Конспект
урока "Радианная мера угла"
Прежде,
чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что градусом называют
величину центрального угла, которому соответствует часть
окружности. Градусная мера угла – это положительное число, которое
показывает, сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.
А углы можно измерять только в градусах? Сегодня на уроке мы
рассмотрим ещё одну единицу измерения углов.
Давайте изобразим окружность с центром в точке и
радиусом .
Затем проведём вертикальную прямую, которая касается окружности в точке .
Эту прямую мы будем считать числовой осью с началом отсчёта в точке .
Положительным направлением на прямой будем считать направление вверх. За
единичный отрезок на числовой оси возьмём радиус окружности.
Отметим на прямой несколько точек: и , и , и , и , и .
Теперь представим нашу прямую в виде нерастяжимой нити, которая
закреплена на окружности в точке .
Будем наматывать нить на окружность. При этом точки на числовой прямой с
координатами , , , перейдут
соответственно в точки окружности , , , .
При этом длина дуги равна ,
длина дуги равна ,
длина дуги равна ,
длина дуги равна .
Получается,
что каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка
окружности.
Так, точке прямой с координатой ставится
в соответствие точка .
А значит, угол можем
считать единичным? Да, и его мерой мы будем измерять другие углы. Например,
угол следует
считать равным ,
а угол равным .
А где
используют такой способ измерения углов? Такой способ измерения углов широко
используется в математике и физике. Говорят, что углы измеряются в радианной
мере.
Единичный
угол называют углом
в один радиан. Записывают так: рад.
И напомним, что длина дуги равна
радиусу нашей окружности.
Сейчас давайте рассмотрим окружность радиуса .
И отметим на ней дугу ,
равную длине радиуса окружности, и угол .
И такой угол называется углом в один радиан? Верно.
Запомните! Центральный
угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности,
называется углом в один радиан.
Интересно, а скольким градусам равен угол в один радиан? Давайте
найдём градусную меру угла в один радиан. Мы знаем из курса геометрии, что дуге
длиной ,
то есть полуокружности, соответствует центральный угол, равный .
Следовательно, дуге окружности длиной соответствует
угол в раз
меньший.
Выше
мы назвали такой угол углом в один радиан, а значит, можем записать, что рад . ,
тогда рад .
Если
угол содержит рад,
то рад .
Эту формулу называют формулой перехода от радианной меры к градусной.
Давайте с вами найдём градусную меру угла, равного рад.
Для этого воспользуемся формулой перехода от радианной меры к градусной.
Подставим вместо : .
Сократим на и
на .
И в результате получим .
Можно
ли, наоборот, перейти от градусной меры к радианной? Конечно, можно, но такой
переход будет чуть сложнее. Так как угол в равен рад,
то рад.
Тогда рад. Такую
формулу называют формулой перехода от градусной меры к радианной.
Найдём радианную меру угла, равного .
Воспользуемся формулой перехода от градусной меры к радианной. Подставим вместо : .
Сократим и на .
И в результате получим .
Обратите внимание, что при обозначении меры угла в радианах слово
«радиан» обычно не пишут: .
При этом обозначение градуса в записи меры угла пропускать нельзя.
В следующей таблице представлены углы в градусной и радианной
мере, с которыми мы будем встречаться чаще всего.
Отметим, что радианная мера углов позволяет значительно упростить
многие формулы в математике, физике, механике. В частности, радианная мера угла
удобна для вычисления длины дуги окружности. Так, выше мы выяснили, что угол
в рад
стягивает дугу, длина которой равна радиусу ,
а значит, угол в рад
стягивает дугу длиной: .
Если ,
то эта формула принимает совсем простой вид: ,
то есть длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой.
Сейчас, прежде чем приступить к выполнению заданий, мы докажем,
что площадь кругового сектора радиуса ,
образованного углом в рад,
равна ,
где .
Докажем это. Известно, что площадь круга вычисляется по
формуле: .
Площадь полукруга, то есть кругового сектора в рад: .
Тогда площадь сектора в рад
в раз
меньше, то есть .
Следовательно, площадь сектора в рад
равна .
Ну а сейчас давайте выполним несколько заданий.
Первое
задание. Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах: а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Решение.
Второе
задание. Найдите радианную меру угла, выраженного в градусах:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.
Следующее
задание. Чему равен радиус окружности, если дуге длиной см
соответствует центральный угол в рад?
Решение.
И ещё
одно задание. Дуге кругового сектора соответствует угол, равный рад.
Чему равна площадь сектора, если радиус круга равен см?
Решение.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.