за работу на уроке.