Конспект урока: "Применение подобия к доказательству теорем и решению задач"

УРОК

по

Геометрии

8 класс

Тема: ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.

Цели урока:

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ

Рассмотреть основные методы решения задач при помощи теорем подобия треугольников. Изучить применение метода подобия при построении.

 РАЗВИВАЮЩИЕ

Развитие логического мышления,  формирование опыта «решения по аналогии», сознательного восприятия учебного материала.

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ

Воспитание трудолюбия, аккуратности, познавательной активности.

Тип урока: комбинированный

План урока

1. Орг. момент (1 мин.) Цель: формирование мотива, желания работать на уроке.

2. Проверка домашнего задания: а) математический диктант по признакам; б) разобрать решение задачи №556 (обзорно).

3. Рассмотреть:

1)    Доказательство теоремы о средней лини треугольника;

2)    Задачу о медианах треугольника.

4. Практическое приложение подобия треугольников – задачи на построение.

5. Домашнее задание.

6. Итог урока.

Конспект урока: Методы решения задач при помощи теорем подобия

1.     Средняя линия треугольника

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство: Пусть МN – средняя линия треугольника АВС.

 Докажем, что МN || АС и МN = ½ АС.

 Треугольники ВМN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников, поэтому <ВМN  =  <ВАС и МN÷АС = ½. Из равенства

 < ВМN  =  <ВАС следует, что МN || АС, а из второго равенства, что

МN = ½ АС. Теорема доказана.

 Пользуясь этой теоремой можно решить задачу:

Задача. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА₁  и ВВ₁ и проведем среднюю линию А₁В₁ этого треугольника. Отрезок А₁В₁ параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А₁В₁ секущими АА₁  и ВВ_1. Следовательно, треугольники АОВ и А₁ОВ₁ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:

  АО ₌ ВО ₌ АВ

  А₁О  В₁О   А₁В₁

Но АВ=2А₁В₁, поэтому АО=2А₁О и ВО=В₁О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА₁  и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

 Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

2.     Практическое приложение подобия треугольников – задачи на построение.

 При решении многих задач на построение применяют так называемый метод подобия. Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строятся подобные треугольники, а затем, используя остальные данные, строят искомые элементы.

 Рассмотрим пример.

 Задача 2. Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные отрезкам Р₁Н₁ и Р₂Н₂.

Анализ.

Построение.

1.     Проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ.

2.     На этом луче отложим последовательно отрезки АС и СD, равные отрезкам Р₁Н₁ и Р₂Н_2.

3.     Проведем прямую ВD.

4.     Проведем прямую, проходящую через точку С и параллельную прямой ВD. Она пересечет отрезок АВ в искомой точке Х.

Доказательство.То что Х будет искомой точкой, следует из задачи №556, рассмотренной ранее.

Исследование. Данная задача имеет только одно решение, несмотря на произвольно взятый луч АМ. Поскольку через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной; эта прямая пересечет отрезок АВ в единственной точке Х.

3.     Задание для самостоятельного решения.

Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении:

1)    2:5;

2)    3:7;

3)    4:3.

4.     Итог урока.