Открытый
урок по теме : «Решение квадратных уравнений: по формулам (дискриминант),
теорема Виета" 8 класс
Цели
урока:
Образовательная
цель:
Закрепить
навыки работы при решении различных типов квадратных уравнений. Уметь выделять
коэффициенты квадратного уравнения и использовать их для решения квадратного
уравнения при помощи дискриминанта и формул нахождения корней, если решение
уравнения существуют. Понимать теорему Виета и уметь применять ее для решения
приведенных квадратных уравнений.
Развивающие
цель:
обобщать
и систематизировать полученные знания ;
содействовать
развитию познавательного интереса,
творческих
способностей;
вычислительных
навыков;
развитию
логического мышления,
Воспитательная
цель:
воспитание
ответственного отношения к своей работе для достижения положительных конечных
результатов при решении квадратных уравнений;
способствовать
рациональной организации труда,
самостоятельности,
внимательности,
самокритичности.
Оборудование:
компьютер,
мультимедийный
проектор
карточки
для групповых работ,
Тип
урока: Урок – обобщение материала по теме «Решение квадратных уравнений
по формулам и с использованием теоремы Виета»
Ход
урока
1.
Организационный момент:
приветствие;
проверка
готовности учащихся к уроку;
организация
внимания учащихся.
Формулировка
темы и цели урока при проверке домашнего задания УЧАЩИМИСЯ
2.
Этап проверки домашнего задания.
·
выявление факта выполнения домашнего задания;
·
выявление причин невыполнения задания.
Проверяем
домашнюю работу следующим образом:
1. Выберите
из представленных уравнений те, которые являются квадратными и почему?:
1. 12х2-0,3=(0,4х2-2)*30
5. 6х-8=х*(1,5+2х)
2. 4+1,3х2=0
6. х2=0
3. (х-3)*(х-5)=2х
7. х*(х-2,6)*(х-1)=0
4. 8х4-2,3х2+10=0
8. 2х -3= 12
2. А
теперь теоретический материал:
·
Сформулируйте определение
квадратного уравнения.
·
Перечислите
виды квадратных уравнений и приведите примеры квадратных уравнений различных
видов.
·
Объясните,
в чем заключается смысл в определении квадратного уравнения «а 
0».
·
Какое
квадратное уравнение называется приведенным? Приведите пример.
3.
Определите коэффициенты квадратного уравнения:
6х2 –
х + 4 = 0; 12х - х2 + 7 = 0; 8 + 5х2 = 0; х –
6х2 = 0; - х + х2 = 15.
3. А
помним ли мы формулы корней квадратного уравнения, если
таковые есть и как определить существуют ли корни у квадратного
уравнения: ответы детей.
Формула:
D = b2- 4ac, 
Решим
уравнения, если есть решение, то запишем только те корни через пробелы, которые
принадлежат множеству натуральных чисел N:
1. х2 –
3х = 0 2) х2 – 100 =0 3) (2х-12)*(х - 20) =0
Получаем:
3 10 6 20. А теперь заменим цифры буквами русского алфавита (на экране
алфавит с нумерацией) ответ (Виет). Чем же знаменит этот ученый? Ответ
детей.
Историческая
справка на экране (читает ученик)“Франсуа Виет -
французский математик
Жизнь Виета
представляет для нас интерес во многих отношениях.
XV век в Западной
Европе был веком ожесточенных религиозных волнений, и к началу XVI целый ряд
стран отпал от католической церкви.
Всесильная
католическая церковь преследовала и убивала всякую мысль, в которой усматривала
отклонение от своих учений. Церковный суд – инквизиция – всех попавшихся под
подозрение карал вплоть до сожжения на костре, а имущество казненных отбирал в
пользу церкви. Не один ученый погиб в руках инквизиции. В их числе были и
математики.
Испанский
математик Вальмес в 1486 году как-то в семейном кругу обмолвился о том, что
нашел формулу для решения уравнения четвертой степени. В числе гостей оказался
влиятельный инквизитор. Услышав слова Вальмеса, он заявил, что волей Божьей
решать эти уравнения человеку не дано, а найти формулу можно было только с
помощью дьявола. В ту же ночь Вальмес был брошен в тюрьму, а через три недели
сожжен на костре за связь с дьяволом. Лишь через 100 лет решение этих уравнений
было найдено вторично.
Мэтр Виет также
был на волосок от костра.
В ту пору наиболее
могущественное государство в Европе, Испания вела победоносную войну с
Францией.
Однажды французам
удалось перехватить приказы испанского правительства командованию своих войск,
написанные очень сложным шифром (тайнописью). Виет с помощью математики сумел
найти ключ к этому шифру. С этих пор французы, зная планы испанцев, с успехом предупреждали
их наступления.
Инквизиция
обвинила Виета в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к
сожжению на костре. Но так как французы благодаря Виету в дальнейшем побеждали,
он не был выдан инквизиции.
В родном городке Виет
был лучшим адвокатом, а позднее стал королевским советником. Но главным делом
его жизни была математика. Биографы Виета пишут, что он мог несколько ночей
подряд не спать, решая очередную математическую задачу».
Вроде нового
ничего нет, так какая же может звучать тема нашего урока и какая цель
нашего урока?
Дети
отвечают на вопрос
4.
Этап актуализации умений и навыков.
4.1.
Работа с теоремой Виета
1.(Устно).
Выберите среди данных уравнений приведенные:
2х2+3х-1=0, б)
х2-х-6=0, в) 3х2+5=0, г) х2+7х+6=0.
2.(Устно).
Чему равна сумма и произведение корней уравнений:
a)
х2+7х+6=0, б) х2-8х+12=0, в) х2-х-6=0.
3.
Зная, что х1 и х2- корни квадратного уравнения,
применяя теорему Виета, составьте квадратные уравнения: а) х1=4, х2=
-3, / х2 - х – 12 =0 ; б) х1=5, х2=2. /
Х2 – 7х +10=0
( вынесение решений на экране.)
4.2. Решение квадратных
уравнений по формулам: Работа в группах.
Класс разбит изначально на
группы:
1 группа а)
-7х + 5х2 + 1 =0 б)
(х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 10,5)
2 группа а)
2х2 + 5х -7 = 0 б)
–х2 = 5х - 14
3 группа а) х2 –
8х + 7 = 0 б) 6х – 9 = х2
Ответы записываются на доске
участником из группы. После того как ответы выписаны, они появятся на экране
для проверки.
1 группа.
Пусть х1 и х2 -
корни квадратного уравнения.
Решите уравнения, и зная,
что х1<х2, запишите корни данного уравнения в
указанном порядке.
После решения уравнений, полученные
точки (координатами являются корни уравнения) нанесите на координатную
плоскость, и последовательно соедините все точки. При правильном выполнении вы
получите рисунок.
п/п
Уравнение
Координаты точки
1
х2-4х-21=0,
(х1,х2)
2
х2-10х+21=0,
(х1,х2)
3
х2-7х+12=0,
(х1,х2)
4
х2-6х=0,
(х2,х1)
5
х2+4х-32=0,
(х2,х1)
6
х2+6х-55=0,
(х2,х1)
7
х2+16х+55=0,
(х2,х1)
8
х2+12х+32=0,
(х2,х1)
9
х2+6х=0,
(х1,х2)
10
х2-х-12=0.
(х1,х2)
2 группа.
Пусть х1 и х2 -
корни квадратного уравнения.
Решите уравнения, и зная,
что х1<х2, запишите корни данного уравнения в
указанном порядке.
После решения уравнений,
полученные точки (координатами являются корни уравнения) нанесите на
координатную плоскость, и последовательно соедините все точки. При правильном
выполнении вы получите рисунок.
