Применение
теорем Менелая и Чевы для решения задач.
Цели
урока:
1.
обобщить, расширить и систематизировать знания и умения
учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
2.
способствовать развитию навыков самостоятельного применения
знаний при решении задач;
3.
развивать логическое мышление и математическую речь учащихся,
умение анализировать, сравнивать и обобщать;
4.
воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение
работать в коллективе.
Задачи
урока:
·
Образовательная: повторить теоремы Менелая и
Чевы; применить их при решении задач.
·
Развивающая: учить выдвигать гипотезу и
умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и
систематизировать свои знания.
·
Воспитательная: повысить интерес к предмету
и подготовить к решению более сложных задач.
Тип
урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование:
карточки для коллективной работы на уроке по данной теме,
индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный
проектор, экран.
Ход
урока
I этап. Организационный момент (1
мин.)
Учитель
сообщает тему и цель урока.
II этап. Актуализация опорных знаний
и умений (10 мин.)
Учитель:
На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы
успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где
представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая).
Постарайтесь четко сформулировать теорему.

Рисунок 1
Пусть
точка A1 лежит на стороне BC треугольника АВС,
точка C1 – на стороне AB, точка B1
– на продолжении стороны АС за точку С. Точки A1,
B1и C1
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство 
Учитель:
Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте
теорему для этого рисунка.

Рисунок 2
Прямая
AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.
По
теореме Менелая 
Прямая
МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.
По
теореме Менелая
Учитель:
Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы).
Сформулируйте теорему.

Рисунок 3
Пусть
в треугольнике АВС точка A1лежит
на стороне ВС, точка B1 – на
стороне АС, точка C1 – на
стороне АВ. Отрезки AA1, BB1и
CC1 пересекаются в одной точке тогда и
только тогда, когда выполняется равенство 
III этап. Решение задач. (22 мин.)
Класс
разбивается на 3 команды, каждая получает карточку с двумя различными задачами.
Дается время на решение, затем на экране появляются <Рисунки 4-9>. По
готовым чертежам к задачам представители команд поочередно объясняют свое
решение. После каждого объяснения следует обсуждение, ответы на вопросы и
проверка правильности решения на экране. В обсуждении принимают участие все
члены команд. Чем активнее команда, тем выше она оценивается при подведении
итогов.
Карточка
1.
1.
В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на
продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN
пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение 
2.
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение
1

Рисунок 4
По
условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая
MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.
По
теореме Менелая

Ответ:

Доказательство
2

Рисунок 5
Пусть
AM1, BM2,
СM3 – медианы треугольника АВС. Чтобы
доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что 
Тогда
по теореме Чевы (обратной) отрезки AM1,
BM2 и СM3
пересекаются в одной точке.
Имеем:

Итак,
доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Карточка
2.
1.
На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем
NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от
точки Q. Найдите 
2.
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение
1

Рисунок 6
По
условию NQ = LR,
ПустьNA
= LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и
продолжение третьей.
По
теореме Менелая

Ответ:

Доказательство
2

Рисунок 7
Покажем,
что 
Тогда
по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2,
CL3 пересекаются в одной точке. По свойству
биссектрис треугольника 

Перемножая
почленно полученные равенства, получаем 
Для
биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они
пересекаются в одной точке.
Карточка
3.
1.
В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО
пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от
точки А?
2.
Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие
вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в
одной точке.
Решение
1

Рисунок 8
Пусть
BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение
третьей стороны треугольника ADC.
По
теореме Менелая

Ответ:

Доказательство
2

Рисунок 9
Пусть
A1, B1и
C1 – точки касания вписанной окружности
треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA1,
BB1и CC1
пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство
Чевы: 
Используя
свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем
обозначения: C1B =
BA1 = x, AC1
= CB1 = y, BA1
= AC1 = z.

Равенство
Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
IV этап. Решение задач
(самостоятельная работа) (8 мин.)
Учитель:
Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по
индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.
Материалы
к уроку для самостоятельной работы учащихся
Вариант
1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB
взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС –
точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL
удалена от прямой AB на расстоянии
.
Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)
Вариант
2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3.
На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL.
Найдите
длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)
Работы
сдаются учителю для проверки.
V этап. Итог урока (2 мин.)
Анализируются
допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги
работы каждой команды и выставляются оценки.
VI этап. Домашнее задание (1 мин.)
Домашнее
задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 [1].
Заключительное слово учителя (1
мин).
Сегодня вы услышали со
стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В
дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета.
Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.