Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока: "Применение подобия к доказательству теорем и решению задач"

Конспект урока: "Применение подобия к доказательству теорем и решению задач"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Уhello_html_65e90d7c.pnghello_html_5ff8f2f2.pngРОК

по

Геометрии

8 класс


Тема: ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.


Цели урока:

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ

Рассмотреть основные методы решения задач при помощи теорем подобия треугольников. Изучить применение метода подобия при построении.

РАЗВИВАЮЩИЕ

Развитие логического мышления, формирование опыта «решения по аналогии», сознательного восприятия учебного материала.

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ

Воспитание трудолюбия, аккуратности, познавательной активности.


Тип урока: комбинированный


План урока

  1. 1. Орг. момент (1 мин.) Цель: формирование мотива, желания работать на уроке.

2. Проверка домашнего задания: а) математический диктант по признакам; б) разобрать решение задачи №556 (обзорно).

3. Рассмотреть:

  1. Доказательство теоремы о средней лини треугольника;

  2. Задачу о медианах треугольника.

4. Практическое приложение подобия треугольников – задачи на построение.

5. Домашнее задание.

6. Итог урока.


Конспект урока: Методы решения задач при помощи теорем подобия


  1. Средняя линия треугольника

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство: Пусть МN – средняя линия треугольника АВС.



hello_html_468a0af4.jpg
Докажем, что МN || АС и МN = ½ АС.

Треугольники ВМN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников, поэтому <ВМN = <ВАС и МN÷АС = ½. Из равенства

< ВМN = <ВАС следует, что МN || АС, а из второго равенства, что

МN = ½ АС. Теорема доказана.

Пользуясь этой теоремой можно решить задачу:

Задача. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Рhello_html_m60adf0f0.pngешение. Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА1 и ВВ1 и проведем среднюю линию А1В1 этого треугольника. Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А1В1 секущимиАА1 и ВВ1. Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:

АО = ВО = АВ

А1О В1О А1В1

Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=В1О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.


  1. Практическое приложение подобия треугольников – задачи на построение.

При решении многих задач на построение применяют так называемый метод подобия. Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строятся подобные треугольники, а затем, используя остальные данные, строят искомые элементы.

Рассмотрим пример.

Задача 2. Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные отрезкам Р1Н1 и Р2Н2.

Аhello_html_m142f7619.png
нализ.

Построение.

  1. Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ.

  2. На этом луче отложим последовательно отрезки АС и СD, равные отрезкам Р1Н1 и Р2Н2.

  3. Проведем прямую ВD.

  4. Проведем прямую, проходящую через точку С и параллельную прямой ВD. Она пересечет отрезок АВ в искомой точке Х.

Доказательство.То что Х будет искомой точкой, следует из задачи №556, рассмотренной ранее.

Исследование. Данная задача имеет только одно решение, несмотря на произвольно взятый луч АМ. Поскольку через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной; эта прямая пересечет отрезок АВ в единственной точке Х.


  1. Задание для самостоятельного решения.

Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении:

  1. 2:5;

  2. 3:7;

  3. 4:3.


  1. Итог урока.


3



Автор
Дата добавления 08.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров497
Номер материала ДВ-315803
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх