Инфоурок Геометрия КонспектыКонспект урока "Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач"

Презентация к уроку по геометрии на тему: "Применение теорем в решении геометрических задач"

Файл будет скачан в форматах:

  • pdf
  • pptx
3982
52
09.12.2024
«Инфоурок»

Материал разработан автором:

Тляушева Туктабига Нургалиевна

учитель математики и информатики

Презентация предназначена для рассмотрения ряда задач основного государственного экзамена по математике (задание 23 геометрические задачи на вычисление) по теме: Подобие треугольников. Рекомендация: решить задания на доске (в презентации представлены только ответы к ним).

Краткое описание методической разработки

Презентация предназначена для рассмотрения ряда задач основного государственного экзамена по математике (задание 23 геометрические задачи на вычисление) по теме: Подобие треугольников. Рекомендация: решить задания на доске (в презентации представлены только ответы к ним). 

Конспект урока "Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач"

Скачать материал

Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач. 

 

Цели урока:

1.     обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;

2.     способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;

3.     развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;

4.     воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.

Задачи урока: 

·         Образовательная: повторить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.

·         Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.

·         Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока 

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Учитель сообщает тему и цель урока.

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин.)

Учитель:  На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.

http://festival.1september.ru/articles/591871/1.gif
Рисунок 1

Пусть точка A1 лежит на стороне BC треугольника АВС, точка C1 – на стороне AB, точка B1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки A1, B1и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image002.gif

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.

http://festival.1september.ru/articles/591871/2.gif
Рисунок 2

Прямая AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.

По теореме Менелая http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image004.gif

Прямая МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.

По теореме Менелаяhttp://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image006.gif

Учитель: Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы). Сформулируйте теорему.

http://festival.1september.ru/articles/591871/3.gif
Рисунок 3

Пусть в треугольнике АВС точка A1лежит на стороне ВС, точка B1 – на стороне АС, точка C1 – на стороне АВ. Отрезки AA1, BB1и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image010.gif

III этап. Решение задач. (22 мин.)

Класс разбивается на 3 команды, каждая получает карточку с двумя различными задачами. Дается время на решение, затем на экране появляются <Рисунки 4-9>. По готовым чертежам к задачам представители команд поочередно объясняют свое решение. После каждого объяснения следует обсуждение, ответы на вопросы и проверка правильности решения на экране. В обсуждении принимают участие все члены команд. Чем активнее команда, тем выше она оценивается при подведении итогов.

Карточка 1.

1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image012.gif

2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

http://festival.1september.ru/articles/591871/4.gif
Рисунок 4

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image016.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image018.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image020.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image022.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image024.gif

Доказательство 2

http://festival.1september.ru/articles/591871/5.gif
Рисунок 5

Пусть AM1, BM2, СM3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image026.gif

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM1, BM2 и СM3 пересекаются в одной точке.

Имеем: http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image028.gif

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Карточка 2.

1. На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image030.gif

2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

http://festival.1september.ru/articles/591871/6.gif
Рисунок 6

По условию NQ = LR, http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image032.gifПустьNA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image034.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image036.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image038.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image040.gif

Доказательство 2

http://festival.1september.ru/articles/591871/7.gif
Рисунок 7

Покажем, что http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image042.gif

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image044.gifhttp://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image046.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image048.gif

Перемножая почленно полученные равенства, получаем http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image050.gif

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Карточка 3.

1. В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

2. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Решение 1

http://festival.1september.ru/articles/591871/8.gif
Рисунок 8

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image052.gif http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image054.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image056.gif

Доказательство 2

http://festival.1september.ru/articles/591871/9.gif
Рисунок 9

Пусть A1, B1и C1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA1, BB1и CC1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы: http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image002_0000.gif

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C1B = BA1 = x, AC1 = CB1 = y, BA1 = AC1 = z.

http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image059.gif

Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)

Учитель: Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

Вариант 1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image061.gif. Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)

Вариант 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. http://festival.1september.ru/articles/591871/f_clip_image063.gifНайдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)

Работы сдаются учителю для проверки.

V этап. Итог урока (2 мин.)

Анализируются допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги работы каждой команды и выставляются оценки.

VI этап. Домашнее задание (1 мин.)

Домашнее задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 [1].

Заключительное слово учителя (1 мин).

Сегодня вы услышали со стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета. Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект урока "Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач""
Смотреть ещё 5 968 курсов

Методические разработки к Вашему уроку:

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

7 354 547 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
    • 21.02.2017 33
    • DOCX 91.2 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Протасова Татьяна Аркадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Протасова Татьяна Аркадьевна
    Протасова Татьяна Аркадьевна
    • На сайте: 3 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 6183
    • Всего материалов: 65

Оформите подписку «Инфоурок.Маркетплейс»

Вам будут доступны для скачивания все 333 084 материалы из нашего маркетплейса.

Мини-курс

Комплексное построение коммуникационной стратегии бренда

5 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Мотивация и индивидуализация в образовательном процессе

3 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 46 человек

Мини-курс

История классической музыки от античности до романтизма

4 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 12 человек
Смотреть ещё 5 968 курсов