п/п
Уравнение
Координаты точки
1
х2-5х+4=0,
(х1,х2)
2
х2-5х+6=0,
(х2,х1)
3
х2-8х+15=0,
(х2,х1)
4
х2-9х=0,
(х2,х1)
5
х2-6х+5=0,
(х2,х1)
6
х2+х-2=0,
(х2,х1)
7
х2+2х-3=0,
(х1,х2)
8
х2+7х=0,
(х1,х2)
9
- 9х+х2=0,
(х1,х2)
10
х2-х-2=0.
(х1,х2)
3 группа.
Пусть х1 и х2 -
корни квадратного уравнения.
Решите уравнения, и зная,
что х1<х2, запишите корни данного уравнения в
указанном порядке.
После решения уравнений,
полученные точки (координатами являются корни уравнения) нанесите на
координатную плоскость, и последовательно соедините все точки. При правильном
выполнении вы получите рисунок.
п/п
Уравнение
Координаты точки
1
х2-25=0,
(х1,х2)
2
2х2-3х=0,
(х1,х2)
3
3х2-5х+6=0,
(х2,х1)
4
х2-12х+35=0,
(х2,х1)
5
х2-6х=0,
(х2,х1)
6
х2-2х-35=0,
(х2,х1)
7
х2-х-6=0,
(х2,х1)
8
х2+3х=0,
(х2,х1)
9
х2+10х+100=0,
(х1,х2)
10
х2+10х=0.
(х1,х2)
Проверка: результат можно
сравнить с изображением на экране.
5.Физкультминутка
6. Попробуем теперь все, что
мы повторили обобщить:
Уравнение вида ах2 +
вх +с = 0, где х –переменная, а, в и с некоторые
числа, причем а ≠ 0
называется ……… (квадратным
уравнением)
РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ
УРАВНЕНИЙ
в=0 ах2+с=0
с=0 ах2+вх=0
в, с=0 ах2=0
1.Перенос с в правую часть
уравнения.
ах2= -с
2.Деление обеих частей
уравнения на а.
х2= -с/а
3.Если –с/а > 0 - два
решения:
х1 = и х2 =
-
Если –с/а < 0 - нет
решений
1.Перенос с в правую часть
уравнения.
ах2= -с
2.Деление обеих частей
уравнения на а.
х2 = -с/а
3.Если –с/а > 0 - два
решения:
х1 = и х2 =
-
Если –с/а < 0 - нет
решений
1.Деление обеих частей
уравнения на а.
х2 = 0
2.Одно решение: х = 0.
Способы решения полных
квадратных уравнений
1.
Выделение квадрата двучлена.
2.
Формула: D = b2- 4ac, x1,2=
3.
График.
4.
Теорема Виета.
Сегодня мы с вами
остановились на 2 и 4 способах решения полных квадратных уравнений
7.Этап информирования о
домашнем задании.
Исторические сведения:
Квадратные уравнения впервые
встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.
Другой индийский ученый
Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений,
которое практически совпадает с современным.
В Древней Индии были
распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто
облекались в стихотворную форму.
Вот задача Бхаскары:
Обезьянок резвых стая,
всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
на полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам стали
прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок, ты
скажи мне, в этой стае?
Формулы решения знать.
Творческое задание: придумать рисунок на координатной плоскости и составить
квадратные уравнения, приняв координаты точек за корни квадратного
уравнения.(аналогия с классной работой.)
8. Подведение итогов.
Отгадай кроссворд.
По вертикали.
1. Как называется уравнение
вида
ах2+вх+с=0?
5. Математик, именем
которого названа одна из важнейших теорем.
2. Как называется выражение
в2-4ас?
3. Равенство с переменной.
4. Как называется а в
уравнении ах2+вх+с=0?
Оценивание работы учащихся.
9. Рефлексия урока.
А теперь продолжите фразу:
Сегодня на уроке я
узнал...”;
Сегодня на уроке я
научился...”
Сегодня на уроке я
познакомился...”
Сегодня на уроке я повторил
...”
Сегодня на уроке я
закрепил...”
Для меня сегодня было
открытием, что……
Сегодня я понял, что ……
Оказывается, что ……..
